Задачи
для подготовки к олимпиадам
по математике
 |
1) В лесу растет миллион елок. Известно. Что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.
2) В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
3) В мешке лежат 10 белых и 10 черных шаров. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них наверняка оказались два шара: 1) одного цвета. 2) разного цвета.
3)белого цвета?
4) Верно ли, что из любых трех целых чисел можно выбрать два, сумма которых четна?
5) В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35 учеников?
6) Можно ли увезти 50 камней весом 370, 372, 374, 376, … , 466, 468 кг на семи трехтонках?
7) Конь вышел с поля а1 шахматной доски и через несколько ходов возвратился обратно на а1. Докажите, что он сделал четное число ходов.
8) Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2 ?
9) 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в соседних клетках отличалась на 1 ?
10) Можно ли выпуклый девятиугольник разрезать на четырехугольники?
11) Сумма 2006 натуральных чисел – нечетное число. Каким числом: четным или нечетным является произведение этих чисел?
12) На доске написано в строку 2003 целых числа. Докажите, что из них можно стереть одно число так, чтобы сумма остальных чисел будет четной.
13) Учитель написал на листе бумаги число учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет или отнимает единицу- как хочет. Может ли после того, как последний ученик проделает свою операцию над числом, на листе оказаться число 0 ?
14) Можно ли по правилам игры в домино выложить костей в одну цепочку так, что бы сумма на ее концах была
нечетной?
15) Страницы книги пронумерованы подряд с первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 17 листов и сложил
номера всех страниц. У него получилось 2002. Правильно ли сосчитал Вася?
16) Сравните: 792 и 891
17) На какую цифру оканчивается число ?
18) Вычислите: 
19) Вычислите:
20) Вычислите: …-1+0+1+2+…+98+99+100
21) докажите, что 13+132+133+134+…+132001+132002 делится на 7.
22) Сравните: 
+ 
и 2
23) Сравните: 
и 
.
24) ( Древняя китайская задача) 5 буйволов и 2 барана стоят 10 ланов золота. 2 буйвола и 5 баранов стоят 8 ланов золота. Сколько стоят буйвол и баран?
25) Магазин продал одному покупателю 25% имеющегося в куске полотна, второму -30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько % полотна осталось непроданным?
26) Однажды балда предложил черту заработать. «Как только перейдешь этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого раза отдавай мне за это 24 копейки» черт согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег было у черта сначала?
27) Три землекопа за три часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?
