Исследование электрических полей (стр. 1 )

Министерство образования Российской Федерации.

Омский Государственный Технический Университет.

Кафедра «Электрической техники»

Исследование электрических полей

Методические указания к лабораторным работам по курсу

«Теоретические основы электротехники»

ОМСК 2003

Министерство образования Российской Федерации.

Омский Государственный Технический Университет.

Исследование электрических полей.

Методические указания к лабораторным работам.

Омск 2003

Введение

Данное методическое указание предназначено для помощи студентам при выполнении лабораторных работ по курсу ТОЭ «Исследование электростатических полей». Выполнение работ предусмотрено с использованием персонального компьютера, что позволяет не только рассчитать параметры поля, но и наглядно увидеть графическое представление картины поля, получаемое в ходе лабораторных расчетов.

Курс лабораторных работ рассчитан на выполнение четырех работ по математическому моделированию электрических полей :

-  исследование электрического поля двухпроводной линии передачи;

-  исследование электрического поля параллельных несоосных цилиндров;

-  исследование плоскопараллельного электрического поля между электродами заданной геометрии;

-  исследование электрического поля у края плоского конденсатора.

Каждая лабораторная работа содержит несколько обязательных разделов:

1.  Цель работы;

2.  Краткая теория;

3.  Рабочее задание;

4.  Домашнее задание;

5.  Вопросы к защите.

В первом разделе содержатся задачи, которые должны быть решены студентом в ходе лабораторной работы. В краткой теории изложены основные теоретические положения, используемые для составления и решения конкретной задачи. Раздел рабочее задание содержит указания для выполнения той части работы, в которой используется персональный компьютер. Домашнее задание предлагается студенту для закрепления теоретической базы, а также для расширения знаний по данным вопросам. Выполнение пятого раздела позволяет студенту подготовиться к защите теоретической части лабораторной работы.

Лабораторная работа 1

Исследование электрического поля двухпроводной линии передачи

Цель работы. Математическое моделирование электрического поля двухпроводной линии. Расчет основных величин, характеризующих поле и линию. Исследование влияния расстояния между проводами, радиуса провода на характеристики электрического поля и параметры линии.

Расчетная схема двухпроводной линии передачи приведена на рис.1.

 

Краткая теория.

Электрическое поле двухпроводной линии является плоскопараллельным, так как основные величины, характеризующие поле (вектор напряженности электрического поля и электрический потенциал в любой точке поля) являются функциями только двух пространственных координат ( х и у ) при условии, что провода линии передачи ориентированы параллельно оси z. Это обстоятельство значительно облегчает задачу расчета электрического поля двухпроводной линии. Для построения картины поля и определения его основных характеристик воспользуемся функцией комплексного переменного.

Будем рассматривать плоскость, в которой расположены линии напряженности электрического поля, как плоскость комплексного переменного , где и соответственно действительная и мнимая части переменного .

Функция

(1)

- есть функция комплексного переменного. Запись (1) означает, что каждому значению чисел и соответствуют вполне определенные числа и . При этом и - есть функции двух действительных переменных. Функции комплексного переменного так же, как функции действительного переменного могут быть однозначными и многозначными. Однозначной называют функцию, для которой каждому значению независимого комплексного переменного соответствует только одно значение . Напротив, если одним и тем же значениям соответствует несколько различных значений , то такая функция называется многозначной. Для исследования поля используются только однозначные функции комплексного переменного. Необходимым и достаточным условием непрерывности функции комплексного переменного является непрерывность ее действительной и мнимой частей. При этом сумма, разность, произведение и частное непрерывных функций комплексного переменного также непрерывны. Определение дифференцируемости функции по комплексному переменному аналогично соответствующему определению дифференцируемости по действительному переменному, а именно,

, (2)

Поскольку по определению производные для дифференцируемой функции не зависят от пути, по которому производится приближение к точке, то должно выполняться равенство

, (3)

Эти уравнения называют условиями Коши – Римана. Если продифференцировать первое уравнение в выражении (3) по , а второе уравнение по , то

, (4)

откуда

(5)

Аналогичным образом, дифференцируя в выражении (3) первое уравнение по , а второе уравнение по , после суммирования получим

. (6)

Уравнения (5) и (6) представляют собой уравнения Лапласа для функций и .

Аналитические функции и можно использовать в расчетах плоских электрических и магнитных полей. При этом расчет поля с использованием функции комплексного переменного заключается в отыскании или подборе такой функции, которая удовлетворяла бы заданным граничным условиям поставленной задачи.

Будем считать, что функция является потенциальной функцией электрического поля двухпроводной линии. Напряженность такого поля определится из условия

(7)

Тогда для расчета напряженности электрического поля имеем:

, и .

С учетом условия Коши – Римана из соотношений (3) следует

, , . (8)

Уравнение силовой линии поля в декартовых координатах имеет вид

(9)

после подстановки в него составляющих напряженности электрического поля согласно ( 8 ) получим:

(10) Равенство ( 10 ) показывает, что приращение функции вдоль силовой линии поля отсутствует, следовательно уравнение следует рассматривать как уравнение силовой линии поля. Так как функция неизменна вдоль любой линии поля, то между двумя соседними линиями значение функции также неизменно. Это свойство функции аналогично свойству потока вектора напряженности электрического поля, поэтому ее можно рассматривать как поток вектора . Используя условия Коши – Римана, легко показать, что функции и оказываются взаимно ортогональными, образуя в плоскости чертежа прямоугольную сетку. При этом совершенно безразлично, какую из частей функции комплексного переменного или следует считать потенциалом, а какую потоком вектора, поскольку обе они удовлетворяют уравнению Лапласа (5), (6).

Проанализируем функцию

, (11)

где А – действительная постоянная.

Принимая во внимание, что , - аргумент переменной, находим:

(12)

Из выражения (12) видно, что действительная и мнимая части функции комплек-сного переменного есть

и . (13)

Линии равного электрического потенциала и линии функции потока в этом случае определяются следующими условиями и . По структуре линии и представляют собой концентрические окружности с радиуса-ми, проведенными из центра Точно такую же структуру имеет электрическое поле уединенного провода, имеющего линейную плотность заряда .

Воспользовавшись теоремой Гаусса нетрудно найти постоянную

, (14)

где Ф/м – диэлектрическая постоянная воздуха (вакуума) , - отно-сительная диэлектрическая проницаемость среды.

Подставляя в (12) постоянную , находим комплексный потенциал поля линейного заряда с полюсами в центре координатных осей.

Напряженность электрического поля при этом будет

. (15)

Если две из эквипотенциальных поверхностей такого поля заменить тонкими про-водящими поверхностями с потенциалами и , то структура поля от этого не изменится. Однако за счет изменившихся граничных условий

при ,

(16) )

при ,

постоянная комплексного потенциала изменится

. (17)

Подставляя ее выражение в уравнение (11), можно определить комплексный потен-циал поля коаксиального кабеля

. (18)

Для поля двух линейных зарядов , имеющих координаты ; , комплексный потенциал поля

, (19)

где - постоянная.

Обозначая расстояния от точки до местоположения линейных зарядов через и , в полярных координатах выразим и , где и - есть углы с осью Х ( рис.1 ).

Комплексный потенциал

. (20)

Отсюда находим

; . (21)

Линии равного электрического потенциала определяются условием , а линии функции потока – соответственно . Первое условие представляет собой уравнение окружности, а второе – уравнение дуги окружности, для которой хордой является отрезок прямой, соединяющий линейные заряды.

Уравнение линии равного потенциала удобнее записывать в декартовых координа-тах

Преобразуя, получаем

. (22)

Полученное уравнение - есть уравнение окружности с радиусом и координатами центра и .

Координата в уравнении (22) получается положительной для , то есть для полупространства с отрицательной заряженной осью. Окружности равного потен-циала оказываются при этом справа от оси ( рис.2 ).

Если принять в выражении (21) , то получим при , то есть линией нулевого потенциала является ось ординат. Чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней оставалось постоянным необходимо соблюдать условие:

, (23)

то есть числа при возрастании должны изменяться в геометрической прогрес-сии

. (24)

Приняв в выражении функции потока , получим при , то есть начальной линией напряженности поля при являются участки абсцисс, уходящие от проводов в бесконечность.

Рис.2 Построение линии равного электрического потенциала.

Уравнение любой линии напряженности электрического поля имеет вид:

или (25)

и, следовательно, является уравнением дуги окружности, пересекающейся с линей-ными проводами, что видно непосредственно по рис. 3.

Рис.3 Построение линии напряженности электрического поля.

Действительно, QMP, под которым виден отрезок QP из точек , лежащих на линии напряженности поля, равен углу и остается постоянным по величине.

Координаты центра окружности

, (26)

.

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока, следует считать разность одинаковой для двух любых соседних линий. Для этого необходимо при переходе от любой линии напряженности поля к соседней изменять угол на постоянную величину.

Провода реальной двухпроводной линии передачи имеют конечные сечения. Пусть и R - это координата центра и радиус окружности равного потенциала, совпадающей с окружностью сечения провода.

Тогда принимая

и (27)

нетрудно убедится, что . Отсюда находим положение электрических осей по заданному расстоянию между геометрическими осями и радиусу сечений проводов, как

. (28)

При этом поле внутри металлических проводов будет отсутствовать, а поле в диэ-лектрике с учетом замены реальных проводов электрически заряженными осями останется без изменения, так как удовлетворяется граничное условие – постоянство потенциала на поверхности провода.

На рис.5 построена картина электрического поля двухпроводной линии пере-дачи, причем принято и . Из картины поля видно, что напря-женность поля принимает максимальное значение в точках и . Около этих точек диэлектрик находится в наиболее напряженном состоянии, и при повышении напряжения между проводами нарушение электрической прочности диэлектрика начинается именно в этих точках.

Согласно выражению (15) напряженность электрического поля в точке будет:

. (29)

Если принять во внимание притяжение зарядов разного знака, то очевидно, что распределение плотности электрического заряда по поверхности прово-дов, даже в случае их круглого сечения, также будет неравномерным.

Напряжение между проводами линии с учетом выражения (21) будет:

. (30)

Емкость двухпроводной линии передачи не зависит от заряда (= , где - длина линии ), а является функцией геометрических размеров проводов, их взаимного расположения и диэлектрической проницаемости среды :

. (31)

Рабочее задание.

1.  Открыть окно программы по расчету электрического поля параллельных несоосных цилиндров, запускающий файл программы mkp. exe (рис.4).

Внимание! Программа содержит встроенную помощь и информацию о прог-рамме, которые можно получить нажатием на расположенные в вернем левом углу окна кнопки «Помощь» и «О программе».

Произвести ввод данных по коду (по указанию преподавателя) нажатием на кнопки «Ввод данных» и после завершения ввода кода «Ok».

2. Нажать на кнопку «Решение» и войти в диалоговое окно построения картины электрического поля двухпроводной линии передачи (рис. 5).

Заполнить табл. 1 значениями расчетных параметров K, , , R для опреде-ления эквипотенциальных линий электрического поля в соответствии с исход-ными данными, используя соотношения (22), (24), (27), (28).

Таблица 1.

№	Параметр	Координаты центра окружности	Радиус
К,	, м	, м	R, м
1
2
…
10

3. Ввести построчно с №=1 до №= 10 значения параметров табл.1 в соответ-ствующие ячейки окна программы (рис.5) с целью построения линии равного электрического потенциала при постоянном значении К. После ввода значений параметров строки табл.1 нажать на кнопку «Ввод». Если расхождения резуль-татов ручного и машинного расчетов не превышает допустимой ошибки =5 %, то на чертеже (в окне программы) появится след линии равного потенциала.

В противном случае ручной расчет следует повторить.

Внимание! Для значения параметра K=1 в ячейки программы следует ввести значения = 1000 м, = 0 м, R = 1000 м с тем, чтобы предотвратить выполнения машинной операции деления на ноль.

4. Заполнить табл. 2 значениями расчетных параметров , , , R для построения линий напряженности электрического поля в соответствии с исход-ными данными, используя соотношения (26) и формулу для определения .

Таблица 2.

№	Параметр	Координаты центра окружности	Радиус
, грд	, м	, м	R, м
1
2
…
10

5. Ввести построчно с №=1 до №= 10 значения параметров табл.2 в соответствующие ячейки окна программы (рис.5) с целью построения линии напряженности электрического поля при постоянном значении . После ввода значений параметров строки табл.2 нажать на кнопку «Ввод». Если расхож-дения результатов ручного и машинного расчетов не превышает допустимой ошибки = 5 %, то на чертеже (в окне программы) появится след силовой линии поля. В противном случае ручной расчет следует повторить.