Конспект лекций "Основы компьютерного моделирования и проектирования" (стр. 2 )

Существует целый ряд методов, базирующихся на итерационных способах получения решения.

Группы методов:

  I.  Методы деления по полам: метод простой итерации обладает мягкими условиями сходимости, но не высокая скорость сходимости(большое количество итераций-шагов)

Первая группа используется в 2-х случаях:

1)  На начальном этапе поиска корней.

2)  Методы II группы начинаются расходиться.

  II.  Методы с жесткими условиями сходимости, относительно высокая скорость сходимости.

·  Метод Ньютона

·  Квазиньютоновские методы

·  Метод Ньютона – Раввина

·  Метод Бройдена

Метод деления пополам(метод дихотемии).

1.  Условие сходимости:

a)  Корень уравнения отделён (есть корень и является единственныи).

b)  Функция определена на интервале изменения и непрерывна.

Геометрическая интерпретация метода.

Y

a

0 X

Алгоритм решения:

1)  Проверяем : - условие не выполняется. Если выполняется – корень любой из интервала.

2)  Находится среднее значение: и определяем знаки функций в точках .

, то , условия не выполняются.

Можно априорно оценить количество итераций , где n-количество итераций - точность

При программировании алгоритма необходимо предусмотреть возможность попадания в .

, то .

, то -корень.

 

Метод простых итераций.

Есть функция f(x), необходимо найти точку пересечения f(x) с осью OX или найти корни уравнения . При k-ая уравнение превращается в тождество с заданной точностью .

От исходного уравнения f(x)=0 перейдем на основе эквивалентных преобразований заданного уравнения к уравнению вида: . Если построить итерационную процедуру , то возможны варианты:

a)  Итерационный процесс будет расходиться.

b)  Итерационный процесс сходится.

c)  Процесс есть расходящийся и сходящийся, или стационарный.

Условие сходимости процесса функция -определяется на интервале [a;b] и непрерывна.

Существуют произведения на этом интервале и её значения .

Существует целый ряд методов(алгоритмов) формирования функции. Один из простейших, когда строится соотношение , тогда II условия сходимости может быть представлено в следующем виде .

Из соотношения следует однозначные требования к коэффициенту k. Знаем область определения [a;b] знаем функцию, известна её производная.

Геометрическая интерпретация метода.

Y

y = x

коридор

 

0 a b X

 

Угловая спираль Архимеда

 

 

X

 

получим квадрат

Линейная скорость сходимость(привязка уменьшается по линейному закону) не требуется расчёта производных.

Метод Ньютона (метод касательных)

Условия сходимости метода:

1)  Функция f(x)-ограничена непрерывна на интервале [a;b].

2)  Корень уравнения отделён(единственный корень) =>

3)  Существуют производная на интервале [a;b] и её знак постоянен sing на [a;b].

4)  -существует, на [a;b] знак 2ой производной постоянен.

3 и 4 условия дополнительные требования.

Геометрическая интерпретация метода.

 

y a) Выбираем начальное приближение.

б) Проводим касательную функцию в точке к функции f(x) до пересечения с осью OX.

f(x) в) Восстанавливаем перпендикуляр из точки перпендикуляр с осью OX до , получим новую точу и т. д.

0 a b x

Замечание:

Условие сходимости предъявлены к интервалу [a;b], поэтому необходимо оставаться в пределах данного интервала.

Можно так выбрать начальные приближения, что произойдёт выход из интервала [a;b].

Если мы зайдём за пределы интервале, то если выбираем в качестве приближения начальную точку a, то может произойти выход за пределы интервала.

Чтобы остаться в пределах интервалах предъявляются требования к начальным приближениям:

1)  Выбирается точка на концах интервала: либо a, либо b.

2)  Посмотреть знак

в итоге <0

в итоге >0

Самостоятельно построить полятрическую интерпретацию метода для различных соотношений: и .

Итерационные соотношения

 

y Из прямоугольного треугольника, образованного 1ой касательной

,

0 a b x

- итерационное соотношение.

Итерационное соотношение требует расчёта производной. Обычно производную определяют численные методы. Аналитически можно уменьшить затраты на одну итерацию, если воспользоваться квазиньютоновским методом, предполагающим вычисление производной и использование. Это значение производной используем несколько раз.

Геометрическая интерпретация Ньютоновского метода.

y Использовать более 3х раз одну касательную не целесообразно т. к. начинается существенно увеличиваться количество итераций.

0 a b x

Параллельные линии.

Завершение итерационного процесса: наиболее эффективной метод по изменению знака функции при добавлении к аргументу , где заданная степень точности.

Метод Ньютона один их основных методов решения линейных уравнений.

Преимущества:

1)  Высокая скорость сходимости(не вязно уменьшается пропорционально квадрату).

2)  Малое число итераций.

Недостатки:

1)  Высокая трудоёмкость расчёта одной итерации.

2)  Жёсткие условия сходимости.

Один из наиболее применяемых методов.

Метод Ньютона – Рафсона.

Данный метод является развитием метода Ньютона для решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Условия сходимости аналогично условиям сходимости, предъявляемым для одного уравнения. Отличия: 2ая производная рассматривается как по одной переменной так и по двум переменным.

Геометрическая интерпретация метода аналогична методу

Ньютона в n-переменном пространстве и с n функциями.

…….

Итерационные соотношения получаем, разложив функции в ряд Тейлора.

……………..

Перейдём к матричной форме задания, выделив отдельно матрицу производных, матрицу поправок аргументов и матрицу значений функций.

(1)

i,(i+1) – номер итерации

-запись номера итерации первой производной.

Последнее соотношение является приближённым, т. к. не учитывает результат разложения в ряд начиная со 2ой производной и выше.

Индекс i в обозначениях функции и аргумента указывает на номер итерации.

Если обозначить матрицы: , где - соответствующие матрици.

Рассчитать вектор аргументов на(ver) итерации можно на основе соотношения

W-матрица Якоби(Якобиан)

Решение системы линейных уравнений (1) или (1’) относительно требует обращения матрицы, что составит значительную трудность.

Возможно уменьшение трудоёмкости за счёт:

1)  Применения квазиньютоновского подхода.

2)  Упрощенные методы расчёта Якобиана на(i+1) итерации по известному Якобиану на i-ой итерации и (i-1) итерации.

Смотреть самостоятельно блок-схему методы в Калабенове.

Метод Бройдена

Самостоятельно - книга.

Характеристики, рассчитывается на постоянном токе

 

Uвых Пр. Полученную характеристику в Micro CAPе в De Analise. Это однократный или многовариантный анализ? Ответ- многовариантный анализ.

0

Список характеристик.

 

V(R1) I(R2) I(R1)*U(R1) - на входе

I(1;2)? - на выходе

V(1;2) I(1) - на элементе

3*3=9 9*9=81

Т. е. всего уже 81 характеристики

Коэффициент передачи по напряжению, по току, по мощности:

12*12=144 характеристики.

Какие характеристика можем посмотреть!!

И на постоянном токе, в частотной области(характеристики) сопротивление проводимости. (лекции по ОТУ)! Все характеристики.

Анализ во временной области

Как связать ток с напряжением на ёмкости(графики)!

Данный вид анализа является основным для большинства пакетов, построенных на основе моделей в пространстве состояний.

1)  Рассматриваем переходные процессы с учетом нелинейных свойств цепи.

2)  Периодические процессы во временной области за счёт подбора начальных условий.

3)  Частотные характеристики цепи с учётом её переменных свойств: благодаря переходу из временной области в частотную для интересующих нас зависимости.

4)  Расчёты режимов смещения по постоянному току и по напряжению, что является статическим анализом.

Т. к. данный режим является основным и наиболее полным то модель устойчива в этом режиме так же являются наиболее полной: остальные модели(модель для анализа в частотной области, модель на постоянном токе) получат из общей модели как частные случаи.

В зависимости от моделируемых устройств, при анализе во временной области в общем виде могут использоваться различные математические модели. Вид моделей определяется сложностью моделируемого устройства.

  I.  Нелинейные цепи с распределёнными параметрами.

Может быть описан дифференциальными уравнениями в частных производных и функциональными рядами.

Применяются численные методы решения ДУ в частных производных. Инструменты решения этой задачи: специальные пакеты программ (Mathlab).

Применение моделей в пространстве состояний для решения подобных задач дает результаты лишь в первом приближении и с большой погрешностью. Переход от распределённой цепи к цепи с сосредоточенными параметрами.

  II.  Нелинейные цепи с сосредоточенными параметрами и линейные цепи с распределёнными параметрами.

Линейная цепь может быть описана либо в частотной области(матричными моделями), либо описана во временной области(описывается рядами интегральных уравнений – интеграл Дюфмеля).

Нелинейная часть может быть описана во временной области моделями в пространстве состояний.

Специализированных пакетов для этого класса устройств нет.

Применение пакетов с моделями в пространстве состояний для моделирования этого класса устройств потребует перехода от моделей линейных цепей с распределёнными параметрами к модели линейной цепи сосредоточенными параметрами(Mathlab).

Пакет Mathlab и математика позволяют промоделировать данный класс устройств используется в том числе модели ДУ в частотных производных.

  III.  Линейные цепи с сосредоточением параметрами и нелинейная цепь с сосредоточенными параметрами.

Можем применять функциональные ряды. Модели в пространстве состояний данные модели реализованы в большинстве пакетов(Mathlab, EWB и т. д.). Область эффективного применения моделей в пространстве состояний:

1)  Линейные цепи с сосредоточенными параметрами.

2)  Нелинейные цепи с сосредоточенными параметрами.

3)  Низкоподобные цепи.

4)  Устройства, работающие на гармоническом сигнале или с эквидистантным спектром.

Область не эффективного применения:

1)  Цепи с распределёнными параметрами.

2)  Высокодобротные цепи(требуется расчёт переходного процесса на многих периодах входного сигнала). Это допустимо для однократного анализа, но вызывает значительную трудоёмкость при многократных анализах или оптимизации.

3)  Анализ на модулированном сигнале(дискретизация по времени – выбирается по периоду несущей).

Структура эквивалентной схемы и математической модели в пространстве состояний

Дала схема, содержащая R, L, C – элементы, источники напряжения и тока.

1)  Схема не содержит управляемых источников.

2)  Не является схемой с особенностями, контуров из ёмкостных элементов и сечений из индуктивных элементов и источников тока.

Преобразуем схему, вынеся за пределы:

1)  Независимые источники.

2)  Реактивные элементы.

3)  Выходные клеммы.

X(t)

 

UC IL

UC1(t) UC1(t)

I i1(t) Uвых(t)

Xни(t) Uвых(t)

U U1(t) iвых(t)

вектор независимых источников объединяет.

Вектор независимых источников напряжений и вектор независимых источников тока.

вектор состояний объединяет вектора на ёмкостных элементах и вектора тока и индуктивностях. может быть либо током, или напряжением.

Внутри R-цепи получится резистивный пассивный многополюсник. Для него справедлив принцип суперпозиций и можно установить соотношение между токами резистивных элементов, векторов независимых источников и вектором состояний.

Iрез(t) – вектор токов резистивных элементов.

B1,B2 – матричные коэффициенты, значения которых определяются.

1)  Топологией резистивной цепи.

2)  Полиномами или значениями сопротивлений.

Размерность B1 определяется:

1)  Число строк = числу резистивных элементов.

2)  Число столбцов = количеству реактивных элементов.

Размерность B2 определяется:

1)  Число строк = числу резистивных элементов.

2)  Число столбцов = числу источников.

Соотношение между токами и напряжениями на реактивных элементах и напряжениями (токами в узлах многополюсника)описываются с помощью уравнений состояния:

(2)

Где X(t) – напряжение на ёмкостях и токи в индуктивностях

;

;

Из полученных уравнений для емкостей и индуктивностей следует, что матричные коэффициенты и определяется.

1)  Структурой схемы.

2)  Полиномами R, L, C – элементов, их размерность определяется : квадратная матрица число строк, число столбцов равно числу реактивных элементов. -число строк равно количеству реактивных элементов, число столбцов равно числу источников.

Связь между векторами выходных параметров и напряжениями и токами в резистивном многополюснике отображается уравнением выхода (3)

Здесь и - матричные коэффициенты, значения элементов которых определяется:

1)  Топологией схемы.

2)  Значениями сопротивлений.

(4)

Замечание: элементы матричных коэффициентов являются действительными числами. Пример их формирования можно посмотреть в Калабенове.

При решении задач анализа известны:

1)  Значения матричных коэффициентов

2)  Вектор независимых источников Xнч(t).

3)  Начальные условия: напряжение на ёмкостях и токи в индуктивностях в момент t=0.

Определить:

1)  .

2)  Iрез – вектор токов резистивных элементов.

3)  Iвых(t).

Последовательность решения систем уравнения определяется соотношением числа уравнений и количество неизвестных.

1 система уравнений число уравнений = числу резистивных элементов. Количество неизвестных = числу резистивных элементов в + число реактивных элементов.

Число неизвестных > количество уравнений => систему однозначно решить нельзя.

Уравнение системы: число уравнений = количеству выходных напряжений и токов. Количество уравнений – размерность выходного вектора Xвых+X – размерность.

3-е уравнение однозначно решить не можем.

2-е уравнение (2 система уравнений).

Количество уравнений = количеству неизвестных и определяется числом реактивных элементов. Данное уравнение решается численными методами на основе рекуррентных соотношений.

Структура эквивалентной схемы и математической модели в цепи с нелинейными реактивными элементами

Преобразуется исходную схему, содержащую R, C, L, C(), L(), U(t), i(t) к виду, аналогичному преобразованной цепи с линейными элементами.

X(t)

UC(t) UC(t) UC(t) UC(t)

Рис. 2.

Формально математическая эквивалентная схема рис.2 описывается системой уравнений вида: 1, 2, 3.

При этом размерность вектора X(t) определяется числом реактивных элементов линейных + нелинейных.

Отличие модели в матричные коэффициенты - становятся зависимым от времени.

, (i=1,2), где

- для нелинейных ёмкостей.

- для нелинейных индуктивностей.

Мгновенные значения напряжения на нелинейной области и тока через нелинейную индуктивность.

 

Пр. C- барьерная ёмкость.

Ai – функция от CL – функция от времени.

- функция от времени;

В каждый момент времени имеет своё значениё.

Зависимость матричных коэффициентов накладывает ограничение на процедуру решения системы уравнения (2)

Известно:

1)  X незав. источника в (t).

2) 

3) 

Найти:

1) 

2) 

Один из алгоритмов решения:

Допуская, что изменение матричных коэффициентов на шаге интегрирования ДУ.

Обозначим через незначительно.

(i=1,2)

В связи с этим при расчете по регулярным соотношениям берём значение Ai предыдущего шага. После расчёта на очередном шаге производим пересчет . Анализ схемы в данном случае является более трудоемким, чем для схемы(рис.1).

Структура эквивалентной схемы и математической модели цепи с нелинейными резистивными элементами

Любую схему, содержащую R, L, C нелинейные элементы можно свести к схеме с нелинейными без инерционными элементами. Подобное преобразование эффективно сказывается на алгоритмах анализа устройств.

«Методы расчета цепей с нелинейными резистивными элементами.»

Дана схема содержащая R, L, C – элементы.

R, R(), L, C, U(), i().

Преобразуем данную схему, оставив линейный многополюстник.

 

UC(t) …… iL(t)

 

……

 

В эквивалентной схеме изменилась размерность резистивного многополюстника, добавились выходы, к которым подключены нелинейные элементы. Напряжения и токи на входе нелинейных элементов обозначим через:

Тогда структура математической модели имеет вид:

(1’)

(2’)

При решении задачи анализа в системе уравнений число уравнений равно числу реактивных элементов; число неизвестных равно число реактивных элементов + число нелинейных резистивных элементов. Следовательно, необходимо увеличить количество уравнений для разрешимости системы.

Введём уравнение нелинейных резистивных:

, где

- матричные коэффиценты определяются:

топологией схемы

значениями линейных резистивных сопротивлений

Совместное решение системы и позволяет определить неизвестные и

Система уравнений 1-3 предполагают запись в явном виде относительных по произведённых по направлению или току на реактивных элементов. Это является признаком модели в пространстве состояний.

Если производственная в явном виде не выражена, а входит в качестве аргумента в состав некоторых функций, то модель содержит производственные, но не является модельно в пространстве состояний.