Исследовательская деятельность на уроках математики

Исследовательская деятельность на уроках математики.

Одной из актуальных проблем в образовании является проблема активности личности в обучении. Решением проблемы является создание таких условий, в которых ученик может занять активную личностную позицию и выразить свою индивидуальность. Эти условия, то есть появление познавательных мотивов и интересов, творчества, обеспечивает исследовательская деятельность.

В предыдущей статье я делилась опытом по обучению всех учащихся, начиная с 5 класса, работе с учебником математики. В каждом классе есть дети, увлеченные математикой. С такими учащимися в 8-11 классах веду индивидуальные занятия по обучению их исследовательской работе. Навыки исследовательской деятельности помогут им в дальнейшем самостоятельному изучению математики и расширят их математический кругозор. Исследовательская работа ученика предполагает умение работы с различными источниками информации, прежде всего, с книгой. Она создает условия, при которых учащиеся учатся пользоваться приобретенными знаниями для познавательных и практических задач, приобретают коммуникативные умения, развивают системное мышление.

Исследовательская работа включает следующие этапы.

Начинается приобщение к исследовательской работе на обычном уроке. Учитель на уроке видит успехи и неудачи своих учеников, видит, есть ли у того или иного ученика стремление к самостоятельной работе, или он удовлетворен тем, что дали ему на уроке. Именно на уроке начинается подготовительный этап организации исследовательской деятельности. Учитель должен обратить снимание на специальные особенности ученика: уметь четко выражать свои мысли, делать обобщение или выводы, уметь работать с литературой, обладать способностями выше среднего, желание выяснить причины и смысл любого события.

Исследовательская работа эффективна и возможна только на добровольной основе. Поэтому на первом этапе я формирую группу учащихся, желающих заниматься творческой деятельностью.

На втором этапе учитель планирует такую деятельность. Для этого я составляю следующий план:

Постановка проблемы, выдвижение гипотезы. Отсюда следует тема исследования. Иногда с учеником мы тему формулируем только после того, когда исследование завершено. Тем должно быть столько, чтобы у ученика была возможность выбора. Они должны быть интересными и выполняемыми.

Определение источника информации, литературы по данной проблеме.

Определение прогнозируемых результатов исследования.

Планирование предстоящей групповой и индивидуальной работы с учащимися.

Установление сроков и формы промежуточного и итогового представления результатов исследовательской работы.

На третьем этапе я начинаю групповую работу.

С целью ознакомления учеников с основными приемами и необходимыми знаниями по организации исследовательской работы, проводятся консультации для всей группы. На теоретических занятиях рассматриваются следующие вопросы:

Обсуждение и выбора тем для исследования (некоторые ученики выбирают сами, кому-то требуется помощь учителя).

Составление плана работы над данной темой.

Сбор данных по теме, его анализ и обобщение. Подбор и изучение литературы. Ознакомление со структурой библиотеки. Применение компьютерной технологии.

Консультирование по систематизации исследованного материала и анализу полученных результатов.

Общие требования к оформлению результатов исследовательской работы. Чаще всего это в виде реферата. Работа над введением, основной частью и заключением.

Изучение и заслушивание исследовательских работ учащихся-победителей прошлого учебного года.

На четвертом этаже проводятся индивидуальные консультации. Заранее составляется … этих консультаций. С каждым учеником определяются цели, задач, проблемы данной темы, обсуждается актуальность выбранной темы, составляется индивидуальный план работы над темой, устанавливаются сроки работы, прогнозируются результаты исследовательской деятельности и решается вопрос о форме представления (защиты) своей работы.

5 этап – самый главный этап. На пятом этапе начинается индивидуальная самостоятельная деятельность ученика по его плану. Учитель при необходимости координирует и консультирует работу ученика.

На шестом этапе учащиеся докладывают о результатах работы, готовят ее презентацию и оформляют итоги работы в виде реферата. Учитель и ученик анализируют и оценивают результаты своей совместной деятельности по поиску вариантов решения поставленной проблемы или выдвинутой гипотезы.

На седьмом этапе проводится научно-практическая конференция школьного уровня, затем городского и республиканского уровней, где наши ученики успешно выступают со своими работами.

Я считаю, что самое главное в ходе исследовательской работы – это не только опора на интеллектуальные умения ученика, а развитие этих умений и навыков. К ним относятся навыки самообразования, системный подход к решению поставленных задач, умение логически мыслить, активизация личностной позиции ученика в образовательном процессе. Эти умения универсальны относительно любого выбора направления жизненного пути.

Индивидуальная исследовательская деятельность является частью личностно ориентированных технологий. Она способствует раскрытию субъективного опыта ученика, формированию значимых для него способов учебной работы, овладению умениями самообразования

Цель работы: Повышение интереса к предмету – математика.

В настоящее время проходит реформа школьного образования. Курс математики претерпевает значительные изменения, как в содержании, так и средствах обучения.

Проблема целенаправленного математического развития школьников оказалась в числе важных проблем преподавания математики. Ставится задача: сформировать личность, готовую к творческой деятельности.

В традиционной системе обучения не приходится говорить о развитии учащегося, так как ученик получает готовую информацию, воспринимает, понимает, запоминает ее, затем воспроизводит, то есть наблюдается репродуктивная деятельность. Такое обучение не оказывает существенного влияния на психологическое развитие и на развитие его специальных способностей. Новизна в методах обучения математики проявляется, прежде всего в том, что основной аспект ставится не на запоминание и воспроизведение школьниками учебной информации а на глубокое понимание, сознательное и активное усвоение и на формирование у школьников умения самостоятельно и творчески применять эту информацию в рамках и за рамками школьной программы.

Эту мысль имел в виду известный специалист по кибернетике , говоря, что “накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качества, но если они достигли высокого уровня, то человек справится со сложнейшими задачами, а это и означает, что он достиг высокого уровня культуры, мышления.

Что заставило меня обратиться к поисково-исследовательской деятельности?

Если проанализировать работу детей на уроке, то выявляется следующая тенденция: ученики не задают вопрос “почему?” - Учитель, объясняя материал, уже сам дает готовый ответ на поставленный вопрос или решение задачи (алгоритм). – Потребность мыслительной деятельности у учащихся сведена до минимума.

Эврика! – Надо искусственно создать ситуацию и вовлекать ученика в процесс поиска открытий новых знаний.

К приёмам проблемного обучения может быть отнесено и непосредственное вовлечение учащихся в исследование, которое может быть организовано и в условиях урока: учитель создаёт такую ситуацию, в которой учащиеся сами усматривают проблему, формулируют её, выдвигают гипотезы-предположения о путях её решения, пробуют их реализовать на практике и сами находят решение. Обучение « видению проблемы» может начинаться с предъявления простых ситуаций с несформированным вопросом. Учащимся предлагаю примеры:

13 + 8*7=147, 13 + 8*7=69.

Учащиеся, увидев такое несоответствие, должны прийти к заключению о том, что необходимы какие-то средства, регулирующие порядок проведения арифметических действий, т. е. нужны скобки:

(13 + 8)*7=147, 13 + (8+7)=69.

Развивающая функция обучения не просто требует от учителя изложения знаний в определённой системе, а предполагает также учить школьников мыслить, искать и находить ответы на поставленные вопросы, добывать новые знания, опираясь на уже известные. Уместно в связи с этим привести слова французского учёного М. Монтеня: «Мозг, хорошо устроенный, стоит больше, чем мозг хорошо наполненный».

Учебная дисциплина, в том числе и математика, должна рассматриваться не как предмет с набором готовых знаний, а как специфическая деятельность человека. Обучение же должно в разумной мере проходить в форме повторного открытия, а не просто передачи суммы знаний.

Если мы хотим действительно ещё и развивать своих учеников, то в обучении должны руководствоваться следующей формулой: « Овладение = Усвоение + Применение знаний на практике».

АА. Ляпунов отмечал: «Действительно ценные знания составляются не из того, о чём слышал человек, а из того, чем он умеет пользоваться».

Познавательные процессы эффективно развиваются лишь при такой организации обучения, при которой школьники включаются в активную поисковую деятельность. Поиск нового составляет основу для развития воли, внимания, памяти, воображения и мышления.

Мой опыт и опыт других учителей показывает, что эффективным способом обучения и развития является организация учебных исследований, цель которых состоит в том, чтобы помочь учащимся самостоятельно открыть новые знания и способы деятельности, углубить и систематизировать изученное. Ссегодня в центре внимания педагогов находится исследовательская деятельность, а в качестве одного из способов ее организации можно использовать метод проектов.

Метод проектов как один из способов организации исследовательской деятельности учащихся на уроках математики:

Позволяет устанавливать интеграционные связи математики с другими образовательными областями (физика, химия, биология, информатика, искусство), что обеспечивает целостность, истинность знаний.

Предоставляет возможность многофункциональной подготовки учащихся в новых социально-экономических условиях.

Обеспечивает активизацию процесса обучения на основе мотивации деятельности, поэтапной организации труда, анализа хода практических работ, их диагностики и метода исправления недостатков, экспертной оценки проделанной работы.

Обеспечивает формирование социально значимых качеств личности.

Способствует реализации дифференцированного и индивидуального подхода в обучении, как было уже отмечено ранее.

В современной педагогической литературе существует немалое число определений метода проектов в обучении.

В указанном контексте метод проектов – личностно ориентированный способ эффективного выстраивания исследовательской деятельности учащихся, интегрирующий в себе проблемный подход, групповые методы, рефлексивные, презентативные, исследовательские, поисковые и прочие методики.

Необходимым инструментом метода проектов как способа организации исследовательской деятельности является учебный исследовательский проект: обучение происходит в процессе осуществления учебного исследовательского проекта.

Под исследовательским проектом мы понимаем деятельность учащихся по решению творческой, исследовательской проблемы с заранее неизвестным решением, предполагающая наличие основных этапов, характерных для научного исследования:

мотивация исследовательской деятельности;

постановка проблемы;

сбор,  систематизация и анализ фактического материала;

выдвижение гипотез;

проверка гипотез;

доказательство или опровержение гипотез;

подготовка к презентации полученных результатов (продукт проекта);

презентация;

рефлексия.

Учитывая особенности профильного обучения, мы рассматриваем следующую классификацию исследовательских проектов (таблица 1):

Таблица 1

Классификация исследовательских проектов

Основание классификации	Типы проектов
1	2
Количество участников проекта	Индивидуальный. Парный. Групповой.
Уровень сложности	Информационный (задания на воспроизведение по образцу). Эвристический (задания, направленные на поиск способа решения неизвестного для учащегося). Творческий (задания, направленные на актуализацию межпредметных знаний).
Содержание проекта	Монопроект. Межпредметный проект.
Уровень самостоятельности выполнения	Выполняемый совместно с учителем. Выполняемый совместно с другими учащимися под руководством учителя. Выполняемый совместно с другими учащимися без руководства учителя. Выполняемый в основном самостоятельно
Продолжительность выполнения проекта	Мини-проект (1-2 урока). Краткосрочный (4-6 уроков). Средней продолжительности (1-4 месяца). Долгосрочный.

При этом любой проект может быть одновременно, например, индивидуальным, творческим, монопроектом, выполняемым совместно с учителем, то есть представляет собой смешанный тип проекта.

Действительно, в условиях профильного обучения выделенные основания, и соответственно типы проектов являются наиболее эффективными в плане достижения целей самого профильного обучения. А именно:

Проекты, классифицированные по количеству участников, способствуют развитию коммуникабельности, умению работать сообща в различных ситуациях и различных социальных ролях.

Проекты, классифицированные по уровню сложности, являются средством дифференциации и индивидуализации обучения, способствуют формированию умения творчески подходить к решению поставленных проблем.

Проекты, классифицированные по содержанию, в рамках профильного обучения играют особую роль в реализации прикладной направленности начал анализа, позволяют учитывать при организации учебного процесса межпредметные связи, особенности того или иного профиля.

Проекты, классифицированные по уровню самостоятельности, способствуют формированию потребности самостоятельно приобретать необходимые знания, и умело применять их на практике для решения разнообразных возникающих проблем, а также формированию умения самостоятельно критически мыслить, видеть возникающие в реальной действительности проблемы и искать пути рационального их решения.

Проекты, классифицированные по продолжительности выполнения, способствуют более детальному, подробному изучению проблемы проекта, что в свою очередь, обеспечивает углубленное изучение предмета.

Для организации учебного процесса на уроках алгебры и начал анализа особую роль играет учет специфики каждого из профильных направлений. А метод проектов – один из наиболее эффективных способов такой организации.

В связи с этим целесообразно выделить следующие направления реализации метода проектов как одного из способов организации исследовательской деятельности учащихся на уроках алгебры и начал анализа:

Изучение нового материала.

Решение практико-ориентированных задач на применение дифференциального и интегрального исчисления.

Обобщение, систематизация и практическое применение изученного материала.

Модель организации метода проектов на уроках алгебры и начал анализа в рамках профильного обучения  можно представить следующим образом (рис. 1):

 

Рис. 1   Модель организации метода проектов на уроках алгебры и начал анализа в условиях профильного обучения

В основе поэтапной реализации спроектированной модели лежит модель совместно-распределенной деятельности учителя и учащихся в процессе работы над проектами, представленная в таблице 2.

Таблица 2

Совместно-распределенная деятельность учителя и учащихся в процессе работы над проектами

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1	2
1. Накопление фактов
1.1. Актуализация знаний, умений
Организация деятельности учащихся по выявлению ориентировочной основы – исходные знания и способы действий, необходимые для выполнения исследовательского проекта.	Определение каждым учащимся собственной ориентировочной основы (исходные знаний и способы действий)
1.2. Создание учебно-проблемной ситуации – мотивирующая задача
Выбор задачи, содержащей проблему.	Участие в постановке проблемной задачи.
1.3. Постановка проблемы
Фиксация затруднений.	Фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.
2. Выдвижение гипотез
2.1. Сбор фактического материала
Задание направления проведения испытаний, посредством указаний, чертежей, пояснений и т. п.	Изучение соответствующей учебной или специальной литературы, проведение испытаний, попыток решения частных проблем, варьирование числовыми данными, изменение каких-либо параметров исходной задачи. Возможно выдвижение гипотез.
2.2. Систематизация и анализ полученного материала
Указание способа систематизации фактического материала.	Определение способа систематизации материала и непосредственно систематизация и анализ полученного материала с помощью таблиц, диаграмм, схем, графиков и т. п. Возможно выдвижение гипотез.
2.3. Выдвижение гипотез
Организация процесса самостоятельной записи гипотезы на математическом языке.	Выявления особенностей уже систематизированного фактического материала. Окончательное формулирование гипотез.
3. Проверка истинности доказательством
3.1. Проверка гипотез
Консультирование учащихся по необходимости. Организация дополнительного испытания.	Проверка истинности гипотез посредством проведения еще одного испытания.
3.2. Доказательство или опровержение гипотез
Консультирование учащихся по методу убывающих подсказок.	Проводят доказательство выдвинутых гипотез в обобщенном виде.
4. Построение теории (продукта проекта)
4.1. Построение выводов, заключений
Осуществление консультации по построению проекта.	Обобщение и систематизация полученной в процессе исследовательской деятельности информации.
4.2. Подготовка к презентации полученных результатов
	Оформление полученной информации в виде продукта, наполненного образовательным смыслом (опорный конспект, задачник…).
5. Выход в практику
5.1. Презентация
Организация презентации учащимися результатов исследовательских проектов.	Презентация учащимися результатов исследовательских проектов.
5.2. Рефлексия
Обобщение и резюмирование полученных результатов. Самооценка деятельности. Определение содержания корректировочной работы с учетом полученных результатов.	Восстановление последовательности выполненных действий. Изучение продукта проекта с точки зрения его эффективности, продуктивности, соответствия поставленным задачам и т. п. Осуществление взаимооценки, самооценки. Выдвижение гипотез по отношению к будущей деятельности. Проверка гипотез на практике в последующей предметной деятельности.

При этом в спроектированной модели деятельность учителя заключается в организации исследовательской работы учащихся, чтобы они самостоятельно «пришли» к решению основополагающего вопроса проекта, представив результаты в виде конечного продукта (презентация, буклет, бюллетень, газета, статья, задачник и т. п.).

Совместно-распределенная деятельность учителя и учащихся при организации исследовательской деятельности в рамках метода проектов (с учетом выделенных этапов исследовательского проекта) включает в себя три основные этапа: мотивационный (мотивация исследовательской деятельности, постановка проблем), операционно-познавательный (сбор, систематизация и анализ фактического материала, выдвижение гипотез, проверка гипотез, доказательство или опровержение гипотез, подготовка к презентации полученных результатов), рефлексивно-оценочный (презентация, рефлексия).

На первом, мотивационном, этапе осуществляется создание учебно-проблемной ситуации – мотивирующая задача, совместное целеполагание, прогнозирование предполагаемого результата (продукта проекта), распределение учащихся по парам или группам (в случае парного или группового проекта), планирование исследовательской деятельности, а также актуализация знаний и умений, необходимых для выполнения проекта.

На втором, операционно-познавательном, этапе учащиеся осуществляют план проекта посредствам сбора, анализа и систематизации фактического материала, выдвижения, доказательства или опровержения   гипотез, а также определяют форму продукта проекта и непосредственно готовят сам продукт.

На третьем, рефлексивно-оценочном, этапе в процессе презентации результатов исследовательских проектов (продуктов) осуществляется анализ и самоанализ планировавшихся и достигнутых результатов, анализируется собственная деятельность, определяется содержание корректирующей деятельности. Этап может завершаться постановкой задачи по окончательной доработке продукта проекта.

Преобладающей деятельностью учащихся является исследовательская, поэтому основная задача учителя – создать условия для включения школьника в деятельность, направленную на самостоятельной выдвижение гипотез и на поиск их доказательств.

Таким образом, использование метода проектов на уроках математического анализа в рамках профильного обучения позволяет, придерживаясь традиционной системы учебных занятий, избегать их отрыва от реальной деятельности, добиваясь тем самым глубокого и надежного усвоения изучаемого материала, а также способствует достижению требований современного информационного общества

Каждому ребёнку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего его мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Эффективность исследовательской деятельности зависит и от меры увлечённости ученика этой деятельностью, и от умения её выполнять.

Чаще всего учителя исследовательские задания предлагают сильным учащимся, которые проявляют повышенный интерес к математике. Но я считаю, что каждый учащийся за время обучения в школе должен приобрести хотя бы скромный опыт в выполнении подобных заданий.

Приведу примеры исследований на уроках математики.

Исследовательская работа на 2 курсе при изучении темы "Свойства правильного тетраэдра"

план подготовки и проведения занятия:

I. Подготовительный этап:

Повторение известных свойств треугольной пирамиды.

Выдвижение гипотез о возможных, не рассмотренных ранее, особенностях тетраэдра.

Формирование групп для проведения исследований по данным гипотезам.

Распределение заданий для каждой группы (с учётом желания).

Распределение обязанностей по выполнению задания.

II. Основной этап:

Решение гипотезы.

Консультации с учителем.

Оформление работы.

III. Заключительный этап:

Представление и защита гипотезы.

Цели занятия:

обобщить и систематизировать знания и умения учащихся; изучить дополнительный теоретический материал по указанной теме; научить применять знания при решении нестандартных задач, видеть в них простые составляющие;

формировать навык работы учащихся с дополнительной литературой, совершенствовать умение анализировать, обобщать, находить главное в прочитанном, доказывать новое; развивать коммуникативные навыки учащихся;

воспитывать графическую культуру.

Подготовительный этап (1урок):

Сообщение учащегося “Тайны великих пирамид”.

Вступительное слово учителя о разнообразии видов пирамид.

Обсуждение вопросов:

По каким признакам можно объединять неправильные треугольные пирамиды

Что мы понимаем под ортоцентром треугольника, и что можно называть ортоцентром тетраэдра

Существует ли ортоцентр у прямоугольного тетраэдра

Какой тетраэдр называют равногранным Какими свойствами он может обладать

В результате рассмотрения разнообразных тетраэдров, обсуждения их свойств уточняются понятия и появляется некоторая структура:

 

 

Рассмотрим свойства правильного тетраэдра

Свойства 1-4 доказываются устно с использованием Слайда1.

 

Свойство 1: Все ребра равны.

Свойство 2: Все плоские углы равны 60°.

Свойство 3: Суммы плоских углов при любых трех вершинах тетраэдра равны 180°.

Свойство 4: Если тетраэдр правильный, то любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани.

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр

AH – высота

Доказать:

H –ортоцентр

 Доказательство:

1) точка H может совпадать с какой-либо из точек A, B, C. Пусть H? B, H? C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Рассмотрим ABH, BCH, ADH

AD – общая => ABH, BCH, ADH => BH =CH = DH

AB = AC = AD т. H – является ортоцентром ABC

Что и требовалось доказать.

На первом уроке Свойства 5-9 формулируются как гипотезы, которые требуют доказательства.

Каждая группа получает своё домашнее задание:

Доказать одно из свойств.

Подготовить обоснование с презентацией.

II. Основной этап ( в течение недели):

Решение гипотезы.

Консультации с учителем.

Оформление работы.

III. Заключительный этап (1-2 урока):

Представление и защита гипотезы с использование презентаций.

При подготовке материала к заключительному уроку учащиеся приходят к выводу об особенности точки пересечения высот, мы договариваемся называть её “удивительной” точкой.

Свойство 5: Центры описанной и вписанной сфер совпадают.

Дано:

DABC –правильный тетраэдр

О1- центр описанной сферы

О - центр вписанной сферы

N – точка касания вписанной сферы с гранью АВС

Доказать: О1 = О

Доказательство:

Пусть OA = OB =OD = OC – радиусы описанной окружности

Опустим ОN + (ABC)

AON = CON – прямоугольные, по катету и гипотенузе => AN = CN

Опустим OM + (BCD)

COM DOM - прямоугольные, по катету и гипотенузе => CM = DM

Из п. 1 CON  COM => ON =OM

ON =OM

ОN + (ABC) => ON, OM – радиусы вписанной окружности.

OM + (BCD)

Теорема доказана. 

Для правильного тетраэдра существует возможность его взаимного расположения со сферой – касание с некоторой сферой всеми своими ребрами. Такую сферу иногда называют “полувписанной”.

Свойство 6: Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер и перпендикулярные этим ребрам являются радиусами полувписанной сферы.

 Дано:

ABCD – правильный тетраэдр;

OLAB, OKAC,

OSAD, ONCD,

OMBD, OPBC,

AL =BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM = DM, CN = DN.

Доказать:

LO = OK = OS = OM = ON =OP

Доказательство.

Тетраэдр ABCD – правильный => AO= BO = CO =DO

Рассмотрим треугольники AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – равнобедренный =>
OL – медиана, высота, биссектриса
AO=CO=>?AOC– равнобедренный =>
ОK– медиана, высота, биссектриса
CO=DO=>?COD– равнобедренный =>
ON– медиана, высота, биссектриса AOB=>   AOC= COD=
BO=DO=>?BOD– равнобедренный =>   BOD= BOC= AOD
OM– медиана, высота, биссектриса
AO=DO=>?AOD– равнобедренный =>
OS– медиана, высота, биссектриса
BO=CO=>?BOC– равнобедренный =>
OP– медиана, высота, биссектриса
AO=BO=CO=DO
AB=AC=AD=BC=BD=CD

 3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - высоты в равных OL, OK, ON, OM, OS, OP радиусы

равнобедренных треугольниках сферы

Следствие:

В правильном тетраэдре можно провести полувписанную сферу.

 Свойство 7: если тетраэдр правильный, то каждые два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны.

 

Дано:

DABC – правильный тетраэдр;

H – ортоцентр

Доказать:

AB CD,

AD BC,

AC BD.

 Доказательство:

1) AB CD

DABC – правильный тетраэдр =>?ADB – равносторонний

( ADB) (EDC) = ED

ED – высота ADB => ED +AB,

2) AB + ED,

ED ( EDC) ,

AB + CE,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

CE (EDC)

Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер.

Свойство 8: Шесть плоскостей симметрии пересекаются в одной точке. В точке О пересекаются четыре прямые, проведенные через центры описанных около граней окружностей перпендикулярно к плоскостям граней, и точка О является центром описанной сферы.

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр

Доказать:

О – центр описанной сферы;

6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О;

 Доказательство.

1) OL+ (BCD)

CG + BD, т. к. BCD - равносторонний => GO + BD (по теореме о трех GO + BD перпендикулярах)

2) GO + BD

BG = GD, т. к. AG – медиана ABD

?ABD ( ABD)=> ? BOD - равнобедренный => BO=DO

GO (BOD)

( ABD)? (BOD)=BD

KO + ( ABD)

ED + AB, т. к. ABD –равносторонний => OE + AD( по теореме о трёх перпендикулярах)

OE + AB

BE = AE, т. к. DE – медиана? ABD

ABD (ABD) =>?AOB – равнобедренный =>BO=AO

OE (AOB)

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC ( по теореме о трёх

BF + AC, т. к. ABC - равносторонний перпендикулярах)

 OF + AC

AF = FC, т. к. BF – медиана? ABC

ABC (ABC) => AOC - равнобедренный => AO = CO

OF (AOC)

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = DO

BO = AO =>AO = BO = CO = DO – радиусы сферы,

AO = CO описанной около тетраэдра ABCD

 AO = BO=CO = DO

(ABR)  (ACG) = AO

(BCT)  (ABR) = BO

(ACG)  (BCT) = CO

(ADH)  (CED) = DO

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

BC + (BCT)

AC + (ACG)

AD + (ADH)

CD + (CED)

BD + (BDF)

Следовательно:

Точка О является центром описанной сферы,

6 плоскостей симметрии пересекаются в точке О.

 Свойство 9: Тупой угол между перпендикулярами, проходящими через вершины тетраэдра к ортоцентрам, равен 109°28'

Дано:

ABCD – правильный тетраэдр;

O – центр описанной сферы;

Доказать:

AOB = 109°28'

 Доказательство:

1)AS – высота

ASB = 90o OSB прямоугольный

2)(по свойству правильного тетраэдра)

3)AO=BO – радиусы описанной сферы

4) 70°32'

5)

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?COD=?BOD=?BOC

(по свойству правильного тетраэдра)

=>AOD=AOC=AOD=COD=BOD=BOC=109°28'

Это и требовалось доказать.

 Интересен тот факт, что именно такой угол имеют некоторые органические вещества: силикаты и углеводороды.

В результате работы над свойствами правильного тетраэдра учащимся пришла мысль назвать работу “Удивительная точка в тетраэдре”. Были предложения рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров. Таким образом, работа вышла за рамки урока.

Выводы:

“Удивительная” точка в правильном тетраэдре имеет следующие особенности:

является точкой пересечения трех осей симметрии

 является точкой пересечения шести плоскостей симметрии

 является точкой пересечения высот правильного тетраэдра

 является центром вписанной сферы

 является центром полувписанной сферы

 является центром описанной сферы

 является центром тяжести тетраэдра

является вершиной четырех равных правильных треугольных пирамид с основаниями – гранями тетраэдра.

 Заключение.

( Учитель и учащиеся подводят итоги занятия. С кратким сообщением о тетраэдрах, как структурной единице химических элементов, выступает один из учащихся.)

Изучены свойства правильного тетраэдра и его “удивительная” точка.

Выяснено, что форму только такого тетраэдра, имеющего все выше перечисленные свойства, а также “идеальную” точку, могут иметь молекулы силикатов и углеводородов. Или же молекулы могут состоять из нескольких правильных тетраэдров. В настоящее время тетраэдр известен не только как представитель древних цивилизации, математики, но и как основа строения веществ.

Силикаты – солеобразные вещества, содержащие соединения кремния с кислородом. Их название происходит от латинского слова “силекс” – “кремень”. Основу молекул силикатов составляет атомные радикалы , имеющие форму тетраэдров.

Силикаты – это и песок, и глина, и кирпич, и стекло, и цемент, и эмаль, и тальк, и асбест, и изумруд, и топаз.

Силикаты слагают более 75 % земной коры (а вместе с кварцем около 87%) и более 95% изверженных горных пород.

Важной особенностью силикатов является способность к взаимному сочетанию (полимеризации) двух или нескольких кремнекислородных тетраэдров через общий атом кислорода.

Такую же форму молекул имеют предельные углеводороды, но состоят они, в отличии от силикатов, из углерода и водорода. Общая формула молекул

К углеводородам можно отнести природный газ.

Предстоит рассмотреть свойства прямоугольного и равногранного тетраэдров.