Стохастические дифференциальные уравнения (стр. 3 )

8.1.  Примерные задания для контрольных работ

1). Для одномерного скалярного Броуновского движения, выходящего из точки

х=0, записать плотность распределения. Вычислить его дисперсию и

получить корреляционную функцию в моменты времени t1 и t2.

2). Найти характеристическую функцию одномерного Броуновского процесса,

и определить:E(Вt), и с помощью этой формулы найти

3). Из определения Интеграла Ито получить формулу:

4). Преобразовать дифференциальные уравнения Ито в дифференциальное

уравнение Стратоновича:

5). Пусть

Покажите, что

8.2.  Примерные вопросы для подготовки к зачету (семестр 2).

1. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам: Стохастическое управление. Примеры.

2. Стохастический подход к детерминированным краевым задачам:

Оптимальная остановка. Примеры.

3. Задачи фильтрации: Одномерная линейная задача фильтрации. Примеры.

4. Задачи фильтрации: Многомерная линейная задача фильтрации. Примеры.

5. Интеграл Ито и его свойства. Построение интеграла Ито. Примеры.

6. Обобщения интеграла Ито. Сравнение интегралов Ито и Стратоновича.

Примеры.

7. Мартингалы и их применение: Формула Ито и теорема о представлении

мартингалов. Примеры.

8. Формула Ито для многомерного случая. Многомерная формула Ито. Примеры.

9. Стохастические дифференциальные уравнения и их решения. Примеры и

некоторые методы решения.

10. Стохастические дифференциальные уравнения: Существование и

единственность решения. Слабые и сильные решения. Примеры.

11. Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и

неоднородных процессов. Примеры.

12. Приложение к задаче оптимальной остановке: Функция вознаграждения,

допускающая отрицательные значения. Задача об оптимальной остановке,

включающей интеграл. Связь с вариационными неравенствами.

8.3.  Примерные вопросы для подготовки к экзамену (семестр 3).

1. Стохастические аналоги классических дифференциальных уравнений. Примеры.

2. Задачи фильтрации: одномерная и многомерная задачи фильтрации. Примеры.

3. Оптимальная остановка и стохастическое управление. Примеры.

4. Интеграл Ито: Построение интеграла Ито. Обобщённый интеграл Ито. Примеры.

5. Мартингалы и их применение. Примеры.

6. Стохастические дифференциальные уравнения: Методы решения. Сильные и слабые решения. Примеры.

7. Приложение к краевым задачам: Смешанная задача Дирихле - Пуассона.

Пример.

8. Задача Дирихле. Регулярные точки. Стохастическая задача Дирихле. Примеры.

9. Обобщенная задача Дирихле. Обобщенная задача Пуассона. Мера Грина.

Примеры.

10. Приложения к задаче об оптимальной остановке: В случаях однородных и

неоднородных процессов. Примеры.

11. Приложение к задаче оптимальной остановке: Функция вознаграждения,

допускающая отрицательные значения. Задача об оптимальной остановке,

включающей интеграл. Связь с вариационными неравенствами. Примеры.

12. Диффузионные процессы и их свойства. Марковское свойство.

Строго Марковское свойство. Примеры.

13. Граничное распределение, гармоническая мера и свойство среднего значения,

производящий оператор диффузионного процесса Ито. Примеры.

14. Формула Дынкина. Характеристический оператор. Примеры.

15. Обратное уравнение Колмогорова. Резольвента. Примеры.

16. Формула Фейнмана - Каца. Задача о мартингале. Теорема Гирсанова. Примеры.

17. Приложение к задаче стохастического управления: Постановка задачи.

Уравнение Гамильтона – Якоби – Беллмана. Примеры

18. Приложение к задаче стохастического управления: Задача стохастического

управления с терминальными условиями. Примеры.

9.  Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Стохастические дифференциальные уравнения» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и семинарские занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Стохастические дифференциальные уравнения» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– семинарские занятия с докладами студентов;

– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

10.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)

10.1.  Основная литература

1.  Неймарк и хаотические колебания/ . - 2-е изд., доп.. - Москва: URSS, 20с

10.2.  Дополнительная литература

1. ,Скороход в теорию случайных процессов. – М.: Наука,

1977.

2. Вентцель теории случайных процессов. – М.: Наука, 2002.

3. , , Цветкова процессы. – М.: Издательство

МГТУ им , 1999.

4. Чириков и свойства динамического хаоса. Труды международного

семинара. «Теоретико-групповые методы в физике»(Звенигород, 1982). – М.: Наука,

1983, т. II. с 389.

5. , Панов случайных процессов в примерах и задачах. – М.: Физматлит, 2002.

6. С., Синицын стохастических систем: учебное пособие. – М.: Логос, 2004

11.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием, аудитория для семинарских занятий.

КАРТА КОМПЕТЕНЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ «СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

НАПРАВЛЕНИЕ 010100.68 – МАТЕМАТИКА

профили подготовки: «Математическое моделирование».

код	Формулировка компетенции	Результат обучения в целом	Результаты обучения по уровням освоения материала	Виды занятий	Оценочные средства
минимальный	базовый	повышенный
ОК-6	способностью работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху	Знает: о применении стохастических дифференциальных уравнений в областях будущей профессиональной деятельности	о возможности исследования случайных процессов реальной действительности с помощью дифференциальных уравнений	о применении стохастических дифференциальных уравнений в областях будущей профессиональной деятельности, с целью улучшения качества полученных результатов	как добиться наилучших прогнозов при исследовании реализации случайных процессов в самостоятельных исследованиях	Лекции, доклады магистрантов на занятиях	Устный опрос.
Умеет: самостоятельно находить оптимальную форму исследования полученной модели	самостоятельно приводить задачи реальной действительности к математическим моделям	самостоятельно находить оптимальную форму исследования полученной модели	применять стохастические дифференциальные уравнения в профессиональной деятельности самостоятельно в большинстве областей профессиональной деятельности	Лекции, практические занятия и доклады магистрантов	Устный опрос, контрольная работа
Владеет: методами самоконтроля и повышения качества при решении поставленной задачи	методами самоконтроля при возникновении трудностей в решении поставленной задачи	методами самоконтроля и повышения качества при решении поставленной задачи	методами самоконтроля, повышения качества при решении поставленной задачи	Лекции, практические занятия с докладами магистрантов	Устный опрос, контрольная работа
ПК-4	самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках математических задач	Знает: основные идеи и способы решения стохастических дифференциальных уравнений для физических процессов	о связи физических процессов с математическими моделями. Броуновское движение. Винеровские процессы. Гауссовские процессы	основные идеи и способы решения стохастических дифференциальных уравнений для физических процессов. Интеграл Ито, интеграл Стратоновича.	белый шум, фильтрация при решении стохастических дифференциальных уравнений. Фильтрация Калмана – Бьюси.	Лекции, практические занятия и доклады магистрантов на занятиях	Устный опрос, контрольная работа
Умеет: исследовать реальные физические процессы с использованием стохастических дифференциальных уравнений	переводить реальные физические процессы в математические модели, представляющиеся дифференциальными уравнениями	исследовать реальные физические процессы с использованием стохастических дифференциальных уравнений	исследовать прогнозирование реальных физических пороцессов во времени	Лекции, практические занятия и доклады магистрантов	Устный опрос, контрольная работа
Владеет: методами прогнозирования поведения физических процессов со временем	простейшими методами решения стохастических дифференциальных уравнений	построение интегралов Ито для стохастических дифференциальных уравнений, при описании физических процессов	методами прогнозирования поведения физических процессов со временем	Лекции, практические занятия	Устный опрос, контрольная работа
ПК-7	умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математике, совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе	Знает: общие формы, закономерности, инструментальные средства для групп дисциплин, смежных с групповым анализом	в общих чертах о формах, закономерностях, инструментальных средствах для групп дисциплин, смежных со стохастическими дифференциальными уравнениями	общие формы, закономерности, инструментальные средства для групп дисциплин, смежных с групповым анализом	использование программ, позволяющих вычислять конкретные физические задачи, с заданными параметрами.	Лекции, практические занятия и доклады магистрантов	Устный опрос, контрольная работа
Умеет: использовать программные продукты при решении стохастических дифференциальных уравнений	использовать программные продукты, для решения стохастических дифференциальных уравнений	использовать программные продукты при решении стохастических дифференциальных уравнений	с помощью программных продуктов исследовать возможность улучшение оценок параметров стохастических процессов	Лекции, практические с занятия самостоятельная работа с программными продуктами на компьютерах	Устный опрос, контрольная работа
Владеет: Использованием компьютера для решения стохастических дифференциальных уравнений и применение фильтрации	пониманием общих форм, закономерностей, инструментальных средств для групп дисциплин, смежных с исследованием реальных процессов	пониманием программных продуктов к исследованию задач, связанных со случайными процессами	Использованием компьютера для решения стохастических дифференциальных уравнений и применение фильтрации	Лекции, практические занятия	Устный опрос, контрольная работа