Департамент образования города Москвы
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования города Москвы
Московский городской педагогический университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики его обучения
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 050202.65 «Информатика»,
Специалитет, квалификация - учитель информатики.
Математический факультет
Курс 3
Семестры 5, 6
Часть I. Программа учебной дисциплины
Москва, 2009
Программа обсуждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 5 ноября 2008 года, протокол
Программа повторно обсуждена, уточнена и утверждена на заседании кафедры математического анализа и методики его преподавания 17 декабря 2009 г., протокол №5.
Программа утверждена на заседании ученого совета математического факультета 25 декабря 2009 г., протокол №5.
Составители:
доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .
профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .
Заведующий кафедрой:
профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания МГПУ, .
Рецензент:
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Теория вероятностей и математической статистики
СОДЕРЖАНИЕ
1. Пояснительная записка. Цели и задачи дисциплины. с. 3
2. Требования к уровню освоения дисциплины. с. 5
3. Распределение курса по темам и организационным формам обучения. с. 8
4. Основное содержание дисциплины(5 семестр) с. 9
5. Основное содержание дисциплины(6 семестр) с. 11
6. Список рекомендуемой литературы с. 13
Пояснительная записка
Настоящая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО от 2005 года: на дисциплину отводится 182 часа (90 часов аудиторных занятий и 92 часа самостоятельных занятий студентов).
Необходимым условием освоения дисциплины является знание курса математического анализа за 1 - 3 семестры и курса алгебры за 1 - 2 семестры обучения.
Цели и задачи дисциплины
Цель изучения дисциплины состоит в изложении основ теории вероятностей и математической статистики, установлении 1) связей эмпирической частоты появления события и индуктивного поведения человека; 2) возможности аксиоматического определения понятия вероятности события; 3) различных методов комбинаторного решения задач.
Задачи курса:
o ознакомить студентов с фрагментами истории возникновения комбинаторного и статистического подходов к решению практических задач;
o привести примеры разнообразных задач, решение которых приводят к понятию частоты события;
o показать объективность понятия вероятности события;
o рассмотреть классическое (интуитивное) определение вероятности события и следствия этого определения;
o доказать основные теоремы теории вероятностей, связанные с дискретным пространством элементарных событий;
o показать недостатки классического определения вероятности события и познакомить студентов понятием геометрической вероятности.
o дать представление об аксиоматическом подходе при изучении вероятностей;
o сформировать у студентов понятие случайной величины (дискретной, непрерывной, сингулярной) и основных понятий, связанных с распределением вероятностей этой величины;
o познакомить студентов с различными законами распределения случайных величин;
o сформировать у студентов практические навыки решения основных задач теории вероятностей, связанных с законами распределения случайных величин;
o доказать основные предельные теоремы теории вероятностей, в том числе, закон больших чисел в форме Бернулли, неравенство Чебышёва, локальная терема Лапласа, интегральная теорема Муавра-Лапласа; центральная предельная теорема;
o ознакомить студентов с понятием многомерных случайных величин на примере двумерной случайной величины и соответствующими им понятиями ковариации и корреляционного момента;
o ознакомить студентов с фрагментами истории возникновения статистических понятий и принятием решений на основе выявленных статистических закономерностей (проявлением связи эмпирической частоты события и индуктивного поведения);
o сформировать у студентов основные понятия математической статистики, в том числе, понятия альтернативных гипотез и критерия принятия одной из них;
o показать примеры способов обработки информации;
o доказать основные свойства выборочных параметров эмпирического распределения случайной величины;
o показать примеры построения доверительных интервалов для оценки параметров распределения случайной величины;
o сформировать у студентов понятие сглаживания эмпирических зависимостей методом наименьших квадратов, в том числе, понятие линейной и нелинейной регрессий;
o показать студентам применение критериев согласия и выбор оптимального решения, соответствующего наименьшей вероятности ошибки.
Требования к уровню освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Иметь представления:
· об истории развития теории вероятностей и математическая статистика;
· о формулировках центральных предельных теорем;
· о методах выбора критерия согласия и уровня значимости критерия при принятии индуктивных решений.
Знать:
§ различные подходы к определению вероятности события;
§ основные теоремы теории вероятностей;
§ основные числовые характеристики случайных величин;
§ основные понятия, связанные с законами распределения случайных величин;
§ основные числовые характеристики распределения случайных величин;
§ виды зависимостей между случайными величинами и критерии существования этих зависимостей;
§ предельные теоремы теории вероятностей;
§ нормальный закон распределения и вероятностный смысл его параметров;
§ основные понятия математической статистики(генеральная выборка, вариационный ряд; гистограмма и полигон распределения случайной величины; числовые характеристики вариационного ряда; методы оценки параметров вариационного ряда.)
§ основные понятия, связанные с корреляцией двух случайных величин;
§ метод наименьших квадратов, как один из основных методов аппроксимации взаимной зависимости двух случайных величин;
§ понятия, связанные и принятием одной из двух альтернативных гипотез на основе различных критериев согласия (критерий 
Пирсона, 
Фишера, критерий Колмогорова).
Уметь:
ü вычислять вероятности событий, связанных с дискретным пространством элементарных событий;
ü пользоваться теоремами теории вероятностей для вычисления вероятностей событий, определенных на дискретном пространстве элементарных событий;
ü вычислять вероятности событий, связанных с геометрическим определением вероятности;
ü находить различные параметры распределения случайных величин (дискретных и непрерывных);
ü вычислять вероятности событий, связанных с нормальным распределением случайных величин;
ü вычислять статистические параметры конкретных выборок и проводить различные виды оценок этих параметров: точечную и интервальную;
ü находить уравнение линейной регрессии и оценивать параметры найденного уравнения;
ü использовать таблицы для использования критериев согласия при принятии одной из двух альтернативных гипотез;
ü сравнивать параметры двух и более выборок с помощью критериев согласия.
Иметь навыки (обладать компетенциями):
ü изображения событий и результатов операций над ними с помощью диаграмм Венна-Эйлера;
ü изображения пространства элементарных событий на координатной прямой и координатной плоскости;
ü выбора модели для вычисления вероятности события из набора основных моделей теории вероятностей: распределение k шаров по n ящикам; модели возвращенных и невозвращенных шаров;
ü построения гистограмм и полигонов;
ü выбора критерия для сравнения двух выборок;
ü использования различных таблиц теории вероятностей и математической статистики.
Распределение курса по темам и организационным формам обучения
Специальность: 050202.65, информатика,
квалификация - учитель информатики
№ | Учебная тема | Вид занятий | ||
Лекции | Семинары | СРС | ||
1 | Основные понятия и теоремы теории вероятностей. | 35 | 16 | 51 |
2 | Основные понятия и теоремы математической статистики. | 27 | 12 | 41 |
ИТОГО: 182 ЧАСА | 62 | 28 | 92 |
Текущая аттестация качества знаний осуществляется в форме текущего опроса, проверки домашних заданий, тестов, самостоятельной работы по теме «Основные законы распределения случайных величин». По итогам текущей аттестации производится допуск (недопуск) к итоговой аттестации.
Итоговая аттестация осуществляется в виде экзамена по теории вероятностей, который состоит из двух вопросов по двум основным учебным темам. Один из них проверяет знание определений и формулировок теорем, второй – умение решать задачи. По математической статистике – зачет, который состоит в проверке результатов обработки статистических данных, выданных индивидуально каждому студенту в виде двух статистических выборок.
Основное содержание дисциплины
(5 семестр)
Учебная тема №1. «Элементы перечислительной комбинаторики » [1]
Предмет теории вероятностей. Основные правила перечислительной комбинаторики. Размещения, перестановки и сочетания без повторений. Бином Ньютона. Размещения, перестановки и сочетания с повторениями. Число целочисленных решений линейного уравнения с n переменными.
Учебная тема №2. «Классическое определение вероятности. Простейшие теоремы теории вероятностей»
Испытание (опыт), результат испытания. Дискретное пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Алгебра событий. Совместные и несовместные события. Теорема о вероятности суммы событий. Противоположные события. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема о вероятности произведения двух событий. Попарно независимые события и события, независимые в совокупности. Теорема о вероятности произведения n независимых событий. Теорема о вероятности суммы произвольных событий. Формула полной вероятности, априорные и апостериорные вероятности гипотез Формулы Байеса.
Учебная тема №3. «Повторные испытания Бернулли»
Повторные испытания. Испытания до первого успеха. Схемы Бернулли. Теорема Бернулли о вероятностях ровно k успехов в n независимых испытаниях Бернулли. Локальная теорема Лапласа, интегральная теорема Муавра-Лапласа, теорема Пуассона и их применение.
Учебная тема №4. «Дискретные случайные величины»
Случайные величины. Закон распределения. Функция распределения случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины, моменты. Различные законы распределения дискретных случайных величин: биномиальное распределение, распределение Пуассона геометрическое распределение, моменты этих распределений.
Учебная тема №5. «Непрерывные и сингулярные случайные величины»
Понятие об аксиоматике Колмогорова. Геометрические вероятности и аксиоматика Колмогорова. Непрерывные и сингулярные случайные величины. Функция распределения непрерывной и сингулярной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины, моменты. Равномерное распределение, показательное распределение, распределение арксинуса моменты этих распределений. Параметры распределений. Двумерное распределение непрерывных случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин. Параметры многомерных распределений.
Учебная тема №6. «Нормальный закон распределения»
Нормальный закон распределения и его параметры. Свойства нормальной функции распределения; правило трех сигм и его применение.
Учебная тема №7. «Понятие о предельных теоремах теории вероятностей»
Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел в форме Чебышёва и форме Бернулли. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей, различные формулировки предельных теорем.
Основное содержание дисциплины
(6 семестр)
Учебная тема №8. «Начальные понятия математической статистики»
Математическая статистика, ее задачи и методы. История становления науки «Математическая статистика». Статистические оценки параметров выборки. Статистическое распределение и его числовые характеристики.
Учебная тема №9. «Оценка параметров выборки из генеральной совокупности»
Оценка параметров статистического распределения, доверительные интервалы для математического ожидания и для дисперсии. Сглаживание статистических рядов. Сглаживание экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Сглаживание линейной функцией – линия регрессии.
Учебная тема №10. «Сравнение нескольких выборок и соответствующих генеральных совокупностей. Проверка гипотез»
Различные зависимости случайных величин: функциональная и корреляционная. Понятие о статистической проверке гипотез Сравнение двух дисперсий Сравнение двух средних при известных дисперсиях. Сравнение двух средних для произвольных генеральных совокупностей. Гипотезы. Ошибки первого и второго рода при выборе гипотезы и плана действия. Различные критерии согласия. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий Пирсона 
. Сравнение параметров двух выборок. Сравнение параметров более двух выборок. Критерий Фишера
. Критерия Колмогорова для сравнения параметров выборки.
Список рекомендуемой литературы
Основная литература:
1) . “Введение в теорию вероятностей и математическую статистику”, М. Высшая школа, 1963.
2) . «Теория вероятностей», М. «Вербум-М», 1999.
3) , ёнов. «События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7–9 классы», М., «Мнемозина», 2003.
4) , , . Теория вероятностей и статистика.», М., Изд. МЦНМО, АО «Московские учебники», 2004.
Дополнительная литература:
1) . “Курс теории вероятностей.” М., Физматгиз, 1961
2) В. Феллер. “Введение в теорию вероятностей и её приложения”, тт. 1 и 2, М. Наука, 1995.
3) . «Теория вероятностей», М. «Наука», 1969.
4) Г. Секей. «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике.», М., «Мир», 1990.
5) . «Теория вероятностей», М, «Наука», 2007.
6) , , . «Теория вероятностей и математическая статистика в задачах», М., «Дрофа», 2003.
7) Э. Борель. «Случай». М., 1923 г.
Интернет-ресурсы:
1) Википедия http://ru. wikipedia. org/wiki/Теория_вероятностей
2) Библиотечный сайт МЦМНО
http://www.math.ru/lib/cat/analysis?n=20&page=4&o=0&o_by=author
[1] Каждый абзац примерно соответствует 1-2 аудиторным лекциям и 1-2 практическим занятиям
