Математика

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИКА

Учебно-методический комплекс для студентов

направления 020100.62 «химия»

Издательство

Тюменского государственного университета

2009

Пояснительная записка

Требования ГОС к содержанию курса

Аналитическая геометрия и основы алгебры: прямая линия, линии второго порядка на плоскости, плоскость, прямая, простейшие поверхности в пространстве; матрицы, определители, системы линейных уравнений; векторная алгебра; линейные пространства, линейные операторы; основы теории групп, основы теории представлений групп, приложения к кристаллографии; математический анализ: предельный переход, дифференциальное и интегральное исчисление функций одного и нескольких переменных; векторный анализ, элементы теории поля; числовые и функциональные последовательности и ряды, ряды Фурье; обыкновенные дифференциальные уравнения; уравнения с частными производными; основы математического моделирования природных процессов; теория вероятностей, математическая статистика и ее приложения к обработке результатов наблюдений.

Цели и задачи курса

Данный курс направлен на повышение общей математической культуры и развитие творческих способностей студентов. Конкретными задачами являются:

-  изучение классических и современных математических методов исследования,

-  приобретение навыков правильного общения с математическим аппаратом и определения границ допустимого использования рассматриваемой математической модели.

ЛОГИКА И МЕТОДЫ ДИДАКТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА:

Основной материал курса излагается в виде лекций.

Методы решения конкретных задач изучаются в ходе семинарских занятий.

Текущий контроль осуществляется посредством проведения коллоквиумов, контрольных работ, проверки индивидуальных заданий.

Итоговый контроль осуществляется посредством проведения зачетов и экзаменов.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№	Название темы	ЛЦ	ПР	Сам.
	Раздел 1. Физические величины как результат измерений
1	Математические объекты и множества	4	8	20
2	Отображения множеств.	4	8	20
	Раздел 2. Принцип причинности и его математическое выражение
3	Функции и функциональные взаимосвязи	20	40	80
4	Ряды и разложения	10	20	42
5	Дифференциальные уравнения	10	20	42
	Раздел 3. Физические структуры и их математические модели
6	Понятие математической (алгебраической) структуры	6	8	20
7	Группы	6	8	20
8	Линейные векторные пространства	10	20	30
9	Графы	6	8	20
	Раздел 4. Пространственные свойства физических объектов
10	Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве	6	10	30
11	Элементы векторного анализа	6	10	30
	Раздел 5. Случайные процессы и их математическое описание
12	Основные понятия теории вероятностей	6	12	20
13	Принципы математической статистики	6	12	20
14	Принципы корреляционного и регрессионного анализа	4	8	20
	Раздел 6. Элементы численных методов
15	Методы численного дифференцирования и интегрирования	4	6	20
	ВСЕГО:	108	198	394

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНЫХ ТЕМ

Математические объекты и множества.

Понятие множества. Основные характеристики множеств. Элементы множеств и их типы. Число. Системы чисел: целые, рациональные, действительные, комплексные. Упорядоченные совокупности чисел: векторы и матрицы. Понятие о тензорах.

Отображение множеств (морфизм).

Понятие отображения, типы отображений. Алгебраические операции (унарные, бинарные и т. д.). Алгебраические функции как отображения. Понятие оператора. Понятие функционала. Множество функций и операторов.

Функции и функциональные взаимосвязи.

Элементарные функции. Основные типы функций (гладкие, непрерывные, монотонные, ограниченные). Функции нескольких переменных. Неявные функции.

Характеристики функций: область определения и допустимых значений, экстремумы, точки разрыва, изломы и перегибы, предельные свойства. Локальные свойства функций: дифференциал и производная. Методы дифференцирования. Физические приложения понятия производной. Использование производной для анализа функций: нахождение точек экстремума и перегиба.

Первообразные функции и понятие неопределенного интеграла. Правила интегрирования. Определенные интегралы, методы их расчета. Физические приложения определенных интегралов. Типы интегралов. Интегралы по поверхности и объему, соотношения между ними.

Ряды и разложения.

Числовые ряды. Понятие сходимости и суммы ряда. Признаки сходимости. Ряды функций. Дифференцирование и интегрирование рядов. Разложение функций в бесконечные ряды и представление их интегралом. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряды Фурье и гармонический анализ. Понятие об ортогональных базисных наборах функций. Элементы ТФКП.

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения (ДУ) и их решения. Обыкновенные ДУ. Общие методы интегрирования. Линейные ДУ и их системы. Операторный метод решения. Физические (описание колебаний) и химические (кинетика) приложения. Понятие о ДУ с частными производными. Обзор уравнений математической физики (уравнения диффузии, теплопроводности и гидродинамики).

Понятие математической (алгебраической) структуры. Типы структур.

Группы.

Групповая операция и таблицы. Подгруппы, классы эквивалентности. Абстрактные и конкретные группы (точечная симметрия, механические движения, перестановки). Классификация групп. Конечные и бесконечные, дискретные и непрерывные, коммутативные и некоммутативные группы.

Линейные векторные пространства.

Векторы и числа, сложение векторов и умножение на число, линейные комбинации. Базисные наборы. Координаты и координатные представления векторов. Векторы-столбцы и векторы-строки. Преобразование координат при переходе к другому базису.

Линейные операторы, их математическое представление. Типы операторов (поворота, отражения, инверсии, подобия, проектирования). Понятие о групповых свойствах операторов. Матричные представления групп. Инварианты операторов (матриц): определитель, след, собственные значения и собственные векторы. Векторно-матричное представление систем линейных уравнений. Типы систем: однородные и неоднородные; определенные, неопределенные и переопределенные.

Метрические пространства. Скалярное произведение.. Длина вектора и угол между векторами. Признаки ортогональности и коллинеарности. Нормировка векторов. Ортонормированные базисы. Векторное произведение.

Графы.

Вершины и ребра. Инцидентность. Топологический граф. Типы графов. Ассоциированные матрицы. Спектр графа. Физико-химические приложения топологических графов.

Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Системы координат: декартова, полярная, сферическая. Точка и радиус-вектор. Координаты и их преобразования при переносе и повороте. Уравнения прямой и плоскости, взаимные расположения точек прямых и плоскостей. Обзор кривых и поверхностей второго порядка.

Элементы векторного анализа.

Понятие скалярного и векторного поля. Дифференциальные операторы: градиент, дивергенция, ротор.

Основные понятия теории вероятностей.

Случайные события. Модель испытаний, понятие вероятности. Исчисление вероятностей. Случайные величины. Функции распределения. Параметры функций распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

Принципы математической статистики.

Выборки и статистические оценки. Статистические гипотезы, принципы их проверки.

Принципы корреляционного и регрессионного анализа.

Обработка результатов экспериментальных измерений. Аппроксимация гладкими функциями. Основы МНК.

Элементы численных методов.

Методы численного дифференцирования. и интегрирования. Численное решение дифференциальных уравнений.

В лекционном курсе используются мультимедийные средства обучения. Демонстрируются возможности пакета символьной математики Maple.

ТЕМАТИКА СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ.

Тема 1. Математические объекты и множества. Отображения множеств (16 час.).

Множества. Действия над множествами. Действительные и комплексные числа. Многочлены. Функции. Способы задания функций. Понятие оператора и функционала.

Примерные типы задач.

1. Выполнить действия над множествами.

2. Выполнить действия с действительными числами.

3. Решить уравнение и неравенство с модулем.

4. Выполнить действия с комплексными числами.

5. Разложить многочлен на множители.

6. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.

7. Выполнить деление многочлена на многочлен.

Тема 2. Функции и функциональные взаимосвязи (40 час.).

Элементарные функции. Числовые последовательности. Предел последовательности и функции. Непрерывности, производная и дифференциал функции. Методы дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора. Исследование функции с помощью производной. Физические приложения понятия производной.

Первообразная и неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Определенный интеграл и его приложения. Функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Двойные и тройные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формулы Грина, Стокса и Остроградского.

Примерные типы задач.

1.  Найти предел числовой последовательности и функции.

2. Найти производную сложной функции, неявной функции, заданной параметрически.

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Написать формулу Тейлора для данной функции.

5. Найти неопределенный и определенный интегралы, используя методы интегрирования.

6. Найти частные производные и полный дифференциал функции.

7. Восстановить функцию двух переменных по ее полному дифференциалу.

8. Вычислить двойной и тройной интегралы.

Тема 3. Ряды и разложения (20 час.)

Числовые ряды. Признаки сравнения и признаки сходимости рядов. Абсолютная сходимость. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Оценка остатка ряда. Ряд Фурье. Функция комплексного переменного. Аналитическая функция. Ряд Лорана. Вычет функции.

Примерные типы задач.

1. Установить сходимость данных числовых рядов.

2. Найти сумму ряда.

3. Установить радиус сходимости степенного ряда.

4. Разложить данную функцию в ряд Тейлора.

5. Вычислить интеграл, используя методы ТФКП.

Тема 4. Дифференциальные уравнения (20 час.).

Дифференциальные уравнения (ДУ). Задача Коши. ДУ первого порядка: с разделяющимися переменными, линейные, однородные, в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка. ДУ второго порядка. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами. Системы линейных дифференциальных уравнений. Решение простейших дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения математической физики и гидродинамики.

Примерные типы задач.

1.  Найти общее решение данного дифференциального уравнения.

2.  Решить задачу Коши.

3.  Решить систему линейных дифференциальных уравнений.

4.  Построить и исследовать математическую модель гармонического осциллятора.

5.  Построить и исследовать математическую модель кинетики химической реакции.

Тема 5. Группы. Линейные векторные пространства. Графы (36 час.).

Группа. Подгруппа. Матрица. Определитель. Системы линейных уравнений. N-мерный вектор и векторное пространство. Базис линейного векторного пространства. Линейный оператор. Евклидово пространство. Геометрические векторы. Векторное произведение. Диадное произведение векторов. Тензор. Граф.

Примерные типы задач.

1.  Задать закон композиции элементов множества с помощью таблицы.

2.  Выполнить действия с матрицами.

3.  Вычислить определитель.

4.  Найти обратную матрицу.

5.  Решить систему линейных уравнений.

6.  Выполнить действия с векторами.

7.  Найти координаты вектора в данном базисе.

8.  Найти координаты вектора в новом базисе.

9.  Найти матрицу данного линейного оператора.

10.  Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).

11.  Записать матрицу квадратичной формы

12.  Найти скалярное произведение векторов.

13.  Нормировать вектор.

14.  Найти угол между векторами.

15.  Выполнить действия с геометрическими векторами.

16.  Найти векторное и смешанное произведение векторов.

17.  Вычислить координаты тензора в новом базисе.

18.  Задать граф с помощью матрицы.

19.  Определить группу симметрий правильного треугольника.

Тема 6. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

Элементы векторного анализа (20 час).

Системы координат на плоскости и в пространстве. Преобразование координат. Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Кривые и поверхности второго порядка. Скалярные и векторные поля.

Примерные типы задач.

1.  Выполнить переход из одной системы координат в другую.

2.  Найти уравнение прямой проходящей через две данные точки.

3.  Найти уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении.

4.  Найти уравнение плоскости проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору.

5.  Выполнить пространственное дифференцирование скалярных и векторных полей.

Тема 7. Основные понятия теории вероятностей. Принципы математической статистики. Принципы корреляционного и регрессионного анализа (32 час).

Случайные события. Вероятность. Свойства вероятности. Случайные величины и их характеристики. Функции распределения. Выборки и статистические оценки. Корреляция и регрессия.

Примерные типы задач.

1.  Найти вероятность случайного события используя классическое определение вероятности и ее свойства.

2.  Найти вероятность появления случайных событий используя основные законы распределения случайных величин.

3.  Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение случайной величины.

4.  Определить характеристики случайной величины на основе опытных данных.

5.  Найти закон распределения случайной величины на основе опытных данных.

6.  Определить коэффициент корреляции и уравнения линий регрессии для системы случайных величин.

Тема 8. Методы численного дифференцирования и интегрирования (6 час).

Методы хорд, касательных и итераций нахождения приближенных значений действительных корней уравнения. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников и Симпсона. Численное интегрирование дифференциальных уравнений методом Эйлера. Метод Пикара последовательных приближений. Интерполяция многочленами.

Примерные типы задач.

1.  Найти корень векторного уравнения с заданной точностью.

2.  Вычислить приближенно определенный интеграл и оценить погрешность.

3.  Найти приближенное решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения.

4.  Составить интерполяционный многочлен для функции заданной таблицей.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1.   Аналитическая геометрия. Векторная алгебра.

Элементы линейной алгебры.

1. Даны вершины А (1,1), В (7,4), С (4,5) треугольника. Найти :

1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС. Сделать чертеж.

2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой, ее расстояние до точки F(-1; -2) равно расстоянию от прямой х = -3. Сделать чертеж.

3. Дано уравнение f(х, у,z) = 0. Требуется : 1) доказать, что оно является уравнением сферы; 2) найти координаты центра и радиуса сферы; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и ось Ох; 4) составить уравнение прямой, проходящей через центр сферы и начало координат.

.

4. Даны векторы , , , , . Показать, что векторы , , , образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе.

(2;0;8;5), (-10;3;0;2), (-3;5;-1;-6), (-1;-7;9;0),

b(33;-4;20;3).

5. Найти матрицу, обратную матрице

.

Проверить результат, вычисляя произведение данной и полученной матриц.

2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.

6. Найти пределы функций

1); при: а) = 2, б) = 3, в) = Ґ;

2) ; 3) ; 4)

7. Найти производные заданных функций.

1) у = ; 2) у = ;

3) у = ; 4) у = .

8. Вычислить приближенное значение , а заменив в точке х = приращение функции у = дифференциалом.

n = 3, a = 502, = 512.

9. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию у = f(х) и построить ее график.

f(x) = .

3. Функции нескольких переменных.

Интегральное исчисление.

10. Найти полный дифференциал функции х = f (х, у).

f (x, y) = .

11. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить

дифференцированием.

, , , .

12. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .

, , .

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

и прямой . Сделать чертеж.

, у = - х – 1.

4. Дифференциальные уравнения. Ряды.

14. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

.

15. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .

.

16. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену ; найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала

.

17. Используя ряд Маклорена для функции f(х) = выразить величину в виде сходящегося ряда. Найти приближенное значение этой величины, ограничиваясь двумя первыми членами ряда. Оценить погрешность.

b = 11.

18. Используя ряд Маклорена для функции f (x) = ln( 1+x ), выразить величину ln a в виде сходящегося ряда. Найти приближенное значение этой величины, ограничиваясь двумя первыми членами ряда. Оценить погрешность.

а = 1,21.

19. Выразить определенный интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0,001.

b =0,2, k = 5.

20. Выразить определенный интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0,001.

b = 0,4, k = 2,2.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Аналитическая геометрия на плоскости. 1 семестр

Системы координат. Прямоугольная и полярная системы координат. Связь между ними. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение линии (определение; порядок составления уравнения линии, как геометрического места точек) Преобразование декартовых координат на плоскости (сдвиг и поворот системы координат).

Прямая. Уравнение прямой: а) с угловым коэффициентом, б) общее, в) в отрезках, г) проходящее через данную точку в данном направлении, д) проходящей через две данные точки. Взаимное расположение двух прямых: угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Уравнение биссектрис углов, образованных двумя прямыми.

Кривые второго порядка. Уравнение окружности. Определение центра и радиуса окружности, заданной уравнением. Определение и каноническое уравнение эллипса. Определение и каноническое уравнение гиперболы. Определение и каноническое уравнение параболы.

Элементы высшей алгебры

Матрицы и определители. Определение и виды матриц. Действия над матрицами. Понятие об определителе n-го порядка. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя. Определители второго и третьего порядков. Правило треугольников. Свойства определителей. Обратная матрица. Понятие о ранге матрицы.

Системы линейных уравнений. Типы систем: совместные и несовместные, определенные и неопределенные, однородные и неоднородные. Решение систем линейных уравнений: метод Крамера, м-д обратной матрицы, м-д Гаусса.

Линейная алгебра. N-мерный вектор и векторное пространство. Линейная комбинация, ЛЗ и ЛНЗ векторов. Размерность и базис векторного пространства. Разложение произвольного вектора по базису. Линейный оператор. Матрица линейного оператора в данном базисе. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы). Евклидово пространство (скалярное произведение, норма, угол между n-мерными векторами, ортонормированный базис).

Геометрические векторы (векторная алгебра)

Трехмерные векторы в прямоугольной системе координат. Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусы. Нормирование вектора. Вектор, соединяющий две точки. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов. Действия над векторами (геометрически и в координатной форме): а) сложение векторов, б) умножение вектора на число, в) скалярное произведение векторов, г) векторное и смешанное произведения векторов. Условие компланарности трех векторов.

Аналитическая геометрия в пространстве

Прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Плоскость. Прямая в пространстве. Линейные операторы в прямоугольной системе координат. Оператор поворота на плоскости и в пространстве. Правила составления матрицы линейного оператора.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Множества и действия над ними. Действительные (вещественные) числа, действия над ними, их геометрическая интерпретация. Абсолютная величина (модуль) действительного числа. Функции. Способы задания функции. Понятие обратной и сложной функции. Элементарные функции и их графики. Построение графиков функций (путем растяжения и сдвига исходного графика). Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей и признак существования предела. Число "е". Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь бесконечно малых и бесконечно больших функций. Сравнение бесконечно малых. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Производная и дифференциал функции. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции. Инвариантность формы дифференциала. Производная обратной функции. Производная неявной функции и функции заданной параметрически. Логарифмическая производная. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Вычисление приближенных значений функции. Формула Лагранжа конечных приращений функции. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Формулы Тейлора и Маклорена. Производные и дифференциалы высших порядков. Исследование функций с помощью производных. Построение графиков функций. Гиперболические функции.

Интегральное исчисление функции одной переменной

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования. Прием внесения функции под знак дифференциала. Интегрирование дробей вида (mx+n)/(+px+q). Интегрирование тригонометрических выражений вида . Определенный интеграл и его свойства. Теорема «о среднем». Оценка определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Методы вычисления определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Несобственные интегралы. Гамма – функция.

Комплексные числа 2 семестр

Комплексные числа и действия над ними. Разложение многочлена на множители. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал первого порядка. Приближенное вычисление приращения функции. Признак полного дифференциала функции 2-х переменных. Интегрирование полных дифференциалов. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование сложных функций. Производная неявной функции. Экстремум функции 2-х переменных (необходимое условие). Метод наименьших квадратов. Различные типы интегралов. Вычисление двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интегралов. Замена переменного в двойных и тройных интегралах. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Теория поля

Пространственное дифференцирование скалярных и векторных полей. Операторы пространственного дифференцирования в символических обозначениях. Производная по направлению. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса. Работа силового поля. Понятие потенциального силового поля.

Дифференциальные уравнения ( ДУ )

Общие понятия теории ДУ. ДУ с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейные ДУ первого порядка. Уравнение Бернулли. ДУ в полных дифференциалах. ДУ допускающие понижения порядка. Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Системы линейных ДУ. Простейшие ДУ в частных производных. Кинетика элементарных химических реакций.

Ряды

Числовые ряды. Сумма и остаток ряда. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости и признаки сравнения рядов. Абсолютная сходимость. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена для функций одной и двух переменных. Степенные ряды в комплексной области. Тригонометрические ряды. Ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Дельта-функция. Функция Хевисайда.

Уравнения и задачи математической физики

Уравнения колебаний, теплопроводности, диффузии, Лапласа. Начальные и граничные условия. Методы решения (Даламбера и Фурье).

Элементы ТФКП

Функции комплексного переменного. Производная ФКП, аналитическая функция. Понятие конформного отображения. Интеграл от аналитической функции. Ряды Тейлора и Лорана. Вычисление вычетов функций. Формула Коши. Основная теорема о вычетах.

Численные методы

Приближенное решение уравнений. Численное интегрирование ДУ. Метод последовательных приближений.

Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей. Классическое и статистическое определения вероятности. Алгебра событий. Свойства вероятностей. Формула полной вероятности и формула Байеса. Основные формулы комбинаторики. Дискретные случайные величины. Непрерывные случайные величины. Биномиальный закон распределения случайной величины. Нормальный закон распределения случайной величины.

Математическая статистика

Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма. Выборка как набор случайных величин. Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета. Генеральная и выборочная дисперсии. Оценки параметров распределения. Надежность. Доверительные интервалы. Доверительный интервал для параметров нормального распределения. Распределение Стьюдента. Оценка истинного значения измеряемой величины. Оценка точности измерений. Проверка статистических Гипотез. Линейная корреляция.

Теория графов и ее химические приложения

Вершины и ребра. Инцидентность. Топологический граф. Типы графов. Ассоциированные матрицы. Спектр графа. Физико-химические приложения топологических графов.

Группы

Некоторые общие свойства над числами, векторами, матрицами и другими объектами. Понятие группы. Примеры групп. Подгруппа. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени. Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника. Изоморфизм групп. Разложение группы по подгруппе. Нормальный делитель. Классы сопряженных элементов. Фактор-группа. Гомоморфизм групп. Представления групп.

ОБЩАЯ ЛИТЕРАТУРА к курсу

Шипачев математика. М.: Наука, 2008.

Баврин математика. М.: Просвещение, 2007.

, Демидович курс высшей математики. М.: Наука, 2007.

Минорский задач по высшей математике. М.: Наука, 1977.

Шипачев задач по высшей математике. М.: Наука, 2008.

Берман задач по математическому анализу. М.: Наука, 1977.

, Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988.

, Никольский и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.

, Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1985.

Головина алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1979.

Литература для самостоятельной работы

, , Нуриева . М.: ИНФА-М, 2006.

, , Кожевников математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 2007. ч. 1,2.

, , Филиппов линейной алгебры в физической химии. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.

, Кнорре химической кинетики. М.: Высшая школа, 1974.

, Самарский математической физики. М.: Наука, 1972.

Конечные графы и сети. М.:Наука, 1974.

Дмитриев без химических связей. Л.:Химия,1980.

Корниш- Основы математики для биохимиков: Пер. с англ. – М.: Мир,1983.