Программа по курсу вычислительная математика

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

17 июня 2006 г.

П Р О Г Р А М М А

по курсу ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

по направлению 511600

факультет ФОПФ, ФМБФ, ФПФЭ

кафедра вычислительной математики

курс III

семестр 5

лекции – 34 часа Экзамен – нет

практические (семинарские)

занятия – нет Диф. зачет – 5 семестр

лабораторные занятия – 34 часа Самостоятельная работа –

2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ 68

Программу и задание составили:

чл.-корр. РАН А. С. Холодов
д. ф.-м. н., профессор И. Б. Петров
д. ф.-м. н., профессор А. И. Лобанов

Программа обсуждена на заседании

кафедры вычислительной математики

12 апреля 2006 года.

Заведующий кафедрой А. С. Холодов

1.  Предмет вычислительной математики. Специфика машинных вычислений.

2.  Элементарная теория погрешностей.

3.  Численное дифференцирование. Простейшие формулы численного дифференцирования. Оценка погрешности. Оптимальный шаг численного дифференцирования.

4.  Задача алгебраической интерполяции. Существование и единственность решения. Интерполяционный полином в форме Лагранжа и в форме Ньютона. Оценка погрешности интерполяционных формул, остаточный член интерполяции. Функция Лебега, константа Лебега. Оценка погрешности интерполяции для функций, заданных с ошибками. Оптимальный выбор узлов интерполяции. Полином Чебышёва. Тригонометрическая интерполяция.

5.  Сплайны. Интерполяция сплайнами, понятие о сглаживающих сплайнах. B-сплайны.

6.  Численное интегрирование. Простейшие квадратурные формулы (прямоугольников, трапеций, Симпсона) и оценка их погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.

7.  Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы: Гаусса, Гаусса с выбором главного элемента. Обусловленность матрицы линейной системы. Оценка погрешности численных методов решения алгебраических систем.

8.  Итерационные методы решения линейных систем. Метод простых итераций, метод Зейделя, метод верхней релаксации. Методы решения, основанные на минимизации функционалов. Метод сопряженных градиентов.

9.  Проблема поиска собственных значений матрицы. Метод вращений для поиска собственных значений самосопряженной матрицы.

10.  Методы приближенного решения нелинейных алгебраических уравнений. Принцип сжимающих отображений. Метод простой итерации. Метод Ньютона. Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона. Понятие о дискретных отображениях, их связь с итерационными методами. Бифуркации в логистическом отображении.

11.  Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Простейшие численные методы. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации, устойчивости, сходимости.

12.  Методы Рунге–Кутты решения систем ОДУ. Устойчивость методов Рунге–Кутты. Экспоненциальная оценка устойчивости, устойчивость при различных типах поведения решения (на устойчивых и «не неустойчивых» траекториях).

Правило Рунге оценки погрешности. Управление длиной шага при численном интегрировании систем ОДУ. Вложенные методы Рунге–Кутты.

13.  Численное решение жестких систем ОДУ (ЖС ОДУ). Явление жесткости. Линейные ЖС ОДУ. А-устойчивые и А(α)-устойчивые методы решения нелинейных ЖС ОДУ. Асимптотическая устойчивость численных методов (L-устойчивость).

14.  Неявные методы Рунге–Кутты. Одноитерационные методы Розенброка. Формулы дифференцирования назад (ФДН) и многозначные методы Гира. Методы Гира в представлении Нордсика.

15.  Численное решение краевых задач для ОДУ. Линейное уравнение второго порядка. Метод стрельбы. Метод прогонки для задачи Штурма–Лиувилля. Метод построения общего решения. Нелинейное уравнение второго порядка. Метод стрельбы. Метод квазилинеаризации.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1.  Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. — М.: Наука–Физматлит, 1994. — 335 с.; 2-е изд. М.: Физматлит, 2000. — 296 с.

2.  Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. — М.: Изд-во МФТИ, 1994. — 528 с.

3.  Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.

4.  Лобанов А. И., Петров И. Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Часть 1. — М.: МФТИ, 2000. — 168 с.

5.  Косарев В. И. 12 лекций по вычислительной математике. 2-е изд. — М.: Изд-во МФТИ, 2000. — 224 с.

6.  Лабораторный практикум «Основы вычислительной математики» 2-е изд, исправленное и дополненное / В. Д. Иванов, В. И. Косарев, А. И. Лобанов, И. Б. Петров, В. Б. Пирогов, В. С. Рябенький, Т. К. Старожилова, А. Г. Тормасов, С. В. Утюжников, А. С. Холодов. — М.: Изд-во МЗ-пресс, 2003 — 196 с.

Дополнительная литература

1.  Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

2.  Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. — М.: Мир, 1999. — 685 с.

3.  Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994.

4.  Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М.: Мир, 1998. — 575 с.

5.  Самарский А А., Гулин А В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

6.  Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. 8-е изд. —М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 624 с.

ЗАДАНИЕ 1

Варианты проведения практических занятий — на усмотрение преподавателя.

Вариант 1. Лабораторные работы 1–5 из пакета компьютерных лабораторных работ по вычислительной математике (темы: погрешности вычислений, интерполяция, численное интегрирование, решение линейных систем уравнений, решение нелинейных уравнений).

Вариант 2.

1.  Требуется вычислить производную заданной функции f(x) в некоторой точке x. Известно, что и при любых x. Используются приближенные формулы

Указать в обоих случаях шаг дифференцирования h, при котором погрешность в вычислении производной не превосходит 10–3.

Пусть вычисления проводятся на машине с длинной мантиссы 52 бита. Указать оптимальные шаги численного дифференцирования.

2. Функция f(x), определенная на отрезке [0, 1], приближается своей таблицей с постоянным шагом h. Пусть известно, что . Какую неустранимую погрешность вносит табличное представление функции?

3. Пусть неустранимая погрешность измерения x составляет 10–3 . Для вычисления значений функции используется частичная сумма ряда Маклорена. Как выбрать число членов ряда, чтобы погрешность такого приближения функции не превосходила неустранимую погрешность? Рассмотреть функцию на отрезке [0, 1] и на отрезке [10, 11].

4. Для линейной системы уравнений

ответить на следующие вопросы:

а) Каково число обусловленности системы, где A — матрица этой системы, а в качестве нормы произвольного вектора используется первая норма, т. е.

?

б) Какова допустимая относительная погрешность при задании , при которой относительная погрешность решения не превосходит ?

в) Пусть С каким числом знаков надо вести вычисления по методу Гаусса без выбора главного элемента, чтобы найденные и имели хотя бы по одному верному десятичному знаку? Тот же вопрос для метода Гаусса с выбором главного элемента.

5. Рассмотрим систему

а) Пусть вектор получает некоторое возмущение . Тогда решение получит соответствующее возмущение . Найти наименьшее число m, при котором независимо от b и от db выполняется оценка

.

Сделать это, используя нормы , , , введенные по формулам

,

,

и найти соответствующие значения , , .

Как при заданном фиксированном b найти наименьшее число , при котором независимо от db выполнена оценка

, ?

Найти то , которому соответствует наименьшее , а также само это значение в случае использования первой, второй и третьей () нормы.

6. Рассмотреть систему

и ответить для нее на вопросы предыдущей задачи.

7. Показать, что положительное решение уравнения можно приближенно вычислить, пользуясь итерационной формулой — произвольно.

Положим Найти n, чтобы погрешность не превосходила .

8. Занумеруем корни , уравнения в порядке возрастания. Показать, что итерации

,

сходятся к корню , если за принять число

.

9. С каким шагом надо составить таблицу значений функции , чтобы при использовании линейной интерполяции погрешность не превосходила :

а) ;

б) ;

в)

10. Вычислить несобственный интеграл с точностью :

.

11. Самостоятельно реализовать на ЭВМ программу поиска собственных значений матрицы, итерационный метод решения линейной системы или задачу интерполяции функции (по указанию преподавателя).

ЗАДАНИЕ 2

Вариант 1. Лабораторные работы 6–7 из пакета компьютерных лабораторных работ по вычислительной математике (темы: задача Коши для систем ОДУ, краевые задачи). Дополнительно: программа DEQS решения ЖС ОДУ. Исследуется жесткая система по указанию преподавателя, по результатам работы оформляется письменный отчет.

Вариант 2.

1. Пусть дана следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений:

Для численного решения задачи проведем следующие вычисления:

где a, b, c — действительные числа (вектор считается известным, т. к. — начальные условия, по этим значениям можно найти и т. д.). Численный метод называется явным методом Рунге–Кутты порядка S, или S-стадийным. Будем также записывать метод Рунге–Кутты в виде таблицы Бутчера — таблицы коэффициентов метода:

0	0	0	…	0	0
c2	b21	0	…	0	0
…	…	…	…	…	…
cs	bs1	bs2	…	bss–1	0
	a1	a2	…	as–1	as

Для метода порядка S вывести условия, связывающие коэффициенты таблицы Бутчера, необходимые для обеспечения p-го порядка аппроксимации метода (p £ s).

Указание 1. Разложить решение дифференциального уравнения в ряд Тейлора в окрестности точки tn. Использовать следствия системы уравнений, например:

Указание 2. Для простоты все вычисления провести для случая одного, вообще говоря, нелинейного уравнения. Найти все явные методы Рунге–Кутты с S = p = 3, S = p = 4.

2. Метод вида

…

где определяются как решение нелинейной системы уравнений, для решения задачи называется неявным методом Рунге–Кутты порядка S (S-стадийным). Как будет выглядеть для него таблица Бутчера?

Вывести условия аппроксимации порядка p на решении задачи (p = 1, 2, 3, 4; S = 2).

Обратите внимание, что для определения , , ¼, необходимо решать систему нелинейных уравнений. Какова ее размерность? В чем состоит особенность методов с при j > i? Это так называемые полуявные или диагонально-неявные методы.

3. Пусть известно, что таблица Бутчера задает метод Рунге–Кутты порядка аппроксимации p. С его помощью решается линейная система ОДУ

с начальным условием Матрица А системы такова, что Re li < 0 для любого i. При каких шагах t данный метод Рунге–Кутты будет устойчив?

4. Пусть краевая задача имеет вид

где нелинейная функция f не зависит явно от первой производной . В 1924 г. Б. Нумеров предложил следующий метод аппроксимации задачи:

где введено обозначение

В чем отличие метода Нумерова от аппроксимации вида

.

Опишите алгоритмы численного решения нелинейных алгебраических систем.

7.  Самостоятельно реализовать на ЭВМ численный метод решения задачи Коши или краевой задачи по указанию преподавателя.

Срок сдачи задания 1 – с 15 по 25 октября.

Срок сдачи задания 2 – с 10 по 15 декабря.

Контрольная работа – первая декада декабря.

Усл. печ. л. 0,6 Тираж экз.