Программа дисциплины математика

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

(университет «Дубна»)

Кафедра высшей математики

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_______________

“_____” _____________2013 г.

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИКА

Модуль

Математический анализ

Направление подготовки

080100.62 Экономика

Профиль подготовки

Общий

Квалификация (степень) выпускника

бакалавр

Форма обучения

очная

г. Дубна, 2013

Автор программы:

Доцент кафедры высшей математики ______________

(подпись)

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению подготовки экономика (профиль общий).

Программа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики

Протокол заседания № от «…..» 2013 г.

Заведующий кафедрой ВМ //

СОГЛАСОВАНО

Заведующий кафедрой экономики / /

«…..» 2013 г.

Рецензент:_____________________________________________________________

(ученая степень, ученое звание, ФИО, место работы, должность)

«…..» 2013 г.

Руководитель библиотечной системы _______________/_____________________/

(подпись) (ФИО)

«…..» 2013 г.

Содержание

1. Цели и задачи освоения дисциплины.. 4

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.. 4

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины. 4

4. Содержание и структура дисциплины.. 5

4.1 Содержание разделов дисциплины.. 5

4.2 Структура дисциплины.. 6

4.3 Разделы дисциплины и виды занятий. 6

4.4 Практические занятия (семинары) 7

4.4 Домашние работы.. 7

4.5 Контрольные работы.. 8

4.6 Лабораторные работы.. 8

4.7 Курсовые работы.. 8

5. Образовательные технологии. 8

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации. 9

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.. 12

7.1 Основная литература. 12

7.2 Дополнительная литература. 12

7.3 Периодические издания. 12

7.4 Интернет ресурсы.. 12

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины.. 12

1.  Цели и задачи освоения дисциплины

Цели:

–  дать студентам представление о роли математики в познании окружающего мира;

–  усвоение студентами понятий и теорем математического анализа, необходимых при изучении других математических и профессиональных дисциплин;

–  формирование у студентов навыков использования математического языка и математической символики при построении организационно-управленческих моделей и применения математических методов при решении задач в сфере экономики, управления, финансов и бизнеса.

Задачи:

–  обучить студентов основам математического анализа;

–  сформировать у студентов навыки самостоятельной работы с учебной и научной литературой;

–  научить студентов применять математическую символику при формулировании организационно управленческих задач, анализировать и интерпретировать условие задачи и полученные результаты;

–  сформировать и развить навыки применения методов количественного и качественного анализа при решении практических задач в сфере экономики.

2.  Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Курс математического анализа (Б2.Б.1.1) относится к базовой части «Математического и естественнонаучного цикла» (Б2) ООП подготовки бакалавров по направлению экономика (профиль общий).

Он опирается на знания элементарной математики в рамках программы средней школы.

Курс математического анализа предшествует следующим дисциплинам: «Математические основы микроэкономики», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Введение в исследование операций», «Статистика», «Методы моделирования и прогнозирования», «Финансовые и коммерческие расчеты», «Экономический анализ».

3.  Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В процессе освоения дисциплины «Математический анализ» формируются следующие общеобразовательные и профессиональные компетенции, связанные с применением математических методов при решении организационно-управленческих задач, с логическим мышлением, а также со способностью анализировать, оценивать, делать выводы, аргументировать и т. д.:

ОК-5 — владение культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;

ОК-6 — умением логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;

ОК-15 — владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.

В результате изучения курса математического анализа студент должен:

Знать:

1)  понятия математического анализа, используемые для описания экономических задач: понятия функции, предела функции, производной и дифференциала функции одной переменной, частных производных и дифференциалов функции многих переменных, локальных и условных экстремумов, неопределенного, определенного и несобственного интегралов;

2)  формулировку теорем и следствий из них, используемых для обоснования выбираемых математических методов решения экономических задач.

Уметь:

1)  вычислять пределы, производные, интегралы, находить точки локальных и условных экстремумов, наибольшее и наименьшее значение функции одной и многих переменных;

2)  выбирать способы решения практических задач, анализировать и интерпретировать условия и результаты.

Владеть:

1)  приемами вычисления пределов функций, методами дифференцирования и интегрирования функций одной и нескольких переменных;

2)  методами классической оптимизации;

3)  навыками использования понятий математического анализа для описания экономических задач;

4)  навыками сведения экономических задач к математическим задачам.

4.  Содержание и структура дисциплины

4.1 Содержание разделов дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц 261 час.

№ раздела	Наименование раздела	Содержание раздела	Форма текущего контроля
1	Введение в математический анализ	Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Числовые множества. Множество действительных чисел. Ограниченные и неограниченные множества. Понятие функции. Область определения. Простейшие элементарные функции. Последовательности. Предел последовательности. Определение предела функции в точке. Предел функции при . Односторонние пределы. Свойства пределов функции. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций. Замечательные пределы. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Арифметические операции над непрерывными функциями. Сложная функция, и ее непрерывность. Непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций	Домашнее задание Контрольная работа
2	Дифференциальное исчисление функции одной переменной	Производная функции в точке. Физический, геометрический и экономический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции в точке. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Логарифмическая производная. Эластичность функции. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правила Лопиталя. Формула Тейлора. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Асимптоты, направление выпуклости, точки перегиба графика функции. Схема исследования графика функции.	Домашнее задание Контрольная работа
3	Интегральное исчисление функции одной переменной	Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных и тригонометрических функций. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла и интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Понятие площади плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.	Домашнее задание Контрольная работа
4	Дифференциальное исчисление функции многих переменных	Множества точек на плоскости и в пространстве. Понятие функции многих переменных. График функции многих переменных. Поверхности и линии уровня. Функция полезности. Кривые безразличия. Предельное значение функции многих переменных. Непрерывность. Основные свойства непрерывных функций многих переменных. Частные производные функции многих переменных. Дифференцируемость функции многих переменных. Дифференциал. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование сложных функций. Производная по направлению. Градиент и его свойства. Локальные экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия локальных экстремумов. Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на замкнутом ограниченном множестве.	Домашнее задание Контрольная работа

4.2 Структура дисциплины

Вид учебной работы	Трудоемкость (час)
1 семестр	2 семестр	всего
Общая трудоемкость	108	153	261
Аудиторная работа:	72	54	126
Лекции	36	18	54
Практические занятия	36	36	72
Самостоятельная работа:
Самоподготовка	36	54	90
Подготовка и сдача экзамена		45	45
Вид промежуточного контроля	зачет	экзамен

4.3 Разделы дисциплины и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекции	Семинары	СРС	Экз.	Всего
1	Введение в математический анализ	12	12	10	10	44
2	Дифференциальное исчисление функции одной переменной	12	24	20	10	66
3	Интегральное исчисление функции одной переменной	20	20	20	12	72
4	Дифференциальное исчисление функции многих переменных	10	16	40	13	79
	Итого	54	72	90	45	261

4.4 Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование практического занятия
1	1	Способы задания множеств. Операции над множествами. Понятие числовой последовательности.
2	1	Вычисление пределов числовых последовательностей.
3	1	Понятие предела функции. Вычисление пределов рациональных функций и функций, содержащих радикалы.
4	1	Пределы, содержащие тригонометрические функции. Первый замечательный предел.
5	1	Второй замечательный предел и его следствия.
6	1	Контрольная работа по теме «Пределы».
7	2	Понятие производной. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Вычисление производных сложной функции.
8	2	Логарифмическая производная. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически.
9	2	Геометрические и экономические проложения производной. Производные высших порядков.
10	2	Правило Лопиталя.
11	2	Контрольная работа по теме «Производные».
12	2	Дифференциал первого порядка и его использование в приближенных вычисления.
13	2	Дифференциалы высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена.
14	2	Возрастание и убывание фукнции. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
15	2	Направление выпуклости графика функции, точки перегиба. Асимптоты графики функции.
16	2	Исследование функции и построение графиков.
17	2	Контрольная работа по теме «Исследование функций и построение графиков».
18	2	Зачетная работа.
19	3	Первообразная и неопределенный интеграл. Замена переменной в неопределенном интеграле.
20	3	Формула интегрирования по частям.
21	3	Интегрирование рациональных функций.
22	3	Интегрирование тригонометрических функций.
23	3	Контрольная работа по теме «Неопределенные интегралы».
24	3	Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
25	3	Интегрирование по частям в определенном интеграле.
26	3	Геометрические приложения определенных интегралов.
27	3	Несобственные интегралы I рода.
28	3	Контрольная работа по теме «Определенные и несобственные интегралы»
29	4	Функция многих переменных, область определения, линии уровня. Частные производные.
30	4	Дифференциал функции многих переменных. Производные и дифференциалы высших порядков.
31	4	Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
32	4	Локальные экстремумы функции многих переменных.
33	4	Наибольшее и наименьшее значение функции на ограниченном замкнутом множестве.
34	4	Условные экстремумы. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
35	4	Производная по направлению. Градиент.
36	4	Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление функции многих переменных»

4.4 Домашние работы

№	Наименование практического занятия	Неделя
	1 семестр
Д1	Способы задания множеств. Операции над множествами. Понятие числовой последовательности.	1
Д2	Вычисление пределов числовых последовательностей.	2
Д3	Понятие предела функции. Вычисление пределов рациональных функций и функций, содержащих радикалы.	3
Д4	Пределы, содержащие тригонометрические функции. Первый замечательный предел.	4
Д5	Второй замечательный предел и его следствия.	5
Д6	Подготовка к контрольной работе по теме «Пределы».	6
Д7	Понятие производной. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования. Вычисление производных сложной функции.	7
Д8	Логарифмическая производная. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически.	8
Д9	Геометрические и экономические проложения производной. Производные высших порядков.	9
Д10	Правило Лопиталя.	10
Д11	Подготовка к контрольной работе по теме «Производные».	11
Д12	Дифференциал первого порядка и его использование в приближенных вычисления.	12
Д13	Дифференциалы высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена.	13
Д14	Возрастание и убывание функции. Точки экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.	14
Д15	Направление выпуклости графика функции, точки перегиба. Асимптоты графики функции.	15
Д16	Исследование функции и построение графиков.	16
Д17	Подготовка к контрольной работе по теме «Исследование функций и построение графиков».	17
Д18	Подготовка к зачетной работе.	18
	2 семестр
Д19	Первообразная и неопределенный интеграл. Замена переменной в неопределенном интеграле.	1
Д20	Формула интегрирования по частям.	2
Д21	Интегрирование рациональных функций.	3
Д22	Интегрирование тригонометрических функций.	4
Д23	Подготовка к контрольной работе по теме «Неопределенные интегралы».	5
Д24	Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.	6
Д25	Интегрирование по частям в определенном интеграле.	7
Д26	Геометрические приложения определенных интегралов.	8
Д27	Несобственные интегралы I рода.	9
Д28	Подготовка к контрольной работе по теме «Определенные и несобственные интегралы»	10
Д29	Функция многих переменных, область определения, линии уровня. Частные производные.	11
Д30	Дифференциал функции многих переменных. Производные и дифференциалы высших порядков.	12
Д31	Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.	13
Д32	Локальные экстремумы функции многих переменных.	14
Д33	Наибольшее и наименьшее значение функции на ограниченном замкнутом множестве.	15
Д34	Условные экстремумы. Метод неопределенных множителей Лагранжа.	16
Д35	Производная по направлению. Градиент.	17
Д36	Подготовка к контрольной работе по теме «Дифференциальное исчисление функции многих переменных»	18

4.5 Контрольные работы

№	Тема работы	неделя
КР1	Пределы	6 (1 семестр)
КР2	Производные	11(1 семестр)
КР3	Исследование функций и построение графиков	17(1 семестр)
КР4	Неопределенные интегралы	5 (2 семестр)
КР5	Определенные и несобственные интегралы	10 (2 семестр)
КР6	Дифференциальное исчисление функции многих переменных	18 (2 семестр)

4.6 Лабораторные работы

Лабораторные работы не предусмотрены.

4.7 Курсовые работы

Курсовые работы не предусмотрены.

5.  Образовательные технологии

Перечень обязательных видов работы студента:

посещение лекционных занятий;

ответы на теоретические вопросы на семинаре;

выполнение практических заданий на семинарах;

выполнение домашних работ;

выполнение контрольных работ.

6.  Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Экзаменационные вопросы (2 семестр)

Раздел I. Введение в математический анализ.

1.  Множества: понятие множества, способы задания множеств, операции над множествами.

2.  Основные числовые множества, примеры. Вещественные числа.

3.  Ограниченные и неограниченные числовые множества, точные верхние и нижние грани множеств; теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.

4.  Числовые последовательности: понятие числовой последовательности, операции над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности, бесконечно большие последовательности; примеры.

5.  Бесконечно малые последовательности и их свойства. Доказательство основных свойств.

6.  Сходящиеся последовательности: определение предела последовательности, основные свойства сходящихся последовательностей.

7.  Свойства сходящихся последовательностей: теоремы о предельных переходах в неравенствах.

8.  Монотонные последовательности, теорема (признак Вейерштрасса) о сходимости монотонных ограниченных последовательностей (без доказательства).

9.  Бином Ньютона, предел последовательности , число е.

10.  Предел функции в точке: определения предела функции по Гейне и по Коши, эквивалентность двух определений, примеры.

11.  Односторонние пределы, бесконечные пределы в конечных точках, понятие бесконечно большой функции, предельное значение функции при . Примеры.

12.  Свойства функций, имеющих предел: арифметические операции, предельный переход в неравенствах. Доказательство теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел.

13.  «Замечательные» пределы. Доказательство первого замечательного предела.

14.  «Замечательные» пределы. Доказательство второго замечательного предела.

15.  Бесконечно малые функции, сравнение бесконечно малых, теорема об эквивалентных бесконечно малых.

16.  Два определения непрерывности функции в точке, односторонняя непрерывность функций в точке, примеры.

17.  Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке; непрерывность сложной функции. Доказательство теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями.

18.  Точки разрыва, их классификация, примеры.

19.  Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, теорема о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знаков.

20.  Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, первая теорема Вейерштрасса. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на отрезке; вторая теорема Вейерштрасса.

21.  Монотонные функции, определение обратной функции, теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Обратные тригонометрические функции.

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.  Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой.

2.  Определение дифференцируемой функции, необходимое и достаточное условие дифференцируемости, связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Доказательство соответствующих теорем.

3.  Правила дифференцирования; дифференцирование сложной и обратной функции. Вывод формул дифференцирования суммы и произведения.

4.  Правила дифференцирования; дифференцирование сложной и обратной функции. Доказательство теоремы о дифференцировании сложной функции.

5.  Правила дифференцирования; дифференцирование сложной и обратной функции. Доказательство теоремы о дифференцировании обратной функции.

6.  Таблица производных основных элементарных функций. Вывод формул для производных степенной функции, тригонометрических функций.

7.  Таблица производных основных элементарных функций. Вывод формул для производных обратных тригонометрических функций.

8.  Таблица производных основных элементарных функций. Вывод формул для производных логарифмической и показательной функций.

9.  Производные высших порядков. Производные n-го порядка некоторых элементарных функций: степенной, показательной, y=sin x.

10.  Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциалов суммы, разности, произведения и частного.

11.  Свойство инвариантности формы первого дифференциала (с доказательством).

12.  Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков (на примере дифференциала второго порядка).

13.  Основные теоремы для дифференцируемых функций: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Доказательство теорем Ферма и Ролля.

14.  Основные теоремы для дифференцируемых функций: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Доказательство теоремы Лагранжа.

15.  Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

16.  Определение монотонных функций, необходимое и достаточное условие неубывания (невозрастания) функции.

17.  Определение точек экстремума функции, необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума.

18.  Определение направления выпуклости графика функции, необходимое условие выпуклости выпуклости вниз (вверх).

19.  Определение точки перегиба графика функции, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.

20.  Асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные асимптоты, методы их нахождения. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии существования наклонных асимптот.

Раздел III. Интегральное исчисление функции одной переменной

1.  Понятие первообразной функции, теорема о первообразных, определение неопределенного интеграла.

2.  Неопределенный интеграл и его свойства, таблица основных неопределенных интегралов.

3.  Метод замены переменной в неопределенном интеграле, примеры.

4.  Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Группы интегралов, вычисляемые посредством интегрирования по частям, примеры.

5.  Рациональные дроби и их разложение на сумму простейших дробей, примеры.

6.  Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций.

7.  Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрический смысл. Теорема об ограниченности интегрируемой функции.

8.  Основные свойства определенного интеграла.

9.  Оценки определенных интегралов. Теорема о среднем, формула среднего значения.

10.  Интеграл с переменным верхним пределом, теорема о существовании первообразной, формула Ньютона-Лейбница.

11.  Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле, примеры.

12.  Вывод формул для вычисления площади криволинейной трапеции в прямоугольных декартовых координатах.

13.  Несобственные интегралы на бесконечном промежутке, понятие сходимости. Сходимость интеграла .

14.  Признаки сходимости несобственных интегралов на бесконечном промежутке от неотрицательных функций: признак сравнения (без доказательства), предельный признак сравнения.

15.  Понятия абсолютной и условной сходимости несобственных интегралов.

Раздел IV. Дифференциальное исчисление функции многих переменных

1.  Точки m-мерного евклидова пространства. Понятие функции многих переменных: область задания, частное значение, множество значений. Функции двух и трех переменных, линии и поверхности уровня. Примеры.

2.  Сходящиеся последовательности точек m-мерного евклидова пространства. Предельное значение функции многих переменных. Примеры.

3.  Определение непрерывности функции многих переменных в точке. Полное приращение функции многих переменных. Разностная форма условия непрерывности.

4.  Частные приращения и частные производные функции многих переменных. Примеры.

5.  Частные производные высших порядков функции многих переменных. Независимость значения смешанной производной от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

6.  Дифференцируемость функции многих переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Доказательство соответствующих теорем.

7.  Дифференцируемость функции многих переменных. Понятие дифференциала функции многих переменных.

8.  Дифференциалы высших порядков функций многих переменных.

9.  Локальные экстремумы функций многих переменных. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума функции многих переменных.

10.  Условный экстремум функции двух переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа для отыскания условного экстремума.

11.  Производная в заданном направлении.

12.  Градиент функции двух и трех переменных. Связь градиента и производной по направлению.

Контрольная работа №1

Найти пределы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5. ; 6. ; 7. ; 8.

Контрольная работа №2

Найти производную:

1.   ;

2.   ;

Найти производную неявно

заданной функции:

3.   .

Используя правило Лопиталя,

найти пределы функций

4.

5.

Контрольная работа №3

1.  Исследовать функцию и построить ее график:

2. Найти дифференциал неявно заданной функции:

.

Контрольная работа №4

Вычислить неопределенные интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

Контрольная работа №5

1. Найти интегралы

а) , б) .

2. Вычислить интеграл или установить его расходимость.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми: , , .

Контрольная работа №6

1.  Найти первый и второй дифференциалы функции .

2.  Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка M имеет координаты .

3.  Найти точки локальных экстремумов функции .

4.  Найти условный экстремум функции при .

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

7.1 Основная литература

2.  Шипачев высшей математики: Учебник / ; Под ред. А.Н. Тихонова, 2009 г.

3.  Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / , , ; Под ред. Н.Ш. Кремера, 2009.

4.  Сборник задач по математике для ВТУЗов: В 4 ч. Ч.2 / , , и др.; Под ред. , , 2003.

5.  Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для вузов / , , и др. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 20с.

7.2 Дополнительная литература

Казача анализ: Функции многих переменных: Учебное пособие / ; Рец. , ; Ред. ; Международный университет природы, общества и человека "Дубна". Кафедра высшей математики. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 20с. , . Математический анализ: Экстремумы функций многих переменных в примерах и задачах. Международный университет природы, общества и человека "Дубна". Кафедра высшей математики. - Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 20с.

7.3 Периодические издания

Периодические издания не используются.

7.4 Интернет ресурсы

Конспект лекций, программа, список экзаменационных вопросов, домашние задания на сайте кафедры высшей математики http://mathematics. *****.

8.  Материально-техническое обеспечение дисциплины

Материально-техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.