Исследование электрических полей (стр. 3 )

Приравнивая правые части уравнений, получим уравнения, называемые уравнениями Коши–Римана:

Прямая и обратная задачи расчета полей по методу конформных преобразований. Прямая задача формулируется следующим образом. Известны эквипотенциальные линии плоскости z (обычно известны две линии в соответствии с тем, что поле создается двумя электродами – поверхность каждого электрода является эквипотенциалью). Требуется найти такую функцию w=f(z), действительная U или мнимая V часть, которой удовлетворяла бы уравнению U(x, y)=const [или соответственно уравнению V(x, y)=const] на поверхности каждого электрода. Отметим, что ортогональная сетка на плоскости w может быть описана не только в декартовой, но и в полярной системе координат.

Если такая функция будет найдена, то на основании теоремы единственности она будет правильно описывать поле во всех его точках.

Очертания электродов в плоскости z могут быть самыми различными. Если очертания электродов таковы, что их можно представить кусочно-ломанными прямыми, то задачу нахождения функции w=f(z) можно решить в общем, виде с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца. Если же очертания электродов в плоскости z таковы, что не могут быть представлены кусочно-ломанными прямыми, то общий метод нахождения функции w=f(z) для таких задач в настоящее время не известен. Тем не менее, метод конформных отображений часто стремятся применить и в этом случае, решая задачу обходным путем - просматривают уже известные решения, имеющиеся в учебной и специальной литературе, и пытаются найти такое, в котором форма двух эквипотенциалей, если не полностью, совпадает с формой (очертаниями) электродов исследуемого поля, то достаточно близка к ним. Это решение и принимают в качестве искомого.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Обратная задача формулируется так. Задана некоторая аналитическая функция w=f(z). Требуется выяснить, взаимное конформное преобразование, каких полей может быть осуществлено с помощью этой функции. В качестве примера обратной задачи рассмотрим преобразование, осуществляемое функцией

где m и k – некоторые числовые коэффициенты.

Разрешив уравнение относительно z, будем иметь:

Следовательно,

Разделим уравнение на и уравнение на возведем полученные уравнения в квадрат и сложим. Получим уравнение эллипса:

Полуоси его:

Из уравнения эллипса следует, что различными U=const соответствует семейство конфокальных эллипсов с фокусным расстоянием от центра

Разделив уравнение на и уравнение на а затем, возведя их в квадрат и вычтя одно из другого, получим уравнение гиперболы:

с полуосями

Уравнение гиперболы при V=const описывает семейство конфокальных гипербол с фокусным расстоянием

Таким образом, функция конформно преобразует совокупность взаимно перпендикулярных эллипсов и гипербол на плоскости z в совокупность взаимно перпендикулярных прямых на плоскости ω.

Рабочее задание.

1. Открыть окно программы по расчету электрического поля электродов различной геометрии, запускающий файл программы (рис.2).

Нажатием на кнопку «Данные» в окне программы произвести ввод данных по коду (по указанию преподавателя).

Внимание! Ввод данных может осуществляться автоматически при наборе кода в строке «Введи вариант» или вручную введением значений исходных величин в соответствующие ячейки окна программы, например (рис.2). Полуось а должна быть больше полуоси b, далее Umax>Umin и Vmax>Vmin. Все введенные значения должны быть обязательно положительными.

Форма электродов

Минимальное напряжение Umin

Максимальное напряжение Umax

Полуось a

Полуось b

В зависимости от формы электродов активируются одни окна, а другие становятся не доступными.

Внимание! Программа содержит встроенную помощь и информацию о программе. Они вызываются нажатием на расположенную в верхнем левом углу окна, кнопку « Помощь».

Рис. 2 Окно задания исходных данных

2. При нажатии кнопки « Ввод данных» на экран выводится построение картины поля с введенными параметрами. Необходимо проследить процедуру поэтапного построения картины электрического поля электродов различной геометрии.

Рис. 3. Пример построения картины поля.

3. Непосредственное построение картины поля в окне «Построение» (рис.2):

1.Ввести значения m и k.

2.Ввести координаты точки пересечение наименьшего электрода с осью ОХ.

3.Приступить к самостоятельному построению силовых линий поля электродов различной геометрии. Величина ΔV=const. Значения V считываются компьютером, необходимо вычислить координаты точек пересечения с осью ОХ (рис.4).

Рис. 4. Построения картины поля.

Результаты расчетов занести в табл. 1.

Таблица 1

№	Значение силовой линии , В	Значение координаты X точки пресечения с осью OX, мм
1
2
….
10

4. Приступить к самостоятельному построению эквипотенциальных линий поля электродов различной геометрии. Величина ΔU=const. Значения U считываются компьютером, необходимо вычислить координаты точек пересечения с осью ОY (рис.4). и заполнить табл. 2.

Таблица 2

№	Значение силовой линии , В	Значение координаты Yточки пересечения с осью OY, мм
1
2
….
10

4. Произвести вывод построенной картины электрического поля электродов различной геометрии на принтер. Обозначить на чертеже силовые и эквипотенциальные линии поля. Указать направления линий напряженности электрического поля.

Домашнее задание.

1. Что такое конформные преобразования?

2. Вывести уравнения Коши–Римана.

3. Докажите, что потенциальная функция U и функция потока V удовлетворяют уравнению Лапласа.

4. Связано ли изменение потенциала с перемещением вдоль эквипотенциальной линии?

5. Какая разница между напряжением и напряженностью электрического поля?

6. О чем гласит прямая задача расчета полей по методу конформных преобразований.

7. Сформулируйте закон Кулона.

Вопросы к защите

1. Для чего необходимы силовые линии?

2. Какие поля называются потенциальными?

3. От чего зависит потенциал любой точки поля?

4. Выведите интегральную связь между напряженностью электрического поля и потенциалом.

5. Для чего в электротехнике введено понятие «нулевой потенциал»?

6. Что такое точечный заряд?

7. Охарактеризуйте поле точечного и линейного зарядов.

8. Какие характеристики поля называют интегральными?

9. Какая разница между электрической проницаемостью и относительной электрической проницаемостью?

10. Дайте определение методу конформных преобразований

11. Какую функцию называют аналитической?

Литература.

1. Бессонов основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Высш. Школа, 1978. – с, с.

2. , , Жуков . М., 1967г. – с. 25–32.

Лабораторная работа 4

Исследование электрического поля у края плоского конденсатора.

Цель работы: Математическое моделирование электрического поля у края плоского конденсатора методом комплексного переменного. Построение картины поля. Определение напряженности электрического поля у самого края и в точках диэлектрика конденсатора.

Расчетная схема по исследованию поля у края плоского конденсатора приведена на рис.1.

Краткая теория.

Для исследования электрического поля у края плоского конденсатора используем преобразование:

, (1)

где - есть функция комплексного переменного; A и a –коэффициенты при неизвестной .

Выделим в выражении (1) вещественную и мнимую часть z подстановкой .

Тогда

При u = 0

, . (2)

Прямая u = 0 на плоскости ω преобразуется в ось абсцисс y = 0 на плоскости , и может представлять собой линию симметрии, разделяющую диэлектрик конденсатора пополам.

При

, . (3)

Уравнения (3) определяют две полупрямые, параллельные оси абсцисс в плоскости . Они могут представлять собой заряженные поверхности. Координата при изменении функции потока имеет один максимум, определяемый из условия

Из него следует v = 0. Это означает, что максимальное значение . При значениях функции потока значения . Координата y остается при этом постоянной. Она имеет значения для одной полупрямой , а для другой . Эти полупрямые на плоскости показаны на рис. 1. Если обозначить расстояние между ними через d, то коэффициент А в уравнении (1) можно определить из условия

. (4)

Заряженные поверхности, которые в плоскости представлены двумя полупрямыми, имеют потенциалы и . Если напряжение между пластинами конденсатора обозначить через U, то постоянная в уравнении (1)

. (5)

Таким образом, преобразование (1) в плоскости с использованием функции комплексного переменного определяет поле между пластинами плоского конденсатора. Выполнив подстановку найденных значений коэффициентов в выражение для z, получим:

. (6)

Кривые в выражении (6) представляют собой силовые линии поля, а кривые - соответственно эквипотенциальные линии.

Составляющие вектора напряженности поля могут быть получены из уравнений:

; . (7)

Наибольший интерес представляет модуль вектора напряженности электрического поля, который согласно уравнениям Коши – Римана , равен

. (8)

Справедливость соотношения (8) можно пояснить также тем, что производная

(9)

Величина получила название линейный коэффициент преобразования.

Определим коэффициент М для преобразования (6) следующим образом.

Найдем производную

Принимая во внимание, что

получим

; (10)

Соотношения (10) позволяют вычислить вектор напряженности электрического поля в любой точке диэлектрика конденсатора: модуль напряженности поля , а угол указывает его направление. Положительное значение угла при этом следует отсчитывать от оси OX в плоскости z против часовой стрелки.

Решение (10) дает возможность также найти расстояние от края конденсатора, на котором поле можно считать практически однородным. Напряженность такого поля . Для точек на оси OX имеем

. (11)

Принимая , получим и . После подстановки значения в выражение (2) значение координаты x будет . Расстояние искомой точки от края конденсатора равно . С учетом выражения (4) находим . Отсюда следует, что на расстоянии от края конденсатора чуть большем половины толщины диэлектрика, поле можно считать однородным с высокой степенью точности (менее одного процента).

Рабочее задание.

1. Открыть окно программы по расчету электрического поля у края плоского конденсатора, запускающий файл программы electric con. exe (рис.2).

Нажатием на кнопку «Данные» в окне программы произвести ввод данных по коду (по указанию преподавателя).

расстояние между обкладками конденсатора 2 мм;

верхнее значение напряжения U2 10 В;

нижнее значение напряжения U1 -10 В;

верхнее значение потока V2 10 В

нижнее значение потока V1 -10 В

Для удобства анализа построенной картины поля целесообразно число эквипотенциальных и силовых линий сделать одинаковым. Поэтому при задании исходных данных рекомендуется придерживаться условия U2=V2, U1=V1.

Внимание! Программа содержит встроенную помощь и информацию о программе. Они вызываются нажатием на расположенную в верхнем левом углу окна кнопку «О программе».

Рис. 2 Окно задания исходных данных

2. Запустить демонстрационную версию программы electric con. exe нажатием на кнопку «График» в левом верхнем углу окна (рис. 2). В новом окне (рис. 3) нажать на кнопку «Строить график» и проследить процедуру построения картины электрического поля у края плоского конденсатора.

Рис. 3. Демонстрационная версия программы electric con. exe

3. Приступить к самостоятельному построению эквипотенциальных линий поля у края плоского конденсатора. Для этого нажать на кнопку «Пример» в левом верхнем углу окна (рис.2). Задаваясь значениями эквипотенциальных линий, различающихся на величину U= const в ячейке «Введи значение U», и нажимая всякий раз после ввода значения U на кнопку «Ввод», построить их в окне (рис. 4).

Рис. 4. Пример построения картины поля.

1. Приступить к самостоятельному построению силовых линий поля у края плоского конденсатора. Для этого следует задаться значениями V, отличающимися друг от друга на величину V = const в интервале от V1 до V2. Ввести заданные значения V в ячейку «Введи значение V» и указать для каждого из них в ячейке «Введи ответ» значение координаты точки на оси OX, через которую проходит указанная силовая линия (рис. 4). После ввода значения координаты точки нажать на кнопку «Ввод». При правильном ответе программа в окне (рис. 4) построит силовую линию, соответствующую заданному значению V. Если расчет по формуле (2) произведен неверно, то вычисления следует повторить.

2. Результаты расчетов по формуле (2) п.4 рабочего задания занести в табл. 1.

Таблица 1

№	Значение силовой линии , В	Значение координаты точки на оси OX, мм
1
2
….
20

3. Произвести вывод построенной картины электрического поля у края плоского конденсатора на принтер. Обозначить на чертеже силовые и эквипотенциальные линии поля. Указать направления линий напряженности электрического поля.

4. Определить максимальную напряженность электрического поля у края обкладки плоского конденсатора, используя соотношения (10).

5. По картине поля произвести приближенную оценку емкости плоского конденсатора с учетом краевого эффекта, задавшись размерами пластин (по указанию преподавателя).

6. По указанным в п.8 рабочего задания размерам пластин конденсатора определить поток вектора напряженности электрического поля сквозь плоскость между пластинами, параллельную им.

Домашнее задание.

1.Что обуславливает собой электрическая емкость конденсатора?

2. Вывести выражение для емкости плоского конденсатора, полагая поле между пластинами однородным.

3. Как можно определить максимальную напряженность электрического по

ля у края обкладки конденсатора?

4. Обьясните, почему в эталонных воздушных конденсаторах высокого на

пряжения в качестве рабочей используют только среднюю часть пласти

ны? Что называется охранным кольцом?

5. Чему равно отношение зарядов двух одинаковых конденсаторов, вклю

ченных параллельно, имеющих диэлектрики с разными диэлектрическими

проницаемостями и ?

6. Вывести выражение для ёмкости двух последовательно включенных кон -

денсаторов.

7.Каков геометрический и физический смысл коэффициента преобразования?

Вопросы к защите.

1. В чем заключаются различия между плоскопараллельным и плоскомеридианным полями?

2. Каково физическое значение линий и линий на плоскости z ?

3. На каком расстоянии от края электрическое поле внутри плоского конденсатора можно считать практически равномерным, то есть отличающимся не более чем на один процент от напряженности равномерного поля? Расчет сделать для линии симметрии и для поверхности обкладки.

4. Пластины плоского конденсатора имеют размеры , расстояние между ними 2 мм. Напряжение на конденсаторе 100 В. Чему равен поток вектора напряженности электрического поля сквозь плоскость между пластинами, параллельную им?

5. Дайте определение емкости уединенного тела.

6. Рассчитать емкость конденсатора, имеющего площадь пластин и расстояние между пластинами (диэлектриком служит слюда с относительной диэлектрической проницаемостью ). К конденсатору приложено напряжение 400 В. Определить энергию электрического поля конденсатора и силу притяжения пластин .