Олимпиада по математике
1. ( 2 балла) На какое число надо разделить сумму чисел 135/7 и 2/7, чтобы получить тот же результат, что и при делении числа 1001 на 143?
2. (3 балла) На соревнованиях по бегу на 10 километровой дистанции Петя Сидоров пробежал 9641м, затем прошел 3456 дм, наконец, прополз 12340 мм и остановился не в силах двигаться дальше. Сколько сантиметров осталось до финиша?
3. (4 балла) Контейнер, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2,8 м, 2 м, 2 м, заполняют коробками. Каждая коробка представляет собой куб высотой 40 см. Какое наибольшее число таких коробок понадобится, чтобы заполнить контейнер полностью?
4. (4 балла) Попрыгунья стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки она готовилась к зиме?
5. (5 баллов) Рост Буратино 1 м, а длина его носа раньше была 9 см. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только длина его носа стала больше его роста, Буратино престал врать. Сколько раз он соврал?
6. (6 баллов) Однажды, глубокой темной ночью, друзья – почтальон Печкин, Дядя Федор, пес Шарик и кот Матроскин возвращались с поиска клада. Они заблудились и вышли к реке, через которую шел мост. Матроскин может пройти этот мост за 10 минут, дядя Федор – за 2 минуты, Печкин – за 1 минуту, а Шарик – за 5 минут. Мост выдерживает только двоих друзей, и чтобы не упасть в воду, двигаться по мосту без фонарика нельзя. Смогут ли друзья перейти мост, пока светит фонарик, если заряда его батареек хватит еще ровно на 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, носить друг друга на руках нельзя)
7. (7 баллов) Однажды фрекен Бок испекла на завтрак 24 плюшки и разложила их по трем тарелочкам. В первой тарелке лежало 11 плюшек, во второй - 7 плюшек и в третьей - 6 плюшек. Когда Малыш, Карлсон и фрекен Бок сели пить чай, Карлсону досталось меньше всего плюшек и он расстроился. Тогда фрекен Бок предложила Малышу и Карлсону уровнять количество плюшек. Она сказала: " Вы можете уравнять количество плюшек на тарелках, но строго по моей системе: из одной кучки берёте столько плюшек, сколько их в той кучке, куда вы добавлять собираетесь. И сделать это вы должны строго за 3 перекладывания. Сможете - все плюшки ваши, нет - они мои."
- Давай! - согласились Малыш и Карлсон. Подумали с минутку и сумели так сделать, и уплетая вкусные плюшки, побежали из кухни. Ребята, а вы бы смогли так сделать? Ответ объясните.
Решения:
1. (135/7 + 2/7) : х = 1001: 143, Ответ: 2
2. 10 км – (9641м + 3456 дм + 12340мм) Ответ: 106 см
3. Размеры контейнера 280 см, 200 см и 200 см. Входит коробок 7 в длину, 5 в ширину 5 в высоту. 7*5*5 = 175 коробок. Ответ: 175 коробок
4. В сутках 24 часа, спала 24:2 = 12 часов, танцевала 24 : 3 = 8 часов, пела 24 : 6 = 4 часа, 12 +8 + 4 = 24. Ответ: к зиме не готовилась
5. 1 раз соврал – длина носа 9 * 2 = 18 см, 2 раз соврал – 18 * 2 = 36 см, 3 раз соврал – 36* 2 = 72 см, 4 раз соврал – 72* 2 = 144 см > 1м. Ответ: соврал 4 раза
Печкин+ Федор | 2 минуты |
Федор (возвращается) | 2 минуты |
Матроскин + Шарик | 10 минут |
Печкин (возвращается) | 1 минута |
Печкин+ Федор | 2 минуты |
17 минут |
6.
Возможно возвращаться наоборот, время то же самое
Ответ: друзья смогут перейти мост за 17 минут
7.
1 тарелка | 2 тарелка | 3 тарелка | |
11 | 7 | 6 | |
Перекладываем из 1 в 2 | 4 | 14 | 6 |
Перекладываем из 2 в 3 | 4 | 8 | 12 |
Перекладываем из 3 в 1 | 8 | 8 | 8 |
Общее количество плюшек 11+ 7 + 6 = 24
В каждую тарелку поровну 24 : 3 = 8
Олимпиада по математике
апрель 2014г
1. (2 балла) Сложили 111 тысяч, 11 десятков и 11 единиц. Какой остаток получится от деления суммы на 3?
2. (3 балла) В танцевальном кружке занимаются 3 девочки и 5 мальчиков. Для нового танца необходимо выбрать пару солистов, состоящую из мальчика и девочки. Сколькими способами руководитель кружка может составить такую пару?
3. (4 балла) Баба Яга варит волшебное зелье: к 1,5 кг меда она добавила 100 г растертых волчьих когтей, 100 г дегтя и 300 г слез кикиморы. Сколько процентов слез кикиморы содержит это варево?
4. (4 баллов) В одном королевстве был родник с живой водой. Брать воду и наливать ее, можно было только с помощью серебряных королевских ведер объемом 5 л и 8 л и большой королевской бочки, стоящей у родника. Выливали излишки воды или обратно в родник, или в эту бочку, в которой можно было накапливать нужное количество воды. Однажды король разрешил посетителям взять 1 л воды. Как они могли набрать это количество живой воды, используя наименьшее количество переливаний
5. (5 баллов) Какое наибольшее количество прямоугольников размером 1 Х 5 можно вырезать из квадрата 9 Х 9
6. (6 баллов) Сороконожки и трехголовые драконы. В некотором стаде сороконожек и трехглавых драконов всего 26 голов и 298 ног. У каждой сороконожки 1 голова. Сколько ног у трехглавого дракона?
7. (7 баллов) Мотоциклист проезжает за 5 ч такое же расстояние, какое автомобилист проезжает за 6 ч. Они выехали одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми 15 км, в одном направлении так, что мотоциклист догоняет автомобилиста. Сколько километров проедет автомобилист, пока его не догонит мотоциклист?
Решения:
1. 111000+110+11= сумма цифр исходного числа 7 не делится на 3 нацело, нацело делится число 111120 (сумма цифр 6) значит остаток при делении на 3 равен 20 = 1 Ответ: 1
2. 3*5 = 15, каждой девочки можно поставить в пару любого мальчика Ответ: 15
3. Все зелье 2 кг = 2000г, слез 300г, % слез 300:2000*100 =15% Ответ: 15 %
4. Налить в бочку 2 раза 8-литровым ведром = 16 литров в бочке, вылить из бочки в родник 5-тилитровым ведром 3 раза =15 л, в бочке останется 1 литр.
Ответ: 5 переливаний
5.
9*9 = 81м2, 5*1 = 5м2, 81:5 = 16 ковриков (наибольшее количество) | ||||||||||
Ответ: 16 ковриков | ||||||||||
6. 298:40= 7 (ост. 18),значит сороконожек не более 7 штук
Так как у каждого дракона по три головы, количество голов дракона должно делиться на 3
Количество драконов | Головы | Ноги | Количество сороконожек | Головы | Ноги |
8 | 24 | (298-80):8=27(ост2) | 2 | 2 | 80 |
7 | 21 | (298-200) : 7 = 14 | 5 | 5 | 200 |
Из таблицы видно, что возможен только вариант 5 сороконожек и 7 драконов
Ответ: у дракона 14 ног
7. Пусть скорость автомобилиста V1, путь пройденный до встречи S1; скорость мотоциклиста V2, путь пройденный до встречи S2
При постоянном пути время и скорость величины обратно пропорциональные, следовательно V1: V2 = 5 : 6. Выехав одновременно автомобилист и мотоциклист были в пути до встречи одинаковое время. При постоянном времени расстояние и скорость величины прямо пропорциональные, следовательно S1 : S2= V1: V2 = 5 : 6. Так как первоначальное расстояние между участниками движения было 15 км, путь проделанный мотоциклистом равен 15* 6 = 90 км, а путь автомобилиста 15*5 = 75 км
Ответ: 75 км
Олимпиада по математике
апрель 2014г
1. (3 балла) Диагональ делит четырехугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 и 30 см. Определите длину этой диагонали
2. (3 балла) Заполни пропущенные места одночленами так, что бы равенство стало верным: (…х3 + …)2 = … + 12х3у + 9…
3. (4 балла) У Эрика одноклассников на 7 больше, чем одноклассниц. Мальчиков в его классе в 2 раза больше, чем девочек. Джейн – одноклассница Эрика. Сколько у нее одноклассниц?
4. (4 балла) На одну чашу весов положили кусок сыра, а на другую 
такого куска и еще кг. Установилось равновесие. Какова масса куска сыра?
5. (5 балла) Дениска, Мишка, Костик, Аленка и Денискины папа с мамой придумывали задачи. Папа придумал задач больше, чем Костик, а Дениска больше, чем Мишка. Мама придумала задач больше, чем папа, но меньше, чем Мишка. Аленка придумала задач меньше, чем Костик. Кто из них придумал больше всего задач?
6. (5 баллов) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 120 км, выехал автомобиль, а из пункта В в пункт А навстречу ему в то же время выехал велосипедист. Через час они встретились. Через какое время с момента встречи расстояние между ними будет равно 40 км? Ответ дайте в минутах.
7. (6 баллов) Дано двузначное число а. Если его цифры поменять местами, то получится число b, которое в 4,5 раза меньше а. Найдите а.
Решения:
1. АВ + ВС +СМ +АМ = 31
АВ + ВС + АС + АМ + СМ + АС = 21 + 30 = 51
31 + 2 АС = 51
АС = 10
Ответ: 10
2. (2х3 + 3у)2 = 4х6 + 12х3у + 9у2
3. Пусть девочек х, тогда мальчиков 2х, по условию (2х-1) – х = 7 (мальчиков без Эрика на 7 больше чем девочек), х = 8, значит у Джейн 7 одноклассниц. Ответ: 7
4. Четверть куска сыра весит ¾ кг, значит весь кусок весит ¾ * 4= 3 кг. Ответ: 3 кг
5. Расположим в порядке возрастания количества решенных задач: Аленка, Костик, Папа, Мама, Мишка, Дениска. Ответ: Дениска
6. 120 км/ч – скорость сближения путников, она же является скоростью удаления, значит на 40 км они удалятся друг от друга за 1/3 часа или 20 минут. Ответ: 20 минут
7. Пусть х – число десятков первого числа, а у - число единиц первого числа, тогда
10х + у = (10у +х)*4,5
Х = 8 у
Так как х и у однозначные числа, существует единственный вариант у = 1, х = 8
Число а = 81, число b = 18. Ответ: 81
Олимпиада по математике
апрель 2014г
1. (2 балла)
В старинном задачнике предложено уравнение 3(2у + …)(3у + 2) – 2(3у + 1)2 = 43. Причем второе слагаемое в первой скобке стерлось. Найдите недостающее число, если в ответе указано, что у = 1
2. (3 балла) На вопрос о том, сколько у него учеников, Пифагор ответил так: « Половина моих учеников изучают математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют три девы» Сколько учеников было у Пифагора
3. (4 балла) Двое рабочих вместе выкопают яму за 5 часов. Если первый рабочий будет копать один 7 часов, то второму потребуется 2 часа, чтобы доделать работу до конца. За сколько часов второй рабочий выкопает яму, работая самостоятельно?
4. (5 баллов) Точки Е, К, М и Р середины сторон четырехугольника АВСD. Определите площадь АВСD, если ЕКМР – квадрат со стороной 10 см
5. (5 баллов) На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, за которого просят 100 дукатов?
6. (6 баллов) Чтобы добыть ключ, участникам игры «Форд Боярд», пришлось отгадать одну из загадок старца Фура. Пройдите это испытание и Вы. Итак: делится ли 719на 5?
7. (7 баллов) Трое ребят Саша, Женя и Андрей готовились к олимпиаде по математике. Саша и Андрей решили вместе задач в 2 раза больше, чем Женя. А Женя вместе с Андреем в 3 раза больше, чем Саша. Определите, кто из мальчиков решил больше всего задач, а кто ленился и решил меньше всего задач.
Решения:
1. 3(2+а)(3+2) -2(3+1)2 = 43, а = 3 Ответ: 3
2. Пусть количество учеников Пифагора – х, тогда х/2 +х/4 + х/7 + 3 = х, х = 28
Ответ: 28
3. Пусть первый рабочий за 1 час копает часть ямы равную х, а второй рабочий часть ямы равную у, тогда вместе за один час они копают часть ямы равную х + у, а за 5 часов 5*(х+у) = 1. Если копают по очереди 7х + 2у = 1.
Решая систему находим у= 2/25, тогда вся яма будет выкопана вторым рабочим за 1:2/25= 12,5 часа. Ответ: 12,5 часа
4. Стороны вписанного в четырехугольник квадрата являются средними линиями треугольников, полученных при разбиении четырехугольника его диагоналями, следовательно диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны по 20 см, тогда площадь четырехугольника равна 20*20:2 = 20 см2. Ответ: 200 см2
5. 800 дублонов = 100 пиастров, следовательно 1 пиастр = 8 дублонов
100 дублонов = 250 дукатов, следовательно 1 дублон = 2,5 дуката
100 дукатов = 40 дублонов = 5 пиастров
Ответ: попугай стоит 5 пиастров
6. 71 = 7, 72 = 49, 73 = …3, 74 = …1, 75 = …7; 1983:4 = 495 (ост 3), следовательно 71983=…3; 71983 – 1983 = ….0, следовательно число делится на 5. Ответ: делится
7. 
Женя – 1/3 всех задач
Саша – ¼ всех задач
Андрей – (3/4 – 1/3)= 5/12 всех задач
Ответ: меньше всех сделал Саша, больше всех сделал Андрей
