Программа дисциплины. Математический анализ

Правительство Российской Федерации

Государственный университет - Высшая школа экономики

Факультет бизнес-информатики

Программа дисциплины

Математический анализ

для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика»
подготовки бакалавра

Автор: д. ф.-м. н., доцент

Рекомендована секцией УМС Одобрена на заседании кафедры

Математические и статистические высшей математики

методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав. кафедрой

__________________ ___________________

«_____» __________________ 200 г. «____»_____________________ 200 г

Утверждена УС факультета

бизнес-информатики

Ученый секретарь

________________________________

« ____» ___________________200 г.

Москва

Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоят. работа
Лекции	Семинары
	1 модуль
1	Комплексные числа. Множества, пути и кривые на комплексной плоскости.	20	6	6	8
2	Понятие функции комплексного переменного. и дифференцируемость. Производная. Голоморфность функций.	12	2	2	8
3	Элементарные ФКП: дробно-линейные функции, степенные, показательная функция, функция Жуковского.	12	2	2	8
4	Интегрирование ФКП. Интегральная теорема и формула Коши.	16	3	5	8
	2 модуль
5	Теорема о разложении в ряд Лорана и ее следствия. Особые точки и вычеты.	20	3	5	12
6	Свойства голоморфных функций.	10	2	-	8
7	Многозначные аналитические функции.	8	2	-	6
8	Элементы геометрической теории ФКП.	10	2	2	6
	Всего часов	108	22	22	64

Формы рубежного контроля

Формы контроля знаний студентов:

-  текущий контроль: 2 аудиторные контрольные работы (по одной в первом и во втором модулях);

-  итоговый контроль: письменный зачет (письменная контрольная работа).

Образцы типовых задач для всех форм контроля приводятся после программы.

Содержание программы

1. Введение множества комплексных чисел. ([1], гл.1, §1; [5], гл.1, §1; [6], §1; [7], §1)

Алгебраические структуры на числовых множествах . Необходимость такого расширения поля , в котором существовало бы решение уравнение . Матричная, векторная и алгебраическая модели расширений. Алгебраическое определение комплексного числа. Понятие комплексного сопряжения, модуля и их свойства. Тригонометрическая форма комплексного числа. Понятие комплексного аргумента. Действия над числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и ее следствия (корень n-й степени).

2. Комплексная экспонента и др. комплексные значения. ([1], гл.2, §3; [7], §1)

Равносильность различных определений (через ряд, через предел) комплексной экспоненты. Формула Эйлера. Свойства комплексной экспоненты. Применения комплексной экспоненты в тригонометрии. Определение комплексного логарифма, как обратного значения экспоненты. Многозначный логарифм и его главное значение. Свойства логарифма. Тригонометрические, гиперболические, показательные и обратные тригонометрические значения комплексного числа. Комплексная степень комплексного аргумента.

3. Открытые и замкнутые множества на комплексной плоскости. Пути и кривые в . ([6], §3; [7], §1)

Окружность, круг в комплексной области. Предельные и внутренние точки множества. Топология в . Открытость и замкнутость . Понятие компактного множества. Компактификация . Сфера Римана. Понятие стереографической проекции. Метрики в и . Понятие комплекснозначной функции. Виды путей и кривых: гладкие, класса , жордановы, эквивалентные, гомотопные. Границы и области в . Связные и n-связные множества.

4. Функции комплексного переменного. Понятия и дифференцируемых функций. Производная ФКП. ([5], гл.1, §4; [6], §7; [7], §2)

Однолистные функции. Предел и непрерывность ФКП. Формальные производные. и линейность. Условия Коши-Римана в декартовой и полярной формах. Связь с гармоническими функциями. Восстановление одной части дифференцируемой функции по другой. Сопряженная пара функций.

Производная ФКП, связь с дифференцируемостью. Понятие голоморфной функции. Геометрические свойства дифференциала. Понятие конформности. Свойства конформных отображений. Геометрические свойства производной: консерватизм углов и растяжений.

5. Элементарные ФКП: ([1], гл.3, §2,3; [2], гл.2, §6; [5], гл.3, §1; [7], §4)

а) линейная функция; б) дробно-линейная функция: дробно-линейный гомеоморфизм, конформность, алгебраические (групповые) свойства, геометрические свойства (сохранения окружностей и симметрии), дробно-линейный изоморфизм и автоморфизм; в) степенная функция; г) функция Жуковского; д) показательная функция.

6. Интеграл от ФКП. Теория интеграла Коши. ([1], гл.4, §1,2; [2], гл.2, §2; [5], гл.1, §5,6; [7], §5)

Определение и основные свойства интеграла: линейность, аддитивность, ориентированность, инвариантность относительно эквивалентного пути, оценка модуля. Ослабленный вариант интегральной теоремы Коши (через формулу Грина), усиленный вариант (схема доказательства Гурса), теорема для многосвязной области, для гомотопных путей. Понятие первообразной ФКП. Теорема о существовании первообразной. Общий вид первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Интеграл типа Коши, теорема о голоморфности интеграла типа Коши.

7. Ряд Лорана. ([1], гл.5, §1,2; [2], гл.4, §4; [5], гл.4, §1; [6], §17; [7], §7)

Теорема о представлении голоморфной в кольце функции в виде ряда Лорана. Следствия из представления в виде ряда Лорана: неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры, теорема о представлении в виде ряда Тейлора, теорема Морера, теоремы Вейерштрасса о голоморфности ряда из голоморфных функций.

8. Особые точки голоморфной функции. ([1], гл.5, §2; [2], гл.4, §1,2,3; [5], гл.4, §2; [6], §18; [7], §7)

Понятие и классификация изолированных особых точек (ИОТ). Характеризация ИОТ по виду главной части ряда Лорана. Теорема Сохоцкого. Бесконечно удаленные ИОТ. Классификация голоморфных функций по типу имеющихся у них особенностей: целые функции, мероморфные функции.

9. Элементы теория вычетов. ([1], гл.5, §3; [2], гл.4, §4, гл.6; [5], гл.5, §1,2; [6], §28,29; [7], §7)

Понятие вычета. Вычисление вычетов в ИОТ. Теорема Коши о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Приложения вычетов к вычислению определенных, несобственных интегралов и рядов. Лемма Жордана и ее применения.

10. Свойства голоморфных функций. ([1], гл.4, §3; [5], гл.1, §6, гл.2; [6], §12,14; [7], §6)

Нули голоморфных функций и теоремы единственности: изолированность нулей голоморфной функции, единственность разложения в ряд Тейлора, единственность голоморфной функции, равной нулю на множестве, имеющем предельную точку. Принцип максимума модуля, минимума модуля и лемма Шварца. Теорема Рунге (схема доказательства). Теорема Мергеляна (формулировка) и ее следствия (интегральная теорема Коши).

11. Геометрические принципы ТФКП. ([1], гл.7, §3; [2], гл.5, §4; [5], гл.6, §1; [6], §32, 33, 36; [7], 11-13)

Принцип сохранения области. Теорема Римана. Принцип сохранения границ (теорема Каратеодори) и обратное утверждение. Принцип симметрии. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Вейерштрасса. Применение принципа аргумента к исследованию устойчивости многочленов. Годограф Михайлова.

12. Многозначные аналитические функции. ([1], гл.7, §1; [2], гл.3; [5], гл.3; [6], §20-22, 24, 26; [7], §8-10)

Понятие аналитического продолжения (по Вейерштрассу), аналитичность на кривой, аналитический элемент, полная аналитическая функция, теорема о монодромии. Примеры многозначных аналитических функций: логарифм и многозначная степенная функция. Ветвь аналитической функции. Понятие римановой поверхности.

Основная литература

1.  Бицадзе теории аналитических функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1984, 320 с.

2.  Евграфов функции. – М.: Наука, 1991, 448 с.

3.  , , Бежанов задач по теории аналитических функций. – М.: Наука, 1972, 416 с.

4.  , , Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – М.: Наука, 1981, 304 с.

5.  , Тихонов функций комплексной переменной. – М.: Наука, 1979, 320 с.

6.  , , Шабунин по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1976, 336 с.

7.  Шабат в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного. – М.: Наука, 1985, 336 с.

Дополнительная литература

8.  Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. – М.: Мир, 1986, 216 с.

9.  , Шабат теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987, 688 с.

Образцы задач контрольных работ

1. Решите уравнения (ответ - в алгебраической форме):

а) ; б) ; в) .

2. Решите систему, укажите ее геометрический смысл

3. Укажите геометрическое место точек комплексной плоскости, удовлетворяющих системе

4. Покажите, что функция голоморфна в и найдите ее производную:

а) ; б) .

5. Вычислить с помощью формулы Коши

а) , если и ;

б) , .

в) , .

6. Найти все разложения в ряд Лорана с центром в точке , указать области сходимости полученных рядов, выделить главную и правильную части разложений

а) , ; б) , .

7. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую угол на круг .

8. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую единичный круг на угол .

9. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую полосу в замкнутую нижнюю полуплоскость с выколотой точкой .

10. Запишите ФКП, гомеоморфно отображающую замкнутую верхнюю полуплоскость с выколотой точкой в полосу .

11. Вычислить интегралы (ответ – в алгебраической форме)

а) ; б) .

12. Вычислите интегралы с помощью теоремы Коши о вычетах:

а) ; б) ;

в) ; г) .

13. Вычислить интегралы с помощью вычетов:

а) ; б) ; в) ; г) .

Минимум вопросов и задач к зачету

Решить уравнение (ответ - в алгебраической форме). Решить уравнение (ответ - в алгебраической форме). Решить уравнение (ответ - в алгебраической форме).

_____________________________________________________________________________

Докажите, что - периодическая функция. Докажите, что . Докажите, что .

_____________________________________________________________________________

Запишите в алгебраической форме. Запишите в алгебраической форме. Запишите в алгебраической форме.

_____________________________________________________________________________

Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству . Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству Найдите расстояние между образами точек и при стереографической проекции на сфере Римана.

_____________________________________________________________________________

Открытое множество это … Замкнутое множество это … Компактное множество это …

_____________________________________________________________________________

Путь на комплексной плоскости это … Кривая на комплексной плоскости это … Жорданова кривая это … Спрямляемая кривая это … Кривая класса это … Гомотопные кривые это …

_____________________________________________________________________________

Покажите, что множество - открытое, а множество замкнутое. Область на комплексной плоскости это … Граница множества это …

_____________________________________________________________________________

Однолистная функция это … Укажите какую-либо область однолистности функции . Укажите какую-либо область однолистности функции .

_____________________________________________________________________________

и линейные функции это … и дифференцируемые функции это … Условия Коши-Римана это …

____________________________________________________________________________

Проверьте гармоничность функции . Может ли функция быть мнимой частью некоторой голоморфной функции? Найдите функцию , если - ее мнимая часть.

____________________________________________________________________________

Голоморфная функция в точке это … Производная функции комплексного переменного это … На какой угол повернется касательная к кривой в точке при отображении ? Конформное отображение это …

_____________________________________________________________________________

Перечислите алгебраические свойства дробно-линейной функции. Перечислите геометрические свойства дробно-линейной функции. Функция отображает окружность на … Найдите дробно-линейную функцию, отображающую точки , , на , и соответственно. Найдите отображение полосы на угол .

_____________________________________________________________________________

Формулировка интегральной теоремы Коши. Формулировка интегральной теоремы Коши для многосвязной области. Найдите .

_____________________________________________________________________________

Интегральная формула Коши это … С помощью интегральной формулы Коши вычислите . Теорема о среднем это … Интеграл типа Коши это …

_____________________________________________________________________________

Ряд Лорана, правильная и главные части ряда Лорана это … Разложите функцию в кольце в ряд Лорана. Разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки .

_____________________________________________________________________________

Докажите неравенство Коши с помощью оценок коэффициентов ряда Лорана. Докажите теорему Лиувилля с помощью неравенства Коши. Докажите основную теорему алгебры с помощью теоремы Лиувилля. Сформулируйте теорему Морера. Докажите с помощью теоремы Морера теорему Вейерштрасса о голоморфности ряды из голоморфных функций. Сформулируйте теорему единственности. Сформулируйте принцип максимума модуля. Сформулируйте теорему Рунге и теорему Мергеляна.

_____________________________________________________________________________

Дайте классификацию изолированных особых точек. Как связана классификация особых точек с видом главной части ряда Лорана? Найдите все особые точки функции и укажите их характер. Сформулируйте теорему Сохоцкого. Целые и мероморфные функции это …

_____________________________________________________________________________

Вычет функции в особой точке это … Сформулируйте теорему Коши о вычетах и теорему о полной сумме вычетов. Докажите формулу вычисления вычета в полюсе -го порядка. Найдите вычеты функции во всех ее особых точках. Покажите, как применяется теория вычетов к вычислению несобственных интегралов.

_____________________________________________________________________________

Что такое логарифмический вычет? Вычислите , если . Сформулируйте принцип аргумента. Сформулируйте теорему Руше. Сформулируйте теорему Римана.