УДК 621.391.8
А. Г. БОГАЧЕВ
A. G. BOGACHEV
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО КАНАЛА СВЯЗИ С ПАМЯТЬЮ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ВЕРОЯТНОСТНОЙ СМЕСИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СИГНАЛОВ
MATHEMATICAL MODEL OF LINEAR COMMUNICATION CHANNEL WITH MEMORY BASED ON CHARACTERISTIC FUNCTIONS AND PROBABILISTIC MIXTURE DISTRIBUTION OF SIGNALS
В статье описан подход к построению модели линейного канала связи с памятью на основе характеристических функций и вероятностной смеси распределений сигналов
Ключевые слова: канал связи, идентификация канала связи
The article describes an approach to the construction of a model of linear communication channel with memory based on characteristic functions and probabilistic mixture distribution of signals
Keywords: channel, channel identification
В работах большинства авторов мгновенные характеристики канала связи и ожидаемые на приеме сигналы полагаются известными точно. Однако в действительности имеется некоторая ошибка характеристик канала, которая непосредственно влияет на опорные сигналы в приемнике, что приводит к существенному снижению качества демодуляции. В работах ряда авторов приводятся оценки, которые показывают, что при увеличении среднего квадрата погрешности оценивания параметров канала на 1-2 дБ вероятность ошибки когерентной демодуляции увеличивается примерно на порядок [1-3]. В последние 10-15 лет активно развивается научное направление, связанное с оценкой характеристик каналов связи без передачи тестовой последовательности. В современных системах радиосвязи время, затрачиваемое на тестирование канала связи достигает 18 % (для стандарта GSM), что делает привлекательным использование этого временного ресурса для модернизации систем радиосвязи [3]. Для систем коротковолновой связи доля тестовой последовательности может достигать 50% от общего времени передачи по радиоканалу [4-6].
Различают два основных типа задач слепой обработки сигналов: слепая идентификация канала (оценка неизвестной импульсной характеристики или передаточной функции), слепое выравнивание (или коррекция) канала (непосредственная оценка информационного сигнала) [3]. В обоих случаях для обработки доступны только реализации входного сигнала приемного устройства. Первая задача является наиболее общей, так как может иметь различные практические приложения, отличающиеся от приложений, связанных с передачей информационных сигналов (например: радиолокационные системы контроля космического пространства; компенсация искажений в системах формирования и обработки изображений, в том числе в медицинской технике). Отметим, что вторая задача слепой обработки сигналов может быть решена на основе решения первой. В связи с указанными обстоятельствами остановимся на задаче слепой оценки импульсной характеристики.
Задачи слепой обработки предполагают широкий класс моделей для описания наблюдаемых сигналов. В наиболее общем случае непрерывная модель описывается как система системами с множественным входом и множественным выходом (в англоязычной литературе Multiple-Input Multiple-Output или MIMO) [3]. Новизна и сложность предлагаемой модели не позволяет использовать MIMO-систему как объект исследования, поэтому ограничимся рассмотрением частного случая с одним входом и одним выходом. Это соответствует случаю стационарного скалярного канала, который может быть описан соотношением вход-выход [7]:
, (1)
где 
– наблюдаемый на выходе канала связи сигнал;
– неизвестная импульсная характеристики канала связи;
– реализация 
-ого входного сигнала (
) на 
-ом временном интервале 
;
– случайная аддитивная помеха;
–тактовый интервал.
Под идентифицируемостью системы вслепую понимается возможность восстановления импульсной характеристики системы с точностью до комплексного множителя только по выходным сигналам.
В работах [3, 8, 9] приведены ключевые теоремы, на основе которых сформулированы необходимые и достаточные условия слепой идентифицируемости. Сущность этих условий сводится к выполнению следующих требований:
– все каналы в системе должны отличаться друг от друга, например они не могут быть идентичны;
– входная последовательность должна быть достаточно сложна. Она не может быть нулевой, константой или одиночной синусоидой;
– в наличии должно быть достаточно отсчётов выхода.
Условия слепой идентифициуемости определяют класс моделей, используемых в рассматриваемой задаче. Общими свойствами для такого класса моделей являются:
1) образование векторного канала:
1а) с помощью многоканальной модели (один вход-много выходов или SIMO в англ.), что соответствует методам разнесенного приема в пространстве [3, 4, 10, 11];
1б) путем высокоскоростной обработки (multirate) сигналов на приеме, что соответствует индуцированию векторного канала избыточной дискретизацией [3,4];
2) наличие случайного воздействия на входе модели с заданными статистическими характеристиками, которое образует информационную последовательность.
Класс моделей для рассматриваемой ситуации должен быть выбран так, чтобы основным их свойством модели была явная зависимость выхода от импульсной характеристики канала. При этом конкретная реализация информационной последовательности, которая подается на вход системы, естественно является несущественной. Поэтому при моделировании можно применить усреднение по всем возможным информационным последовательностям с помощью вероятности их появления. Тогда модель можно определить как систему, задающую реакцию канала в данный момент времени на тактовом интервале в зависимости от импульсной характеристики при усреднении по входным последовательностям. Здесь под усреднением понимается восстановление плотности вероятности реакции канала по заданному количеству начальных моментов (модель усреднения реакции канала по последовательностям передаваемых символов). Такая модель представлена в [12]. Здесь рассматривается вариант, при котором на тактовом интервале берется один отсчёт выходного сигнала (
):
, (2)
где 
– функция плотности вероятности при условии вектора импульсной характеристики канала 
;
– матрица данных;
– длительность импульсной характеристики канала;
– вектор принимаемых сигнальных точек;
– вектор данных;
– длина блока принимаемых сигнальных точек;
– вероятность последовательности 
, 
;
– размер символьного созвездия (позиционность модуляции).
Анализ модели (2) показывает, что функция правдоподобия для импульсной характеристики является многомодальной, что существенно затрудняет нахождение эффективной оценки. Поэтому на практике такую многомодальную плотность вероятности аппроксимируют с помощью моментов первого и второго порядка некоторым гауссовским распределением. Это значительно снижает вычислительную сложность получения оценки, но и одновременно снижает её точность.
При значительной глубине межсимвольной интерференции (что соответствует достаточно протяженной импульсной характеристике) даже при незначительном объеме алфавита передаваемых символов число возможных входных последовательностей символов растет экспоненциально 
. Поэтому для аналитического задания модели (2) необходимо знание 
вероятностей.
Существенным упрощением описания последовательностей входных символов в формуле (2) можно достигнуть с помощью использования аппарата однородных цепей Маркова [13]:
, (3)
где 
– 
-мерная вероятность;
– вероятность начального состояния;
– вероятность перехода из состояния 
в состояние 
.
Математическую модель сформулируем в виде функции правдоподобия наблюдаемой реакции канала связи на последовательность состояний цепи Маркова и их преобразования в модуляторе при заданной импульсной характеристике. Важным является то, что в случае идентификации импульсной характеристики канала связи по тестовой последовательности можно использовать математический аппарат нестационарных однородных цепей Маркова [13]. В этих условиях изменения математической модели будут несущественными.
Зададим математическую модель путем композиции операторов, описывающих преобразования сигнала и формирование наблюдений.
1) Реакцию на выходе стационарной линейной системы (линейного канала связи) найдем, используя принцип дуальности сигнал-система.
Преобразование в модуляторе представим в виде:
,
где 
– теплицева матрица представления 
-ого сигнала вектора преобразования 
сигналов;
– размерность наблюдаемого сигнала на длине отрезка МСИ (число отсчетов сигнала на интервале МСИ);
– размерность сигналов (число отсчетов на тактовом интервале);
- глубина МСИ, измеряемая в тактовых интервалах.
Преобразование в линейной части канала связи определим как:
,
где 
– реакции на выходе линейного канала для всех возможных сигналов модуляции;
– вектор импульсной характеристики канала связи на 
тактовых интервалах с отсчетами на каждом значащем интервале (размерность 
– 
), дискретизация эквидистантная.
Преобразуем вектор в матрицу реакций 
.
2) Оператор формирования наблюдений на тактовом интервале зададим с помощью матрицы назначений 
:
,
где 
– реакция на выходе канала для выделенных матрицей назначений отсчетов;
– матрица назначений для выделения значащих отсчетов;
- номер выделяемого отсчета,
.
В строках матрицы назначений все элементы равны нулю кроме одного равного единице. В первой строке единица в -ом столбце, во второй строке единица в 
-ом столбце,…, в 
-ой строке единица в 
-ом столбце.
3) Для образования рандомизированной смеси сигналов на выходе канала связи применим аппарат характеристических функций [14], который позволяет представить плотность вероятности суммы независимых случайных величин через произведение их характеристических функций, а саму смесь через сумму плотностей вероятностей. Такой подход позволяет найти аналитическое задание функции правдоподобия на основе многошаговых вероятностей переходов (3).
В теории обобщенных функций считается, что преобразование Фурье от дельта-функции (импульсная функция, функция Дирака) равно [14]:
,
где 
– преобразование Фурье;
– значение случайной величины (значение отсчета сигнала на выходе канала связи).
Тогда описание реакции на выходе канала связи от сигналов для заданного -ого отсчета 
-ого тактового интервала
,
где 
- характеристическая функция 
-ого сигнала на выходе канала связи на -ом тактовом интервале;
– имеет размерность 
, так как на -ом временном интервале на входе канала связи может действовать один из 
сигналов;
, 
.
4) Свяжем матрицу переходных вероятностей с характеристической функцией состояния марковской цепи (элементом информационной последовательности). Тогда на множестве состояний характеристических функций определим одношаговую матрицу переходных вероятностей:
,
где 
– матрица переходных вероятностей цепи Маркова для состояний;
– одношаговая матрица переходных вероятностей характеристических функций откликов на выходе линейной части канала связи для 
ого тактового интервала;
– оператор формирования диагональной матрицы.
5) Следовательно, для реакции канала на выделенном интервале анализа с учетом глубины МСИ характеристическая функция может быть записана как рандомизированная смесь характеристических функций суммы независимых случайных величин:
.
6) Результирующая рандомизированная смесь может быть сформирована как сумма характеристических функций финальных вероятностей состояний:
,
- единичный вектор размерности 
;
- вектор стационарного состояния цепи Маркова размерности .
7) Дополним математическую модель аддитивным белым гауссовским шумом наблюдений. 
– характеристическая функция нормального закона с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением – 
.
Следовательно, искомая функция правдоподобия наблюдения 
при импульсной характеристике находится обратным преобразованием Фурье:
.
Образуем совокупность наблюдений в виде числа временных каналов 
, что соответствует количеству анализируемых тактовых интервалов, и выделенных 
-ых отсчетов на каждом тактовом интервале
,
где - число испытаний (число тактовых интервалов используемых для идентификации). Например, число тактовых интервалов используемых для идентификации может быть равно глубине межсимвольной интерференции (МСИ), измеряемой в тактовых интервалах – ,
- номер выделяемого отсчета.
Для оценки импульсной характеристики по совокупности наблюдений (формирование многократных наблюдений) с помощью критерия максимума правдоподобия удобно пользоваться её логарифмом. С учетом гипотезы о независимости формирования наблюдений и в силу монотонности функции логарифма логарифм многократной функции правдоподобия определяется как
, (4)
где 
– число анализируемых тактовых интервалов в общем случае не меньшее чем длительность импульсной характеристики канала связи, что существенно упрощает поиск экстремума функции (4).
По прямому описанию модели (1) была построена событийная имитационная модель. При этом использовалась модуляция ФМ-2, дискретная марковская цепь с двумя состояниями, матрицей переходных вероятностей 
и вектором финальных вероятностей 
, линейный канал тональной частоты с глубиной межсимвольной интерференции
, низкочастотной импульсной характеристикой длительностью 24 отсчета по 8 отсчетов на каждом тактовом интервале.
Результатами моделирования в виде гистограмм частот (
) попадания случайной величины в диапазон значений (
) реакций канала для выделенных отсчетов на тактовом интервале (рисунки 1 и 2). Использовалась выборка содержащая 3000 тактовых интервалов.
Рисунок 1 – Гистограмма частот попадания случайной величины в диапазон значений реакций канала для третьего отсчета на тактовом интервале
Рисунок 2 – Гистограмма частот попадания случайной величины в диапазон значений реакций канала для восьмого отсчета на тактовом интервале
Далее была построена функция правдоподобия на основе предлагаемой математической модели (1-4). Результаты в виде плотности вероятности 
случайной величины реакции канала () для выделенных отсчетов на тактовом интервале представлены на рисунках 3 и 4.
Рисунок 3 – Плотность вероятности случайной величины реакции канала для третьего отсчета на тактовом интервале
Рисунок 4 – Плотность вероятности случайной величины реакции канала для восьмого отсчета на тактовом интервале
Результатами моделирования являются гистограммы частот попадания случайной величины реакции канала для выделенных отсчетов на тактовом интервале. Использовалась выборка содержащая 3000 тактовых интервалов. Далее была построена функция правдоподобия на основе предлагаемой математической модели (1-4). Было обнаружено, что с ростом объема статистической выборки по числу тактовых интервалов гистограмма (рис. 1, 2) становится все более подобной сформированной математической модели (рис. 3, 4).
Выводы:
1. Прямое описание модели необходимо для разработки имитационной модели канала.
2. Разработанная модель канала с межсимвольной интерференцией задается в виде косвенного описания, которое в дальнейшем может быть использовано для поиска эффективной оценки импульсной характеристики по максимуму правдоподобия.
3. Математическая и статистическая модели имеют явно выраженную многомодальную структуру, число мод которой зависит от памяти канала. Однако на некоторых отсчётах на выделенном тактовом интервале отдельные экстремумы становятся визуально неразличимы. Это может происходить вследствие: низкого отношения сигнал/шум, большого числа точек в сигнальном созвездии, большой глубины межсимвольной интерференции, большого числа отсчетов на длительности тактового интервала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чингаева анализ методов оценивания импульсной характеристики как функции двух переменных в каналах с рассеянием во времени и по частоте // Успехи современной радиоэлектроники. – 2008. – №12. – С. 60-67.
2. Карташевский пространственно-временных сигналов в каналах с памятью. – М.: Радио и связь, 2000. – 272 с.
3. Горячкин слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. – М.: Радио и связь, 2003. – 230 с.
4. Tong L., Perreau S. Multichannel Blind Identification: From Subspace to Maximum Likelihood Methods // Proceedings of the IEEE. – October 1998. Vol. 86. №. 10. – pp. .
5. Otnes R., Tuchler М. Block SISO linear equalizers for turbo equalization in serial-tone HF modems // Proc. Norwegian Signal Processing Symp., NORSIG-2001, NORSIG, Trondheim, Norway, pp. 93–98.
6. NATO STANAG 4285: Characteristics of 1200/2400/3600 bits per second single tone modulators/demodulators for HF radio links. Feb. 1989.
7. , , Щелкунов помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник / Под ред. . – М.: Радио и связь, 1981. – 232 с.
8. Xu G., Liu H., Tong L., Kailath T. A least-squares approach to blind channel identification // IEEE Trans. Signal Processing. – 1995. – Vol. SP-43, №12. – P. .
9. Hua Y., Vax M. Strict identifiability of multiple FIR channels driven by an unknown arbitrary sequence // IEEE Trans. Signal Processing. – 1996. – Vol. SP-44, №3. – P. 756-759.
10. Пространственно-временная обработка сигналов / , , и др.; Под ред. . – М.: Радио и связь, 1984. – 224 с.
11. Монзинго, антенные решетки: Введение в теорию / , . – М.: Радио и связь, 1986. – 448 с.
12. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер с англ. / под ред. . – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.
13. , Миронов M. А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. – 488 с.
14. , , Сизых процессы. Примеры и задачи. Т. 1. Случайные величины и процессы: Учеб. пособие для вузов. Под ред. . – М.: Радио и связь, 2003. – 400 с.
Академия ФСО России, г. Орёл
Научный сотрудник
Тел. +6-22
E-mail: *****@***ru
