обобщение дополнительных арифметических операций
над нечеткими числами (LR)-типа
1, 2, 3
1, 2 ЗАВОДЫ», Санкт-Петербург,
3, Москва,
Abstract. The developed arithmetic operations over fuzzy numbers of (LR)-type allow you to save initial fuzziness which corresponds to the practice of experts and which is important for accurate values on the interval ends.
Введение
Анализ опубликованных работ, проведенный в [1], показал, что формы представления нечетких чисел (НЧ) недостаточно эластичны, а арифметические операции над НЧ (LR)-типа зависимы от самих формы их представления. Поэтому понадобились специальные исследования, связанные с введением новой симметризованной параметрической формы представления НЧ (LR)-типа, о которой и пойдет речь далее.
Кроме того, в настоящее время в нечеткой математике сложилась ситуация, когда применение существующих арифметических операций искусственно увеличивает нечеткость до абсурдных размеров, хотя интуитивно понятно, что это не так. Общение с экспертами убеждает, что нечеткость их знаний всегда остается на одном уровне и не зависит от последовательно выполняемых ими действий, сколько бы их ни было. Поэтому появилась настоятельная необходимость аксиоматически сформулировать условия, не позволяющие увеличиваться степени нечеткости.
Уже в первой работе по нечеткой арифметике [2] было указано, что расширенные операции «сложение – вычитание», «умножение – деление» не позволяют отыскать соответственно противоположное и обратное нечеткое число. Из вышесказанного в [3] был сделан вывод о невозможности точного решения нечетких уравнений. Однако в работах [4,5] была выдвинута идея введения дополнительных операции вычитания, деления и показано, что с их помощью точное решение нечетких уравнений становится возможным.
Ниже дадим такое определение дополнительной арифметической операции [6], которое обобщает определения дополнительной арифметической операции, данные предыдущими исследователями [4,5].
Таким образом, все приведенные в настоящей работе исследования направлены в данном случае на создание теоретической базы для доказательства возможности получения точных решений нечетких уравнений.
1.Симметризованная параметрическая форма представления нечетких чисел
Необходимо отметить, что существующие формулы расширенных арифметических операций зависят от знака нечетких чисел. Это вызывает неопределенность выбора той или иной формы арифметической операции при вычислении решения нечеткого выражения.
Помимо этого, из свойств расширенных операций над нечеткими числами следует невозможность четкого определения концов и средины интервала [-1, +1], необходимых, например, при применении, наприме, методов планирования экспериментов или четкого решения нечетких уравнений [1] .
Для преодоления указанных недостатков рассмотрим представление расширенных арифметических операций в форме, нечувствительной к знаку нечеткого числа.
Для этого введем следующие понятия.
Определение 1. Показателем нечеткости числа 
назовем
(1)
Определение 2. Коэффициентом асимметрии функции принадлежности нечеткого числа 
назовем величину, определяемая как
(2)
Учитывая (1) и (2), введем определение нечеткого числа (LR)-типа, соответствующее решению поставленной цели.
Определение 3. Симметризованным параметрическим представлением нечеткого числа А (LR)-типа назовем кортеж
. (3)
Покажем связь между представлениями нечетких чисел в общепринятой и симметризованной параметрической формах:
,
Доказательство: 
Что и требовалось доказать.
2. Обобщение определения дополнительных операций
Определение 4. Дополнительной арифметической операцией 
называется такая, что
= А , (4)
где А, В, С - нечеткие числа;
* - расширенная арифметическая операция, противоположная .
Используя (4), введем дополнительные арифметические операции для нечетких чисел 
, имеющих такие носители, что 
. Они примут вид:
1. Дополнительное сложение
A 
доп В =
. (5)
2. Дополнительное вычитание
A 
доп В = . (6)
3. Дополнительное умножение
A 
доп В=
. (7)
4. Дополнительное деление
A 
доп В = 
. (8)
Введенные дополнительные арифметические операции обладают следующими свойствами:
(A | (2.52) |
(A | (2.53) |
А | (2.54) |
А | (2.55) |
А | (2.56) |
А | (2.57) |
(A | (2.58) |
(A | (2.59) |
(A | (2.60) |
(A | (2.61) |
Для того чтобы убедиться в справедливости свойств, докажем одно из них, например (9).
Пусть А, B – нечеткие числа. Учитывая выпуклость функций принадлежности, их подмножества a-уровней А a, B a - интервалы на R, имеющие вид: .
Тогда:
[(A доп В) доп А] a=[(A доп В)] a доп А a = (A a доп В a) доп А a=
= (
доп 
) 
доп
= =
доп 
=
=
=
=
=(-1)* =(-1)*B.
Что и требовалось доказать.
Остальные свойства доказываются аналогичным образом
При построении математических моделей сложных систем наиболее часто используемым видом нечетких уравнений являются уравнения с нечеткими числами (LR)-типа. Подходы к их решению продемонстрированы в [4,5,7]. В процессе построения решения они используют разложение нечетких чисел по системе a - уровневых множеств, что снижает эффективность вычислительных процедур и значительно усложняет реализацию на ЭВМ.
Используя вышеизложенный аппарат, основанный на параметрическом представлении НЧ, дополнительные арифметические операции над числами (LR)-типа 
и 
в симметризованной форме примут вид:
A |
A |
A |
A |
.______________________________________________________
Доказательства справедливости дополнительных арифметических операций в полном объеме приведены в [1].
4. Геометрическая интерпретация
Продемонстрируем на примере эффективность дополнительных арифметических операций в сохранении первоначальной нечеткости. Для этого сложим два нечетких числа А и В, а затем из полученной суммы вычтем одно из них.
В общепринятой форме арифметических операций сумма А+В примет вид, как показано на рис.1.
Рис.1.
Произведем вычитание из полученной суммы то же нечеткое число В и получим результат, как показано на рис.2.
Рис.2.
В форме дополнительных арифметических действий та же операция будет:
(А+В ) В =
доп
Как видно из приведенных вычислений, нечеткое число А в результате сохранило свою первоначальную нечеткость, что очень важно при решении нечетких уравнений.
4. Выводы
Корректное введение дополнительных арифметических операций на основе обобщения высказанных ранее идей и построение новых позволило при выполнении нечетких арифметических действий сохранять первоначальную нечеткость. Тем самым доказана и возможность получения четких решений нечетких уравнений.
Следует предостеречь от слишком оптимистичной интерпретации результатов, полученных при обработке массивов нечетких чисел общепринятыми в нечеткой математике арифметическими действиями. Так, например теория применения метода наименьших квадратов предусматривает обработку репрезентативной выборки соответствующего объема для получения надежных результатов. Применение в таком случае МНК для массива нечетких чисел становится проблематичным, а интерпретация результатов может оказаться некорректной.
Литература
1. Спесивцев рисками чрезвычайных ситуаций на основе формализации экспертной информации./Под ред. проф. – СПб: Изд-во Политехн. ун-та, 2004. – 238 с.
2. Mizumoto М., Tanaka K. Some Properties in Fuzzy Sets on Type 2 // Inform, and Control. 1976. V.51 №5.
3. Yager R. R. On the Lack of Inverses in Fuzzy Arithmetic
// Fuzzy Sets and Systems. 1980. V.4. N1.
4. Алексеев нечеткой математики в задачах принятия решений // Прикладные задачи анализа решений в организационно-технических системах. – Рига.: Риж. политехн. Ин-т, 1983.
5. , , и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. – М.: Радио и связь, 1989. – 304с.
6. , , Кимяев расширенных арифметических операций. // Деп. ВИНИТИ -95.
7. Гвоздик нечетких уравнений // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. №5.
