МЕТОДИЧЕСКАЯ
разработка заданий для школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2010 – 2011 учебном году
Составители:
– учитель ЧСОШ № 7, руководитель РМО
учителей математики и информатики
– учитель математики КСОШ № 6
– учитель математики КСОШ № 2
– учитель математики КСОШ № 1
– учитель математики и информатики КСОШ № 13
– учитель математики МОУ Новомихайловская СОШ
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. Поставь знаки и скобки, если нужно так, чтобы было верное равенство.
а) 7….7….7 = 0; г) 7….7….7 = 8;
б) 7….7….7 = 2; д) 7….7….7 = 56;
в) 7….7….7 = 7; е) 7….7….7 = 98.
2. Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, нужно уплатить за работу 50 рублей. Сколько будет стоить работа, если балку нужно разрезать на 10 частей?
3. Разбейте циферблат часов (см. рис. 1) с помощью отрезков на три части таким образом, чтобы сумма чисел в каждой из этих частей была одной и той же.
4. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье стоит напротив девочки не в голубом платье и рядом с Надей. Девочка в белом платье, стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Девочка в голубом платье, стоит между девочкой в зеленом платье и Аней. Какое платье носит каждая из девочек?
|
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. Разрезать прямоугольник линией на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник. Решение обосновать и сделать рисунок.
2. Даны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Расставьте их так, чтобы сумма их на каждой стороне треугольника (см. рис. 1) была равной 20.
 |
3. Прямоугольник составлен из шести квадратов (как показано на рисунке). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.
4. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя, Надя. Девочка в зеленом платье стоит напротив девочки не в голубом платье и рядом с Надей. Девочка в белом платье, стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Девочка в голубом платье, стоит между девочкой в зеленом платье и Аней. Какое платье носит каждая из девочек?
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. В записи ***** × *** = ******1 заменить звёздочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство.
2. Фома, герой стихотворения С. Михалкова, не верил никогда и ничему. Однажды мама ему сказала: «Завтра не будет дождя, и папа отвезет тебя в школу на машине». Что должен сделать Фома следующим утром, если он, как обычно, не поверил, что сказала мама?
а) раскрыть зонт и сесть в машину; г) сесть в машину без зонта;
б) раскрыть зонт и пойти пешком; д) ничего из перечисленного.
в) пойти в школу пешком без зонта;
3. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причем 
улова первого рыбака – караси, а 
улова второго рыбака – окуни. Сколько щук поймал каждый, если оба рыбака поймали поровну карасей и окуней.
4. Прямоугольник составлен из шести квадратов (как показано на рисунке). Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького равна 1.
5. На матче пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся черных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находившихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге 12 полос, затем 2 пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменилась, а число полос стало равно 10?
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. Какие цифры надо поставить вместо букв A и B, чтобы получилось верное равенство AB · А · B = BBB? (Здесь АB – двузначное число, BBB – трехзначное число).
2. Разложите на множители а2 + b2 – (с2 – 2 аb).
3. Изобразите на координатной плоскости область, задаваемую неравенствами у 
2х – 3 и у 
4.
4. В треугольнике ABC сторона AB = 2, 
A = 60° , B = 70°. На стороне AC взята точка D такая, что AD = 1. Найдите углы треугольника DBC.
5. На матче пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся черных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находившихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге 12 полос, затем 2 пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменилась, а число полос стало равно 10?
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. Сократить дробь
2а
– 5а + 2
ab – 2b – 3a + 6.
2. Постройте график функции у = 
.
3. В треугольнике ABC сторона AB = 2, A = 60° , B = 70°. На стороне AC взята точка D такая, что AD = 1. Найдите углы треугольника DBC.
4. Натуральное число х возвели в третью степень. Докажите, что хотя бы одно из чисел х
х или х
– х делится на 10.
5. Баба Яга и Кощей Бессмертный собирали мухоморы. Общее число крапинок на мухоморах Бабы Яги оказалось в 13 раз больше, чем у Кощея. Когда Баба Яга отдала Кощею мухомор с наименьшим количеством крапинок, на ее мухоморах стало в 8 раз больше крапинок, чем у Кощея. Доказать, что у Бабы Яги было не более 23 мухоморов.
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 91, которые после вычёркивания этих цифр уменьшаются в целое число раз.
2. Найти сумму натуральных чисел от 1 до 1000, которые делятся на 7 и не делятся на 13.
3. В треугольнике АВС на стороне АВ = 9 выбрана точка D таким образом, что AD = 2. Найдите площадь треугольника АВС, если ВАС = 45°, а углы ACD и АВС равны.
4. 
Решите систему уравнений
10х2 + 5у2 – 2ху – 38х – 6у + 41 = 0
3х2 – 2у2 + 5ху – 17х – 6у + 20 = 0.
5. На даче, на берегу моря отдыхает семья: дедушка, бабушка, их дочь, зять и внучка. До завтрака они часто купаются в море. При этом известно, что если дед идёт купаться, то с ним обязательно идёт бабушка и зять; если зять идёт купаться, то обязательно берёт с собой жену; внучка купается только с бабушкой. Каждое утро, по меньшей мере, один из стариков непременно купается. Известно, что в то утро купалась или внучка, или её мама. Спрашивается, кто из членов семьи купался в то утро?
Школьный этап олимпиады по математике 2010 год
1. Найти значение выражения
– 
– 
при х < − 2010.
2. Решить уравнение: sin 9х + 
sin (3х + 
) = 
sin (3х + 
)
3. На основании трапеции АВСD взята точка Е, лежащая на одной окружности с точками А, В, D. Другая окружность, проходящая через точки А, В, С касается прямой СD. Найти ВС, если АВ = 12 и ВЕ : ЕС = 4 : 5. Найдите все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй окружности при данных условиях.
4. В прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
5. Решить уравнение в натуральных числах
n! + 5n + 13 = k² , где n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 ∙ … ∙ n произведение всех натуральных чисел
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
5 класс
1. Ответ:
а) 7 · (7 – 7) = 0; г) 7 : 7 + 7 = 8;
б) (7 + 7) : 7 = 2; д) 7 · 7 + 7 = 56;
в) 7 + 7 – 7 = 7; е) (7 + 7) · 7 = 98.
2. Ответ: 450 рублей.
Решение. Так как один распил стоит 50 рублей, а распилов надо сделать 9, то вся работа будет стоить 450 руб.
3. Ответ: См. рис. 2
Решение. Сумма всех чисел на циферблате равна 13 · 6 = 78. То есть в каждой из 3 частей сумма чисел должна равняться 78 : 3 = 26. Поэтому отрезки можно провести, как показано на рис. 31.
4. Ответ: Аня, Валя, Галя и Надя соответственно в белом, голубом, зеленом и розовом платьях.
Решение. Из второго предложения ясно, что Аня и Галя не в голубом платье, Валя и Надя – не в зеленом. Из третьего предложения следует, что Валя не в розовом и не в белом платье. Из четвертого предложения следует, что Галя в зеленом. Используя первое предложение, изобразив девочек по кругу, получим, что Галя будет в зеленом платье, Аня в белом платье, Надя в розовом платье, а Валя в голубом.
|
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
6 класс
1. Ответ: Можно разрезать прямоугольник по диагонали.
2. Ответ: Записать цифры, начиная с верхней вершины по часовой стрелке: 4, 1, 9, 6, 7, 2, 5, 8, 3.
3. Ответ: Сторона большего квадрата равна 7.
Решение. Обозначим длину стороны самого большого квадрата за х. Тогда, двигаясь от большого квадрата по часовой стрелке, последовательно выразим через х стороны других квадратов: (х – 1),
( х – 2), (х – 3). Из равенства левой и правой сторон прямоугольника получаем уравнение х + (х – 1)= (х – 2) + (х – 3) + (х – 3).
Корнем данного уравнения будет х =7.
.
4. Ответ: Аня, Валя, Галя и Надя соответственно в белом, голубом, зеленом и розовом платьях.
Решение. Из второго предложения ясно, что Аня и Галя не в голубом платье, Валя и Надя – не в зеленом. Из третьего предложения следует, что Валя не в розовом и не в белом платье. Из четвертого предложения следует, что Галя в зеленом. Используя первое предложение, изобразив девочек по кругу, получим, что Галя будет в зеленом платье, Аня в белом платье, Надя в розовом платье, а Валя в голубом.
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
7 класс
1. Ответ: Например, так 10001 × 111 = 1110111.
2. Ответ: Раскрыть зонт и пойти пешком в школу.
3. Ответ: Первый 2 щуки поймал, а второй – 0.
Решение. Первый поймал число рыб кратное 9, а второй – кратное 17. Но можно подобрать только два числа, дающих в сумме 70, так, чтобы одно делилось на 9, а второе – на 17. Эти числа 36 и 34. Значит, первый поймал 36 рыб, а второй – 34. Тогда из условия следует, что оба поймали по 20 карасей и 14 окуней. Значит, первый поймал еще 2 щуки, а второй – 0.
4. Ответ: Сторона большего квадрата равна 7.
Решение. Обозначим длину стороны самого большого квадрата за х. Тогда, двигаясь от большого квадрата по часовой стрелке, последовательно выразим через х стороны других квадратов: (х – 1),
( х – 2), (х – 3). Из равенства левой и правой сторон прямоугольника получаем уравнение х + (х – 1)= (х – 2) + (х – 3) + (х – 3).
Корнем данного уравнения будет х =7.
5. Ответ: Разрезать флаг, как показано на рисунке. Затем сдвинуть верхнюю часть сначала вверх на одну ступеньку, а потом вправо на ширину двух полос и можно сшивать.
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
8 класс
1. Ответ: А = 3, В = 7.
Решение. Разделив на В обе части равенства, получим АВ · А = 111. Так как 111 = 37 · 3 (это единственное произведение двузначного числа и однозначного дающего в результате число 111), поэтому А = 3, В = 7.
2. Ответ: (с2 + 2аb) – (а2 + b2) = с2 – (а – b)2 = (с – а + b) (с + а – b).
3. Ответ и решение: Построить на одной координатной плоскости графики функций у = 2х – 3 и у = 4. Область, задаваемая неравенствами у 2х – 3 и у 4 будет находиться левее и выше прямой у = 2х – 3, но ниже прямой у = 4, включая и части этих прямых.
4. Ответ: DCB = 50°, 
ВDС = 90°, а
DВС = 40°.
Решение. Пусть АВС – данный треугольник.
Тогда DCB = 180° – (
°. В треугольнике АВD проведем медиану DМ, тогда АМ = MB = АD = 1. Так как МАD = 60°, то треугольник МАD – равносторонний. Следовательно, МA = AD = DM = МВ = 1, а треугольник DMВ – равнобедренный и DMB = 120°, то есть треугольник АВD – прямоугольный с прямым углом D.
Значит ВDС = 90°, аDВС = 40°.
5. Ответ: Разрезать флаг, как показано на рисунке. Затем сдвинуть верхнюю часть сначала вверх на одну ступеньку, а потом вправо на ширину двух полос и можно сшивать.
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
9 класс
1. Ответ: 
Решение.
1) 2а– 5а + 2 = 2(а – 
)(а – 2) = (2а – 1)(а – 2),
2) аb – 2b – 3а + 6 = b(а – 2) – 3(а – 2 )= (а – 2)(b – 3),
3) 
= 
= .
2. Ответ: График функции у = х + 6, где х ≠ 1.
3. Ответ: DCB = 50°, ВDС = 90°, аDВС = 40°.
Решение. Пусть АВС – данный треугольник.
Тогда DCB = 180° – (°. В треугольнике АВD проведем медиану DМ, тогда АМ = MB = АD = 1. Так как МАD = 60°, то треугольник МАD – равносторонний. Следовательно, МA = AD = DM = МВ = 1, а треугольник DMВ – равнобедренный и DMB = 120°, то есть треугольник АВD – прямоугольный с прямым углом D.
Значит ВDС = 90°, аDВС = 40°.
4. Ответ: Из таблицы видно, что хотя бы одно число делится на 10.
Решение. Найдем последнюю цифру выражений х х и х– х
х оканчивается на | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
х оканчивается на | 0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |
х | 0 | 2 | 0 | 0 | 8 | 0 | 2 | 0 | 0 | 8 |
х | 0 | 0 | 6 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 4 | 0 |
5. Ответ: У Бабы Яги не больше 23 мухоморов.
Решение. Пусть на мухоморах Кощея было N крапинок, тогда на мухоморах Бабы Яги было 13 N крапинок. Если у Бабы Яги на мухоморе с наименьшим числом крапинок было x крапинок, то после передачи его Кощею получим по условию 13N – х = 8 (N + х). Откуда х = 
N. На остальных мухоморах Бабы Яги крапинок не меньше х, поэтому число мухоморов у нее могло быть 13N : 
= 23, 4. Число мухоморов должно быть натуральным и не больше 23, 4. Значит, у нее не больше 23 мухоморов.
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
10 класс
1. Ответ: 191; 791; 1391; 9191
Решение. у = 100х + 91 – натуральные числа. Если зачеркнуть 91, то получим некоторое число х, меньшее данного числа в n раз, то есть n · х = 100х + 91.
х · (n – 100) = 91, х · (n – 100) = 7 · 13 или х · (n – 100) = 1 · 91.
х = 7 или х = 13 или х = 1 или х = 91
n – 100 = 13
n – 100 = 7 n – 100 = 91 n – 100 = 1
x = 7 x = 13 x = 1 x = 91
n = 113 n = 107 n = 191 n = 101
y = 791 y = 1391 y = 191 y = 9191
2. Ответ: 66066.
Решение. Числа, кратные 7, образуют арифметическую прогрессию (an) : а1 = 7, d = 7, an = 7n. Найдём сумму натуральных чисел от 1 до 1000, кратных 7.
7n < 1000, n < (1000 : 7), n = 142. S142 = 
· 142 = 71071.
Аналогично находится сумма натуральных чисел от 1 до 1000, кратных 13.
S10 = 
· 10 = 5005.
Искомая сумма равна разности S = S142 – S10 = 66066.
3. Ответ: 13,5.
Решение. ΔADC ~ ΔABC , ( АС = SΔАВС = SΔАВС = |
9 D 2 45° A C |
.
sin45°,
∙ 
= 13,5.
В4. Ответ: (2; 1)
Решение.
10х2 – (2у + 38)х + 5у2 – 6у + 41 = 0
3х2 – 2у2 + 5ху – 17х – 6у + 20 = 0
Решим первое уравнение системы относительно х.
= (у + 19)2 – 50 у2 + 60у – 410,
= – 49у2 + 98у – 49 = – 49(у2 – 2у + 1) = – 49(у – 1)2.
Очевидно, что уравнение имеет решение лишь при у = 1.
Найдём х: 10х2 – 40х + 40 = 0, х2 – 4х + 4 = 0, (х – 2)2 = 0, х = 2.
Проверкой убеждаемся, что пара х = 2; у = 1 является решением второго уравнения системы.
5. Ответ: Бабушка и внучка.
Решение. Решим задачу методом от противного: пусть был на море дед, тогда с ним бабушка и зять, но тогда и внучка (с бабушкой), и дочка (с мужем) – это противоречит тому, что внучка одновременно с мамой в то утро не была.
Решения задач школьного этапа олимпиады
по математике 2010 год
11 класс
1. Ответ: 4
Решение. Преобразуем исходное выражение
│3х – 12│– │3х + 12│
│2х – 3│ – │2х + 3 │
так как х < – 2010, то │3х – 12│= – 3х + 12; │3х + 12│= – 3х – 12;
│2х – 3│= – 2х + 3; │2х + 3 │ = – 2х – 3.
И тогда выражение будет иметь вид
– 3х + 12 + 3х + 12
– 2х + 3 + 2х + 3
Преобразуем и получим 
= 4.
2. Ответ: х = – 
– 
; х = – 
– 
, где , 
€ Z.
Решение. sin 9х + cos 3х + sin 3х = 0,
sin 9х + cos 
cos 3х + sin sin 3х = 0
sin 9х + cos ( – 3х) = 0,
Так как sin 9х = cos ( – 9х), то получим
сos ( – 9х) + cos ( – 3х) = 0,
2 cos (
– 6х) ∙ cos (
– 3х),
х = – – ; х = – – , где , € Z.
3. 
Ответ: ВС = 18; r1 : r2 = 1 : 3; 5 : 3.
Дано:
АВСD – трапеция
А, Е, С, D – лежат на нижней окружности
(первой окружности радиуса – r1)
А, В, С – лежат на верхней окружности
(второй окружности радиуса – r2)
Вторая окружность касается прямой СD
АВ = 12
ВЕ : ЕС = 4 : 5
Найти ВС и отношение r1 : r2?
Решение.
Пусть ВЕ = 4х, ЕС = 5х, тогда ВС = 9х.
Так как СD – касательная ко второй окружности, то
АСD = 1/2 дуги АС = АВС, САD = АСD, следовательно ∆АСD подобен ∆СВА, поэтому ВАС = СDА =1/2 дуги АС.
Тогда АВ – касательная к окружности, откуда имеем:
АВ² = ВЕ · ВС,
12² = 4х (4х + 5х) = 4 · 9х²,
144 = 36х², х² = 4, х = 2. Тогда ВС = 18 .
Для выполнения условий задачи необходимо и достаточно существования треугольника со сторонами АВ =12 и ВС =18 (точка D восстанавливается из равенства углов, влекущего параллельность АD и ВС, и касание прямыми СD и АВ окружностей, и деление точкой Е секущей ВС в нужном соотношении), кроме случая ВС = АС . При этом отношение радиусов окружностей (описанных около подобных треугольников АСD и АВС:
r1 : r2 = АС : ВС = {(18 – 12) : 18; (18 + 12) : 18} = (1 : 3; 5 : 3).
4. Ответ: Р = 4,8
Дано:
АСВ – треугольник
МНКС – квадрат
АС = 2, СВ = 3
Найти:
Р – квадрата?
Решение.
Р = 4НК. Пусть НК = х, тогда
АМ = 2 – х, КВ = 3 – х.
Треугольники МАН и НВК подобны по двум углам, тогда АМ : КН = КН : ВК.
(2 – х) : х = х : (3 – х),
х² = (3 – х) (2 – х), 5 х = 6, х = 1,2.
Следовательно Р = 4,8.
5. Ответ: n = 2, k = 5.
Решение. Если n ≥ 5, то n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 ∙ … ∙ n и следовательно десятичная запись числа n! + 5n + 13 будет оканчиваться цифрами 3 или 8.
Например, пусть n = 6, 6! = 720, тогда k² = 720 + 30 + 13 = 773. Но, если осуществить перебор по последней цифре, убедимся что квадрат целого числа 2² = 4; 3² = 9 и т. д. не может оканчиваться цифрами ни 3 ни 8.
Значит n ≤ 5.
Пусть n = 4, 4! = 24, тогда k² = 24 + 20 + 13 = 57 – это не квадрат натурального числа.
Пусть n = 3, 3! = 6, тогда k² = 34 – это не квадрат натурального числа.
Пусть n = 2, 2! = 2, тогда k² = 2 + 10 + 13 = 25 – это не квадрат натурального числа, то есть k = 5.
Пусть n = 1, то k² = 19 – это не квадрат натурального числа.
Получили, что уравнение n! + 5n + 13 = k² имеет решение в натуральных числах при n = 2 и k = 5.
Требования к проведению школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2010/2011 учебном году
1. Классы, для которых проводится школьный этап Олимпиады (для учащихся 5-11 классов).
2. Продолжительность олимпиады (рекомендуемое время проведения олимпиады: для 5-6 классов – 1,5 астрономических часа, для 7-8 классов – 2 астрономических часа, для 9-11 классов 2,5 астрономических часа).
3. Порядок формирования жюри Олимпиады (из ведущих учителей школы, возможно приглашение представителей других школ, методистов муниципальных органов управления образования).
Требования к проверке работ
1. Решение каждой задачи оценивается Жюри в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной центральной предметно-методической комиссией:
Баллы | Правильность (ошибочность) решения. |
7 | Полное верное решение. |
6-7 | Верное решение, но имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. |
5-6 | Решение в целом верное. Однако решение содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений. |
3-4 | Верно рассмотрен один из существенных случаев. |
2 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. |
0-1 | Рассмотрены отдельные случаи при отсутствии правильного решения. |
0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют. |
0 | Решение отсутствует. |
2. Жюри рассматривает записи решений, приведенные в чистовике. Черновик рассматривается только в случае ошибочного переноса записей из черновика в чистовик.
3. Каждая работа должна быть оценена двумя членами Жюри. В случае расхождения их оценок вопрос об окончательном определении баллов, выставляемых за решение указанной задачи, определяется председателем Жюри или назначенным им старшим по классу.
4. Олимпиада не является контрольной работой и недопустимо снижение оценок по задачам за неаккуратно записанные решения, исправления в работе.
5. В то же время обязательным является снижение оценок за математические, особенно логические ошибки.
6. Объективность и непринятие к учету школьных оценок по математике (возможны случаи, когда потенциально, с точки зрения математических способностей, более способный учащийся хуже успевает на уроках математики).
7. Результаты проверки всех работ участников Олимпиады члены Жюри заносят в итоговую таблицу.
Требования к порядку проведения Олимпиады:
1. Задания каждой возрастной параллели составляются в одном варианте, поэтому участники должны сидеть по одному за столом (партой).
2. Участники выполняют задания на стандартных двойных листах в клетку, либо в ученических тетрадях в клетку.
3. Во время туров участникам запрещается пользоваться справочной литературой, электронными вычислительными средствами или средствами связи;
4. Задания Олимпиады записываются перед ее началом на доску, либо тиражируются в количестве, соответствующем количеству участников Олимпиады.
