Олимпиада по математике - 2014

ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ - 2014

1. Докажите, что любое решение дифференциального уравнения

ограничено на всей оси Ox.

Решение. Пусть определенное при всех решение д. у.

Ясно, что удовлетворяет тождеству . Отсюда, учитывая неравенства (при всех ) и свойства интеграла, получим

.

2. Косцы должны были скосить два луга. С утра они все вместе стали косить большой луг. По прошествии половины рабочего дня косцы разделились: половина косцов осталась на большом лугу и к концу дня докосила его. Другая половина перешла косить другой луг, вдвое меньше первого, но не успела к концу дня закончить косьбу. На другой день на этот луг вышел один косец и в течение дня докосил его. Сколько всего было косцов?

Решение. Если S – площадь, скашиваемая в один день, то на большом лугу было скошено за первую половину дня , а за вторую половину дня . Следовательно, большой луг имеет площадь . Так как второй луг в 2 раза меньше большого, его площадь равна . Так как на меньшем лугу в первый день работала половина косцов полдня, то они успели скосить часть луга, имеющую площадь , а потому на второй день осталось . Но эта площадь была скошена одним косцом за день, то всего косцов было .

3. Найти: , .

Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат

Умножив и разделив подынтегральную функцию на sinα и введя в дифференциал константу (-cosα), получим интеграл, сводящийся к табличному:

.

Чтобы установить, чему равна сумма углов, заключённых в фигурные скобки, возьмём тангенс от этой суммы, используя формулу для тангенса суммы углов: . Поскольку тангенс этой суммы равен ∞, получаем, что сумма углов, заключённых в фигурные скобки, равна . Поэтому искомый интеграл .

4. Найти .

Решение. Заметим вначале, что x→1-0 (логарифм существует только для положительных чисел). Данный предел имеет неопределённость (1-∞).

Будем применять правило Лопиталя, переписав предел следующим образом:

. Теперь в показателе степени возникла неопределённость (0/0).

.

Первый предел равен (-1/2). Второй предел имеет неопределённость (0/0).Применяем правило Лопиталя второй раз, предварительно перевернув в пределе дробь и получив при этом неопределённость (∞/∞)

.

Снова неопределённость (∞/∞), поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз:

Таким образом, исходный предел L=e0=1.

5. Найти . Найти наибольшее и наименьшее значение Р(х) при х

Решение. Умножим правую и левую части равенства на .

. .

Разделив теперь числитель и знаменатель на х и переходя к пределу при n→∞, получим:

.

Был использован первый замечательный предел.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения Р(х) при xє[0;π/2], ещё раз используем первый замечательный предел и, во-вторых, учтём, что при xє[0;π/2] Р(х) - убывающая функция

6. Найти сумму Sn = 1+2x+3x2+4x3+5x4+…+(n+1)xn.

Решение. Заметим, что эта сумма будет конечна при , если . Исходную сумму можно представить (с точностью до некоторой константы С) в виде производной от другой более простой суммы – суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S=.

7. Найти матрицу Х, если , det X = 1.

Решение. Пусть исходная матрица второго порядка имеет элементы a,b,c,d:

Обратная матрица Х-1, c учётом данных:

X-X-1:

a-d=-1

b-(-b)=10 b=5

c-(-c)=2 c=1

d-a=1 d=1+a

detX=1 , a1=-3, a2=2. Тогда d1=-2, d2=3.

Ответ: , .