Урок математики в гуманитарном классе.
, учитель математики, МОУ лицей№7, г. Томск.
Пояснительная записка.
Изменившиеся условия окружающей действительности требуют от человека знаний не «много и обо всем», а «немного о многом и много о немногом». Именно поэтому идея профилизации опять была востребована. При таком подходе приходится мириться с тем, что преподаваемый вами предмет может быть кому - то просто неинтересен, и он не намерен тратить свои силы на преодоление трудностей по его усвоению. Прежде всего, это касается тех старшеклассников, которые выбрали гуманитарный профиль обучения.
Такая позиция оправдана, но надо иметь в виду то, что при таком подходе совсем не отрицается необходимость приобретения общекультурного уровня в понимании тех или иных вопросов. Математика в этом плане - не исключение. Среди целей математического образования эти вопросы занимают равное место наряду с овладением конкретными математическими знаниями. В гуманитарном классе формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как о форме описания и методе познания действительности, о значимости математики как части общечеловеческой культуры в развитии цивилизации и в современном обществе должны стать приоритетными.
Как же это реализовать на практике?
Из опыта работы известно, что один из основных вопросов, который периодически возникает при обучении математике филологов и историков «Зачем нам это надо?» Поэтому проблема мотивации обучения должна выйти на первый план. Почему возникла необходимость изучать данный вопрос именно сейчас? Почему мы не можем решить данную задачу, и каких знаний нам не достает? Все эти вопросы должны ставиться при введении новой темы. Яркие факты, интересные сведения, личные наблюдения учащихся, парадоксы, проблемные вопросы и ситуации – все это должно стать неотъемлемой частью уроков для гуманитариев.
Особенно хочется остановиться на вопросе использования исторических сведений на уроке. Во - первых, история принадлежит сфере интересов гуманитариев. Во - вторых, история любой науки ярко демонстрирует с одной стороны связь предмета с конкретными практическими потребностями людей, а с другой стороны, выступает как средство духовного развития. В - третьих, часто знакомство с историческим развитием того или иного вопроса позволяет понять логику изложения этого материала, а исторические задачи и даже просто тренировочные задания из старых учебников помогут скрасить работу по формированию необходимых навыков.
Учитывая то, что учащиеся гуманитарного класса более эмоциональны и зачастую у них преобладает образное мышление, эффективным приемом начала урока является предложение эпиграфа к уроку, которой в образной форме представляет либо содержание материала, либо методы работы.
Учитывая специфику класса, можно практиковать работу со словарем. Ведь знакомство с этимологией слова, нахождение более известных и понятных однокоренных слов способствует более полному пониманию смысла математического термина (рекуррентный, коммутативный, дифференцирование, интегрирование и др.). Интересны также случаи неправильного перевода некоторых терминов (например, «корень»).
Оригинальную форму обучения математики путем образно - эмоционального воздействия на учащихся предлагают О. Перькова и Л. Сазанова в своих книгах «Математический паноптикум». Задания в этих книгах отличаются разнообразием подачи условия, для самопроверки правильного ответа используется соответствие между числами и буквами – «кодированные ответы» (что, кроме всего прочего, способствует развитию функционального мышления). Кроме этого, предлагаются краткие и популярные рассказы об известных людях, переданные в форме вопросов и математических заданий. Эти идеи можно широко использовать при преподавании точных наук в гуманитарных классах. Мало того, ученики сами с удовольствием составляют подобные задания, что способствует не только обобщению и повторению изученного материала, но и развитию творческих способностей, что не менее важно. Недаром интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, необходимых человеку для полноценной жизни в обществе, стала одной из важнейших целей современного образования.
Формирование разнообразных предметных компетентностей - одно из направлений модернизации современного образования. Опыт критичного и вариативного мышления, способность адекватно реагировать на противоречивые и неопределенные ситуации, опыт конструктивного диалога, знания о способах и методах деятельности, умения работать по алгоритму – все это будущий гуманитарий должен получить на уроках в школе, и на математике, в том числе.
В качестве одной из деятельностных компетенций (по Виноградовой) назван индивидуальный стиль деятельности. Ни для кого не секрет, что в классах гуманитарного профиля можно четко выделить две группы учащихся. Первая группа – это подростки с достаточно развитым логическим мышлением, широким кругозором, просто точные науки не входят в сферу их интересов. Эти школьники успешно учатся, в том числе и математике. Другая группа - это ученики с менее развитыми способностями. И поскольку предметы естественно-математического цикла объективно более сложные, предпочтение отдается гуманитарному профилю. К сожалению, эта группа не такая уж малочисленная и, несмотря на то, что считается, что к старшим классам общеучебные умения должны быть сформированы, реально приходится заниматься и этим. Одним из путей решения данной проблемы является выяснение и учет доминантной подструктуры математического мышления. В соответствии со своей ведущей подструктурой человек по - разному воспринимает, оперирует, перерабатывает и воспроизводит математическую информацию. Психологические исследования показывают, что овладеть иным (учительским) способом рассуждения человек может лишь после того, как предварительно овладел своим «родным», способом решения проблемы. И помощь учителя, его подсказки разным ученикам должны быть различными. Только в этом случае они будут услышаны, восприняты и приняты. «Каждый слышит только то, что понимает» ().
В предлагаемой работе предпринята попытка показать на примере конкретного урока реализацию данных положений.
Тема урока: Интеграл.
Цель:
· Познакомить учащихся с новым понятием «интеграл» и со сферами его применения.
· В очередной раз подтвердить тезис, что «математика – наука для описания окружающей действительности».
Мотивация учебной деятельности.1) Эпиграф к уроку (записан на доске).
В одном мгновенье видеть вечность,
Огромный мир – в зерне песка,
В единой горсти бесконечность
И небо в чашечке цветка.
(Ульям Блейк, перевод )
Ульям Блейк (1– английский поэт и художник. Сборники «Песни невинности»(1789), «Песни опыта»(1794), «Пророческие книги» () в мифических и библейских образах отразили события Великой французской революции и американской борьбы за независимость. Для поэзии Блейка, а также для его иллюстраций к собственным книгам и к «Божественной комедии» Данте, характерна романтическая фантастика, философская аллегория.
2) Слово учителя.
На сегодняшний урок я принесла, казалось бы, несовместимые вещи: лимон, роман «Война и мир», роман «Мы», портреты миланского монаха, английского физика, немецкого философа. Тем не менее, все это имеет отношение к нашему сегодняшнему уроку.
3) Демонстрация интегральных сумм. Постановка проблемы.
Предположим, что нам нужно вычислить объем лимона. Он имеет неправильную форму, и применить какую-либо известную формулу объема нельзя.
Можно найти объем с помощью взвешивания и использования формулы 
, но плотность лимона в разных частях разная.
Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку можно приближенно считать цилиндром с малой высотой. Объем такого цилиндра легко вычислить по известной формуле 
. Сложив объемы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объема всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы разрежем лимон.
Этот способ вычисления объемов предложил еще в 3 веке до нашей эры Архимед. Гениальный ум древнего грека предвосхитил многие открытия 17-18 веков. Среди почитателей таланта Архимеда был и член монашеского ордена Бонавентура Кавальери.
4) Историческая справка о Бонавентура Кавальери.
2. Изучение нового.
Изложение материала ведется в соответствии с учебником «Алгебра и начала анализа 10 – 11 кл.»
1) Задача 1 (о площади криволинейной трапеции).
Дана фигура, ограниченная графиком функции f, прямыми x=a и x=b и осью Ох (она называется криволинейной трапецией). Найти ее площадь.
2) Задача 2 (о перемещении точки).
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости движения от времени выражается формулой V=V(t). Найти перемещение точки за промежуток времени.
3) Задача 3 (о вычислении массы стержня).
Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность, которого в точке вычисляется по формуле 
. Найти массу стержня.
5) Обобщение рассматриваемых задач.
Подведем итоги. Четыре задачи разные по смыслу решались с использованием одной и той же схемы рассуждений (а таких задач, смею вас заверить, не только четыре).
Значит нужно создавать математическую модель задачи и специально ее изучать.
Что это значит? Что для этого надо делать?
· Присвоить ей новый термин;
· Ввести для нее обозначение;
· Научиться с ней работать.
6) Определение.
Итак, в ходе решения задач мы рассматривали предельное значение суммы произведений
. В математике доказано, что этот предел существует, и называется он определенным интегралом от функции f на отрезке от а до в. Обозначают: 
,
Где f(x) – подынтегральная функция, dx - дифференциал, а и в пределы интегрирования.
6) Работа с термином (этимология) и символикой.
Заглянем в словарь. Слово интеграл происходит от латинского слова integer –целый.
В русском языке слово «интеграция» означает восстановление, восполнение, воссоединение, то есть процесс, ведущий к состоянию связанности отдельных частей в целое.
Символ 
- стилизованная буква S – cумма;
f(x)dx – напоминание о слагаемых, из которых состоит сумма.
7) Как вычислять?
Математики, придумав новое понятие, не могли обойти вопрос о его «количественном наполнении». Для этого была доказана следующая теорема.
Теорема. Для нахождения определенного интеграла достаточно найти
какую-нибудь первообразную F функции f(x) рассмотреть разность F(b) – F(a).
= F(b) – F(a).
Вычислить интегралы и соответствующие буквы занести в таблицу ответов. Получите при этом имя автора теоремы.
0,5 | 6 | 1 | 3 | 4 | 7\3 | 8 |
Е
Б
Л
Н
П
Й
И
Ц
Ответ: Лейбниц.
2) Историческая справка о Лейбнице.
.
()
Математика не была единственной его страстью. С юных лет ему хотелось познать природу целиком, и математика должна была стать решающим средством этого познания. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем.
Научные и общественные его планы были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок.
Но реальная жизнь вносила коррективы в грандиозные планы. Он не смог организовать всемирную академию, но в 1700 году организует академию в Берлине, рекомендует
Петру 1 организовать академию в России. При организации в Петербурге в1725 году академии наук, пользовались планами Лейбница.
Он прекрасно умеет решать конкретные математические задачи. Но все же Лейбниц всегда стремиться рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работами Паскаля, он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий универсальный метод и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на глазах его была пелена».
Лейбниц создает интегральное и дифференциальное исчисление, которые были построены, но не опубликованы Ньютоном.
Ученый, занимающийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль играет символика. Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) методы математического анализа не вышли бы за пределы узкого круга специалистов.
Судьба сыграла с этим человеком, злую шутку. Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов, в последние годы жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления. Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых. А правда была в том, что первые результаты получил Ньютон, а Лейбниц пришел к открытию собственным путем. Кроме этого, результаты Лейбница стали известны ученым раньше и раньше опубликованы. Упомянутый спор отравил остаток жизни Лейбница и когда он умер, за его гробом шел только один друг.
Правда, справедливость восторжествовала, знаменитая формула о вычислении определенного интеграла носит имя Ньютона-Лейбница.
4. Подведение итогов урока.
1)Почему в эпиграфе взят именно этот отрывок?
Он удачно иллюстрирует идею интегрирования – замену одной большой величины суммой бесконечного количества малых.
Сумма мгновений – вечность;
сумма зерен песка – огромный мир;
сумма горстей – бесконечность.
2) «Война и мир» Эпилог.
«Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей и, достигнув искусства интегрировать (брать сумм этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории».
3). «Мы».
« Через 120 дней заканчивается постройка Интеграла. Близок великий, исторический час, когда первый Интеграл взовьется в мировое пространство. Тысячу лет назад ваши героические предки покорили власти Единого государства весь земной шар. Вам предстоит более славный подвиг: стеклянным, электрическим, огнедышащим Интегралом проинтегрировать бесконечное уравнение Вселенной. Вам предстоит благодеятельному игу разума подчинить неведомые существа, обитающие на иных планетах – быть может еще в диком состоянии свободы. Если они не поймут, что мы несем им математически безошибочное счастье, наш долг заставить их быть счастливыми».
Список литературы.
1. . Уроки математики. Выпуск3. – Семь раз отмерь.- Санкт-Петербург, «Свет»,1996.
2. , Карп : Учебное пособие для 11класса гуманитарного профиля.- М.: Просвещение, 2001.
3. . Мы. – М.: АСТ, 2002.
4. Мордкович и начала анализа.10-11кл: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.:Мнемозина,2001.
5. Толстой и мир. М.; Художественная литература, 1978.
6. Я познаю мир: Детская энциклопедия. Математика. – М.; АСТ,1995.
