О подготовке будущего учителя к работе в классах с углубленным изучением математики

РГПУ им. , г. Санкт-Петербург,

ВКА им. , г. Санкт-Петербург

О ПОДГОТОВКЕ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ К РАБОТЕ В КЛАССАХ

С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ

Процесс обучения будущего учителя в современных условиях ориентирован на реализацию компетентностного подхода в обучении. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки «Педагогическое образование» требует от вузов такой организации процесса обучения и его содержания, при котором будущий учитель может успешно работать в образовательных учреждениях различного профиля, в том числе в классах с углубленным изучением предмета. В курсе математики классов с углубленным изучением включены вопросы, относящиеся к теории неопределенных (диофантовых) уравнений, то есть уравнений, содержащих более одной переменной и решаемых в целых числах. Надо отметить, что на олимпиадах разного уровня и в Едином государственном экзамене по математике включаются задания, в которых необходимо исследовать и решить такого вида уравнения. Поэтому при подготовке будущего учителя необходимо научить студентов некоторым методам решения таких уравнений, чтобы студент приобрел определенный опыт их решения. Заметим, что задания, содержащие диофантовы уравнения, могут быть представлены в большинстве тем курса теории чисел. Теоретическая и практическая подготовка студентов в области теории диофантовых уравнений будет более эффективной, если студенты приобретут опыт не только в решении уравнений, но и в их составлении.

Один из методов решения неопределенных уравнений, необходимый для освоения будущему учителю, который применяется при решении некоторых олимпиадных задач – это исследование возможных остатков от деления левой и правой частей уравнения на одно и то же число.

Например,

ü  уравнения , , , в целых числах неразрешимы, так как числа и при делении на остатка давать не могут, а число при делении на дает остаток ;

ü  уравнения , имеют бесконечное множество решений: формулы для квадратного уравнения , – целое, знак в формулах одинаков; множество решений кубического уравнения , , .

Опишем процесс составления таких уравнений на примере делителя равного числу . В формуле, вытекающей из теоремы о делении с остатком , , делимое заменяем переменной или , частное – переменной в первой степени для разрешимых уравнений, в любой степени для неразрешимых, вместо остатка берем числа, дающие остаток при делении на для разрешимых квадратных уравнений, – для разрешимых кубических; – для неразрешимых квадратных; – для неразрешимых кубических.

Далее исследуются возможные остатки от деления на чисел вида , () и также составляются уравнения.

Общий вид уравнений:

– неразрешимы, если

1) ; ; 2) ; .

– разрешимы, если

1) ; ; 2) ; .

– неразрешимы, если

1) ; ; 2) ; ;

3) ; .

– разрешимы, если

1) ; ; 2) ; ; 3) ; .

Метод исследования остатков применим к решению уравнений, в которых число, на которое будут вычисляться остатки от деления левой и правой частей уравнения, является делителем какого-либо числа. Например, число делится на , числа , при делении на остаток давать не могут, поэтому уравнения , целых решений не имеют.

Другой метод решения неопределенных уравнений – разложение многочлена, определяющего уравнение и находящегося в одной из его частей, на множители и приравнивание их возможным делителям числа, полученного после преобразования, в другой части уравнения. Заметим, что как при решении таких уравнений, так и при их составлении требуется определенная изобретательность, при этом применяются формулы разности квадратов, суммы и разности кубов, а также

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  .

Примеры.

ü  .

Множество решений: .

ü  .

Ответ: , .

ü  .

Множество решений: .

ü  .

Множество решений: .

ü  .

Множество решений: .

ü  . Целых решений нет.

ü  .

Одно решение: , .

Опишем процесс составления уравнений вида с использованием формулы .

Вначале подбираем коэффициент при и свободный член. Одним из них можно взять число текущего года. Полагаем, например, , и уравнение принимает вид .

Далее исследуются системы: , .

Для составления разрешимого уравнения числа подбираем так, чтобы данная система имела целочисленные решения. Если, например, , , то получим систему. Из системы исключаем переменную : . Целые решения возможны, если число – делиОдин из вариантов . Находим решения этого линейного неопределенного уравнения относительно , : , , – целое. Полагая, например, , тогда , , получаем разрешимое в целых числах уравнение , множество решений которого .

Для решения некоторых видов диофантовых уравнений могут быть использованы свойства простых и взаимно простых чисел и многочленов, исследование различных вариантов четности и нечетности значений переменных, входящих в уравнение и др.

Примеры:

ü  .

Множество решений: , – целое.

ü  . Решения: .

ü  . Решений нет.

ü  . Ответ: .

ü  . Решения: .

ü  . Ответ: , .

ü  . Ответ: , .

Литература

1.  , Кучугуров и методы формирования профессиональных умений будущих специалистов. Общероссийский журнал о мире образования «Преподаватель XXI век». №3, 2010, ч.1, с. 69-82.

2.  , О формировании профессиональных компетенций будущих магистров педагогического образования // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Педагогика и психология: научный журнал. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2012, №4(3). С.62-67.