Стохастические дифференциальные уравнения (стр. 2 )

Планирование самостоятельной работы студентов

№	Темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов
обязательные	дополнительные
1	2	3	4	5	6
Семестр 2.
1	Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений.	работа с литературой; выполнение домашнего задания		1-2	6
2	Задачи фильтрации.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	3-4	6
3	Стохастический подход к детерминированным краевым задачам. Оптимальная остановка.	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы	подготовка к контрольной работе	5-6	6
4	Стохастический подход к детерминированным краевым задачам: Финансовая математика.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	7-8	6
5	Стохастический подход к детерминированным краевым задачам Стохастическое управление	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	9-10	6
6	Интеграл Ито и его свойства. Обобщения интеграла Ито.	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы	подготовка к контрольной работе	11-12	6
7	Мартингалы и их применение. Задачи фильтрации: Одномерная линейная задача фильтрации.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	13-14	6
8	Диффузионные процессы. Формула Дынкина	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	15-16	3
9	Приложение к задаче статистического управления.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	16-17	9
	ИТОГО:	54
№	Темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов
обязательные	дополнительные
1	2	3	4	5	6
Семестр 3.
1	Приложения к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле – Пуассона. Стохастическая задача Дирихле. Обобщённые задачи Дирихле и Пуассона. Мера Грина.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	1-4	12
2	Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и неоднородных процессов.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	5-8	12
3	Приложения к задаче об оптимальной остановке: задача об оптимальной остановке, включающая интеграл. Связь с вариационными неравенствами.	работа с литературой; выполнение домашнего задания; решение контрольной работы	подготовка к контрольной работе	9-13	15
4	Приложение к задаче стохастического управления: Постановка задачи. Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. Задача стохастического управления с терминальными условиями.	работа с литературой; выполнение домашнего задания	подготовка к контрольной работе	14-18	15
	ИТОГО:	54

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1	Выпускная квалификационная работа	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+

5.  Содержание дисциплины

Тема 1. Вероятностные пространства, случайные величины и случайные процессы. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений.

Тема 2. Задачи фильтрации: Одномерная линейная задача фильтрации. Многомерная линейная задача фильтрации.

Тема 3. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам. Стохастическое управление. Оптимальная остановка. Стохастическое управление. Финансовая математика.

Тема 4. Интеграл Ито и его свойства. Построение интеграла Ито. Обобщения интеграла Ито. Сравнение интегралов Ито и Стратоновича.

Тема 5. Мартингалы и их применение: Формула Ито и теорема о представлении мартингалов. Формула Ито для одномерного случая. Многомерная формула Ито. Теорема о представлении мартингала.

Тема 6. Стохастические дифференциальные уравнения и их решения. Примеры и некоторые методы решения. Существование и единственность решения. Слабые и сильные решения.

Тема 7. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Строго Марковское свойство. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения, производящий оператор диффузионного процесса Ито. Формула Дынкина. Характеристический оператор.

Тема 8. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Строго Марковское свойство. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения, производящий оператор диффузионного процесса Ито. Формула Дынкина. Характеристический оператор. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента. Формула Фейнмана - Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова.

Тема 9. Диффузионные процессы: Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента. Формула Фейнмана - Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова.

Тема 10. Приложение к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле - Пуассона. Единственность. Задача Дирихле. Регулярные точки. Стохастическая задача Дирихле. Обобщенная задача Дирихле. Обобщенная задача Пуассона. Мера Грина.

Тема 11. Приложение к задаче оптимальной остановке: случай однородных процессов. Функция вознаграждения, допускающая отрицательные значения. Случай неоднородных процессов.

Тема 12. Задача об оптимальной остановке, включающей интеграл. Связь с вариационными неравенствами.

Тема 13. Приложение к задаче стохастического управления: постановка задачи. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Задачи стохастического управления с терминальными условиями.

6.  Планы семинарских занятий (семестр 2.)

Тема 1. Вероятностные пространства, случайные величины и случайные процессы. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений.

Тема 2. Задачи фильтрации.

Тема 3. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам. Оптимальная остановка. Финансовая математика.

Тема 4. Интеграл Ито и его свойства. Обобщения интеграла Ито.

Тема 5. Мартингалы и их применение.

Тема 6. Стохастические дифференциальные уравнения и их решения.

Тема 7. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Строго Марковское свойство. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения, производящий оператор диффузионного процесса Ито. Формула Дынкина. Характеристический оператор.

Тема8. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство. Строго Марковское свойство.

Тема 9. Приложение к краевым задачам Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения, производящий оператор диффузионного процесса Ито. Формула Дынкина. Характеристический оператор.

7.  Планы семинарских занятий (семестр 3).

Тема 10. Приложения к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле – Пуассона. Стохастическая задача Дирихле. Обобщённые задачи Дирихле и Пуассона. Мера Грина.

Тема 11. Приложения к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле – Пуассона. Стохастическая задача Дирихле. Обобщённые задачи Дирихле и Пуассона. Мера Грина.

Тема 12. Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и неоднородных процессов.

Тема 13. Приложение к задаче стохастического управления: Постановка задачи. Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. Задача стохастического управления с терминальными условиями.

8.  Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)