Картография (стр. 6 )

Пример № 2

Пусть картографическая проекция задается уравнениями следующего вида:

(20)

1. Определение вида меридианов и параллелей. Из совместного решения системы уравнений получаем:

х2 + у2 = R2 cos2φ (cos2λ + sin2λ) = R2cos2φ. (21)

Тогда при φ = const уравнение (12) будет уравнением параллелей (уравнением окружностей с радиусом r = R cos φ).

Поделив первое уравнение на второе, получают:

или . (22)

Тогда при λ = const уравнение (22) есть уравнение меридианов (уравнение пучка прямых линий).

Используя классификацию проекций по виду картографической сетки, делают вывод о том, что исследуемая проекция – азимутальная.

2. Построение сетки:

а) определяют масштаб построения проекции.

С учетом заданного формата чертежной бумаги для построения картографической сетки и округлой формы изображения земной поверхности в азимутальной проекции (рис. 32) масштаб построения проекции следует определять выражением:

, (23)

где 8 см – принятый в масштабе построения радиус экватора на плоскости;

ρэкв/j = 0° – радиус экватора на поверхности сферы.

Рис. 32. Схема размещения чертежа при построении
картографической сетки азимутальной проекции

В нашем случае ρэкв = R cos φ; при φ = 0° – ρэкв = R, R = 64 × 107 см,
μ0 = 1 : 000;

б) для построения параллелей, вычисляем их радиусы по формуле:

r = R cos φ × μ0.

Результаты вычисления приведены в табл. 6.

Таблица 6

Радиусы параллелей ρi

φ, °	ρi, cм
0	8,00
30	6,96
60	4,00
90	0,00

Последовательно откладывая по оси Х радиусы и проводя соответствующие им окружности, находят положения параллелей 30°, 60°, 90° (рис. 33);

Рис. 33. Построение параллелей картографической сетки
в азимутальной проекции

в) строят меридианы, используя уравнение меридианов:

.

Для построения меридианов (они представляют собой прямые линии) достаточно провести лучи, исходящие из пересечения осей Х и Y, через 30° (начиная от оси Х или Y).

Построение меридианов приведено на рис. 34.

Рис. 34. Построение меридианов картографической сетки
азимутальной проекции

Далее наносят необходимые географические контуры материков на картографическую сетку; находят частные производные хj, хl, уj, уl от уравнения (11); определяют Гауссовы коэффициенты (7), характеристики проекции (8) в полном соответствии с планом исследования, а также осуществляют табулирование характеристик, делают вывод о характере искажения проекции.

Пример № 3

Пусть картографическая проекция задается уравнениями следующего вида:

. (24)

1. Определение вида меридианов и параллелей.

В первом уравнении проекции x является функцией только широты φ. Следовательно, при φ = const есть уравнение параллелей. В этом случае параллели – прямые параллельные линии.

Во втором уравнении у является функцией долготы λ. Следовательно,
у = Rλ при λ = const представляет собой уравнение меридианов. Последние есть прямые параллельные линии.

Используя классификацию проекций по виду сетки, делаем вывод, что исследуемая проекция – цилиндрическая.

2. Построение сетки.

а) определяют масштаб построения проекции. С учетом заданного формата чертежной бумаги для построения картографической сетки и вытянутости изображения земной поверхности в цилиндрической проекции с запада на восток, масштаб построения проекции μ0 следует определять выражением (19) и использовать схему размещения чертежа при построении картографической сетки такую же, как на рис. 29;

б) для построения параллелей, с учетом их уравнения, вычисляем абсциссы:

.

При этом учитывают, что при φ = 90°, tg (45 + ) не существует. Поэтому вычисление абсцисс для будущего эскиза картографической сетки делают до 80-й параллели.

Результаты вычисления xi с учетом μ0 = 1 :  000 приведены
в табл. 7.

Таблица 7

Абсциссы хi

φ, °	хi, cм
0	0,00
30	1,04
60	2,45
80	4,59

Из табл. 7 видно, что экватор совпадает с осью Y. Последовательно откладывая от оси Y абсциссы х2, х3, х4, находят положения параллелей (рис. 35);

80°

Рис. 35. Построение параллелей картографической сетки
цилиндрической проекции

в) строят меридианы, используя уравнение меридианов:

.

Учитывая, что λ не входит под знак какой-либо функции, можно сделать вывод о том, что расстояние между меридианами на каждой конкретной параллели есть величина постоянная. Поэтому для построения меридианов достаточно вычислить , приняв λ = 30° (в радианной мере – 0,52). В нашем случае Dy = 2,08. Вычисления для построения меридианов приведены в табл. 8.

Таблица 8

Ординаты yi

λ, °	λ, рад	yi, см
0	0	у1 = 0,00
30	0,52	у2 = 2,08
60	1,04	у3 = 4,16
90	1,57	у4 = 6,28
120	2,09	у5 = 8,36
150	2,62	у6 = 10,48
180	3,14	у7 = 12,56

Средний меридиан λ = 0° будет совпадать с осью X.

Полученное значение у = 2,08 см при λ = 30° откладываем по оси Y на восток и запад от оси X до 180° с заданной частотой построения сетки, то есть 6 раз по 30° (рис. 36).

Рис. 36. Построение меридианов картографической сетки
цилиндрической проекции

Построение картографической сетки на рис. 36 приведено лишь для 1/4 части изображения. Это изображение будет симметрично относительно среднего меридиана и экватора. Сетка строится на всю картографируемую территорию и на нее наносят необходимые географические контуры материков. Далее находят частные производные хj , хl , уj , уl от уравнения (24); определяют Гауссовы коэффициенты (16), характеристики проекции (17) в полном соответствии с планом исследования, а также осуществляют табулирование характеристик и делают вывод о характере искажения проекции.

10.2.3. Варианты контрольных заданий

Номер варианта задания соответствует последней цифре номера зачетной книжки студента, если номер заканчивается на «0» – это соответствует 10-му варианту. Контрольная работа состоит из системы двух уравнений, каждая из этих систем описывает одну картографическую проекцию. Варианты контрольных заданий приведены в табл. 9.

Таблица 9

Варианты контрольных заданий

Номер варианта	Уравнения проекции
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11	x =R tgφ secλ y = R tgλ
12	x = –R (90 º – φ) cosλ y = R(90 º – φ) sinλ

10.3. Задание «Измерение и определение характеристик
по топографической карте масштаба 1 :»

10.3.1. Цель и содержание задания

Цель задания: приобретение практических навыков в работе с топографической картой масштаба 1 :

Содержание задания:

1. По заданному положению четырех точек на карте определить их географические и прямоугольные координаты, высоты.

Вычислить площадь S и периметр П четырехугольника (образованного указанными точками), уклоны i и углы наклона ν его сторон, горизонтальные проложения l и наклонные длины L сторон четырехугольника.

Рассчитать поправки DS и DP в площадь и периметр четырехугольника за счет искажений проекции.

2. Определить среднюю высоту поверхности точечным способом в пределах четырехугольника при расстоянии между узлами квадратной сетки Dl, равными 1 см в масштабе карты.

Рассчитать расстояние между узлами квадратной сетки Dl1 для определения средней высоты четырехугольника со средней квадратической ошибкой = 1 см.

3. Составить карту перемещения грунта в изолиниях с показом высоты снимаемого и отсыпаемого грунта для планировки заданного участка (четырехугольника) на уровне его средней высоты ().

Подсчитать объемы перемещаемого грунта: общий Vобщ., снимаемый Vсн., досыпаемый Vотс..

Материалы для работы:

1. Топографическая карта масштаба 1 :

2. Условные знаки для топографических карт масштабов 1 :, 1 :, 1 : [20].

10.3.2. План выполнения первой части задания

1. Определение географических координат (φ, λ).

Для определения географических координат широты φ и долготы λ точки А на карте провести ближайшие к ней с юга параллель и с запада меридиан, соединив одноименные минутные деления градусной рамки (рис. 37).

Рис. 37. Определение географических и прямоугольных координат
точки по топографической карте

Для точки А0 (точки пересечения проведенных меридиана и параллели) определить широту φ0 и λ0 (в градусах и минутах). Из точки А опустить перпендикуляры на построенные меридиан и параллель и с учетом секундной рамки измерить расстояния АА1 = Dφ и АА2 = Dλ. Определить окончательные координаты φА = φ0 + Dφ, λА = λ0 + Dλ.

Пример: φ0 = 54°15¢; λ0 = 14°23¢;

Dφ = АА1 = 16²; Dλ = АА2 = 28²;

φА = 54°15¢16²; λА = 14°23¢28².

2. Определение прямоугольных координат (х, у).

Для определение прямоугольных координат х, у точки В следует использовать оцифровку километровой сетки. По ней найти координаты х0, у0 юго-западного угла квадрата километровой сетки, в котором находится данная точка В. Затем из точки В опустить перпендикуляры на стороны квадрата ВВ1 и ВВ2 и с учетом масштаба карты определить их длины (см. рис. 37):

ВВ1 = Dх; ВВ2 = Dу.

Прямоугольные координаты точки В определить выражениями:

хВ = х0 + Dх; уВ = у0 + Dу.

Пример: х0 = 6 022 км; у0 = 3 461 км;

Dх = 0,601 км; Dу = 0,750 км;

хВ = 6 022 + 0,610 = 6 022, 610 км;

уВ = 3 461 + 0,750 = 3 461,750 км.

3. Определение высоты (Н).

Высота (или отметка) точки, расположенной на горизонтали, равна отметке этой горизонтали (рис. 38, а).

Пример: НN = 145,0 м.

Если точка расположена между горизонталями, то через нее следует провести прямую как кратчайшее расстояние между горизонталями и на карте измерить отрезки NM и NC (рис. 38, б). Тогда отметка точки будет равна [12]:

НС = НN + Dh,

где Dh = (h – принятая на карте высота сечения рельефа).

Если точка расположена между горизонталями с одинаковыми отметками (рис. 38, в), то ее отметку можно определить лишь приближенно. При этом отметка точки будет меньше или больше высоты этой горизонтали на половину высоты сечения рельефа, т. е. 0,5h.

Пример: Отметки точек С и Д будут равны:

НС = 131,5 м;

НД = 135,5 м.

Рис. 38. Пример схемы определения высоты точек
по топографической карте

Результаты вычисления географических и прямоугольных координат точек, их высот следует оформить в виде табл. 10.

Таблица 10

Координаты и высоты точек, определенные по карте

Точки	Географические координаты	Прямоугольные координаты	Высоты Н, м
l ° ¢ ²	j ° ¢ ²	х, км	у, км
А	53 42 55,1	65 47 08,0	5 957,925	11 683,900	161,32
В
С
Д

4. Определение площади (S).

Вычислить площадь четырехугольника АВСД (рис. 39) по формуле

S = ,

где xi, yi – прямоугольные координаты вершин многоугольника;

n – число сторон многоугольника.

Рис. 39. Схема к обоснованию формулы определения
площади многоугольника аналитическим способом

Например: площадь четырехугольника АВСД (см. рис. 39) равна

.

5. Вычисление горизонтального проложения (l).

Горизонтальное проложение линии l определить по формуле

.

Например, горизонтальное проложение линии АВ (рис. 40) определяется выражением

.

6. Вычисление уклона (i) и угла наклона (n).

Уклон линии i и угол ее наклона n вычислить соответственно по формулам:

; ,

где DН – превышение между точками заданной линии АВ (см. рис. 40).