Решение ДУ осуществляемые численными методами ориентировано на явное выражение производных(на модели в пространстве состояний).
Пример.
Эквивалентная схема
Если описывать эту модель относительно тока диода 
и например диода 
, то выражение для производных будут определены не явно.
Целесообразно описывать в базисе напряжение на p-n-переходе и ток на p-n-переходе, а напрямую диода и ток диода ввести, как дополнительные компоненты.
Численные методы систем решения обыкновенных ДУ
Для производных схем, содержащих как линейные, так и нелинейные реактивные и резистивные элементы, аналитических методов решения ДУ не существует.
Дано: ДУ 
, 
Р-ция 
- известна.
Решаем численным методом, разбивая временной интервал на подинтервалы 
Шаг 
, 
Существует 2 подхода для определения шага дискретизации.
1) 
Процессы во время интервала 
изменяются с одинаковой скоростью.
2) 
- функция от времени.
Используется для моделирования процессов, которые можно разбить на области быстрых изменений и области медленных измерений.
- выбирается по величине приращения функции
У нас есть приращение функции
наличие спектральной составляющей.
Шаг на фронте и среде определяется спектральными составляющими спектральными частотами, максимальный шаг на вершине и впадине определяется низкими частотами спектральной составляющей.
Обычно выбор шага(постоянного, переменного) осуществляется в пакетах автоматики, как правило возможен переход от постоянного шага к переменному. Признакам отсутствия обоих алгоритмов является резкое увеличение времени анализа при моделировании процессов с быстрыми и медленными составляющими.
Решение ДУ осуществляется на основе численного интегрирования уравнения вида:
- искомая функция
Существует большое количество, численных методов, позволяющих определить .
- шаг
1 метод
Явный метод Эйлера(метод прямоугольника): заменяем интеграл произведениями 
и значение функции в момент 
, т. е.
Интеграл S заменяем прямоугольником
Погрешность метода
2 метод (метод трапеций)
3 метод (неявный метод Эйлера)
Отличие явного метода численного интегрирования от неявного метода заключается в том, что при явном методе неизвестная величина явно вынесена в левую часть.
Обобщение двух точечных методов будет соотношение:
Из к-ого рассмотрение 3 метода получается при 
, 
, 
.
Переход от одношагового метода к многошаговым повышает точность решения уравнений. Для m шагового алгоритма можем записать:
явный метод
явный метод
Погрешность решения ДУ при равномерном шаге зависит от следующих факторов:
1) от величины шага: 
, чем больше шаг, тем больше будет погрешность
2) от порядка метода: чем выше порядок метода, тем меньше погрешность, 
, где к – порядок метода, B – зависимость от 
, 
Наличие особой точки 
обусловлено процессами потери устойчивости
Неявные методы в отличие от явных обладает устойчивостью алгоритма: при увеличении шага погрешность растёт, но потери устойчивости не происходит. В этом преимущество явных методов, а недостаток, более сложная процедура расчета 
(у Калабекова Т) определяется на основе решения характеристических уравнений, описывающих схему(см. Калабеков)
Физически соответствует временному шагу, выбранному с учётом:
1) периода входных сигналов
2) периода выходных сигналов
Когда выбираем по характерическому уравнению, что вы оцените?
Анализ влияния параметров элементов на работоспособность устройства
Классификация методов статического анализа
Все методы статического анализа могут быть разбиты на две группы по признаку линейной зависимости выходной характеристики от внутренних параметров(значения сопротивлений, ёмкостей, индуктивностей, ТКН, коэффицентов старения и т. д.)
В качестве выходных характеристик могут выступать: токи, энергия, мощность и т. д.
Если выходная характеристика сопротивления Z:
зависимость от С нелинейная
1) линейность выходной характеристики обеспечивается:
а) реальная зависимость строго математически линейная
б) в первом приближении линейную зависимость заменим на линейную зависимость в окрестности рабочей точки 
Данная модель является приближённой и обладает погрешностью и справедлива для малых отклонений внутренних параметров номинальных значений.
- отклонение реальных значений внутреннего параметра оптимальной величины.
2) когда зависимость выходной характеристики от внутренних параметров является зависимость общего вида(может быть линейной и нелинейной), однако область эффективного применения, когда зависимость нелинейна.
Метод малых отклонений
Является математическим обоснованием для группы статических методов, принадлежащих к классу 1) - б) (см. выше)
К этим методам относится:
1) метод моментов
2) метод расчёта на наихудший случай в методе на основе метода малых отклонений(см. Калабеков).
Замечание.
Не путать с расчётом на наихудший случай в методе Монте-Карло. В основу метода малых отклонений положено соотношение: Y=FX
Y – вектор выходных функций: 
Вектор 
n – количество выходных характеристик
F – оператор, в общем случае нелинейностей
m – количество внутренних параметров
: n – может быть меньше, больше или равно m (
и 
).
В частном случае исходное соотношение может быть представлено в виде:
Разложим выходную характеристику в ряд Тейлора относительно номинальных значений параметров.
Получим:
В соотношении не учтены все производные, начиная со 2 порядка и выше.
Если схему отнести к классу 1)б) , то 
Для 1)б) 
Данное соотношение устанавливает линейную функциональную зависимость между отклонениями внутренних параметров и отклонением выходными характеристиками.
Частный случай, когда отклонение одной характеристики вызывает отклонение одного параметра.
, где 
Данное соотношение остаётся справедливым при любых отклонениях внутреннего параметра 
меньших по величине, чем величина, полученная при разложении в ряд Тейлора
Метод расчёта на наихудший случай
Учебник Ильин стр. 273-275
1) Условие применимости метода базируется на методе малых отклонений.
2) Постановка задач
Известно:
а) 
б) отклонение внутренних параметров
в) F
- вектор номинальных значений внутренних параметров
- номинальное значение j-го внутренних параметров
- вектор предельного отклонения внутренних параметров(допуск)
F – оператор, устанавливающий связь между векторами выходных функций и внутренними параметрами
Нам требуется определить вектор выходных параметров, соответствующих наихудшему случаю
- i-ый выходной параметр исключение благоприятных с точки зрения выполнения технического задания 
Алгоритм Расчёта
Допустим, что условие, работоспособности в техническом задании задано в виде:
1) 
Пример: уровень побочных гармоник или описание характеристики от заданного вида, тогда:
- максимальное значение i-го выходного параметра
- значение внутреннего параметра, соответствующему случаю и определённому по следующему соотношению:
2) 
Пример: уровень напряжения, уровень мощности
При рассмотренных соотношений должны выноситься условия:
1) 
; sign - знак
2) 
Оба эти условия выполняются на основе малых отклонений
Последовательность расчёта
1) рассчитываем знаки коффицента чувствительности для всех выходных параметров
2) находим значения внутренних параметров, соответствующих наихудшим случаям (
)
3) проводим однократный анализ схемы при соответствующих значениях внутренних параметров(
)
Если для ряда i-ых значений выходного параметра требуется иной набор , то расчёт повторяем
«+» :
1) простота
2) небольшое количество расчётов
3) не требует знание вид закона распределения внутренних параметров
«-» :
1) полученные оценки являются завышенными
2) базируется на методе малых отклонений
3) требует расчётов знаков коэффицентов чувствительности
1) На практике знаки коэффицентов чувствительности могут быть определены через режим Stepping
2) Линейная выходная характеристика от внутреннего параметра также могут быть определена в режиме Stepping
Метод моментов
Метод получил такое наименование, т. к. исходными данными для расчёта являются моменты I и II рода для внутренних параметров +…… результат расчёта, моменты I и II рода(мат. Ожидание и дисперсия) для выходной характеристики.
Назначение метода:
Для расчёта математического ожидания и дисперсии выходной характеристики.
Условие применимости метода можем взять и рассчитать:
1) базируется на методе малых отклонений, следовательно зависимость откорнений выходной характеристики от отклонения внутренних параметров должна быть линейной
2) вид закона распределения отклонения внутренних параметров: нормальный, Гауссовский и т. д.
Исходные данные для расчёта
1) Математическое ожидание – отклонение внутреннего параметра от номинального значения
n – количество параметра
2) Дисперсия внутреннего параметра
3) Корреляционная матрица связи внутренних параметров. Отклонение внутреннего параметра по диагонали равно единице:
4) коэффицент пропорциональности между отклонением внутренних параметров коэффицентов пропорциональности является коэффицентом чувствительности (коэффицентом влияния)
Коэффицент влияния может быть представлен как:
а) ненормированный коэффицент чувствительности, есть размерность:
б) не можем сказать об интервалах измерения(изменение по знаку и величине)
Используется нормированный коэффицент чувствительности.
- нормировка(избавились от размерности и применили к номинальному значению)
На практике коэффиценты влияния могут быть определены с помощью(на основе) схемы технического моделирования в режиме Stepping:
Задаём отклонение 
Смотрим изменения в семействе выходных характеристик и определений:
1) линейность зависимости выходные характеристики от внутреннего параметра.
Для нелинейной характеристики – проблема выбора
1) 
2) находим отношение 
Сравниваем 2 значения между собой
Если 
Замечание.
Если 
приближается к погрешности вычислений, то 
следует увеличить.
Расчётные соотношения.
Если существуют корреляционные связи между параметрами, то дисперсия выходной характеристики:
, где 
- корреляционная матрица
«+» :
1) имеем аналитические зависимости между исходными данными и результатами, что даёт возможность использовать данный метод как для решения прямой задачи 
и для решения обратной задачи 
2) повторяемость результата( при условии, что коэффицент чувствительности задан)
3) невысокая трудоёмкость расчета
«-» :
1) приближённый алгоритм(алгоритм, предполагающий вычисление с некоторой погрешностью)
2) преобразует дополнительной проверки условия применимости
На практике это проверяется в режиме Stepping, по каждому внутреннему параметру, для каждой выходной характеристике. Данная проверка по трудоёмкости на порядок сложнее самого метода.
3) необходимо знать величины коэффицентов чувствительности
После расчёта моментов выходной характеристики, зная вид закона распределения, можем рассчитать статические параметры
Самостоятельно: пример расчёта.
Метод статических описаний (метод Монте-Карло)
Назначение:
по известным статическим характеристикам внутренних параметров схемы(параметры: сопротивление резистора, ёмкость конденсатора, температурный коэффицент) статические характеристики(математическое ожидание или номинал, допуск, корреляция его, вид закона распределения) производим расчёт статических параметров выходной мощности.
Пример выходной характеристики: уровень сигнала на выходе; диапазон частот, частота среза
Статические параметры: гистограмма, математическое ожидание, дисперсия, вид закона распределения.
Условия применимости метода без ограничений на вид зависимости.
Замечание:
На практике(пакетах) вид закона распределения внутренних параметров обычно одинаков для совокупности параметров.
Ограничение:
Все виды функций распределения реализованных в пакетах
1. Вид закона распределения
2. Математическое ожидание(номинал
3. Допуск
4. Структура схемы, параметры элементов
Расчёт на основе метода Монте-Карло – многовариантный, количество испытаний(число расчётов в априорно до начала моделирования) и не апосториорно по повторяемости результатов с заданной степени точности.
N=200; M=1,873
повторяемость в двух знаках.
N=200; M=1,861
Если полученная точность устраивает, количество исключений увеличивать не требуется, если не устраивает, то следует увеличивать N и процедуру поврторять, обычно в пакетах ограничено на:
Алгоритм расчёта по методу Монте-Карло
Преимущества:
а) возможность расчёта сложных схем с большим количеством корреляционных связей и без ограничений на вид зависимости выходной характеристики от внутренних параметров
б) высокая статическая достоверность результатов при правильном выборе количества испытаний
Недостатки:
а) необходимо знать статические сведения о внутренних параметрах в большем объёме по сравнению с другими методами
б) значительные вычислительные затраты порядка 5-10% требуют N порядка испытаний
Данный метод может быть реализован лишь на основе вычислительной техники. При статических испытаниях обычно решаются две задачи:
1. Прямая – по заданным отклонениям внутренних параметров определяется отклонения выходных характеристик 
. Данная задача решается достоверно с помощью нескольких операций (для проверки результатов).
2. Обратная – представляет практический интерес. В общем случае для большого количества элементов порядка 1000, данная задача решений не имеет( трудоёмкая)
Для ряда частных случаев, разработаны алгоритмы решения:
Пример: количество внутренних параметров, имеющих разброс менее 10:
а) для элементов задаём максимальный допуск 
б) рассчитываем 
, соответствует 
- определяем достоверность результата
- сравниваем 
Если отклонение выходной характеристики не соответствует ТЗ(
), то
3. Определяем вляние внутренних параметров на выходную характеристику
Переходим в режим Stepping:
- i-ый внутренний параметр
- номинальное значение
- допуск
Определяем 
и 
; 
k – число интервалов <100
В результате многовариантного анализа получаем семейство выходных характеристик по истинным определяем отклонение 
:
Итак, для каждого внутреннего параметра сопоставляя значения определяем внутренние параметры влияния которых на обходную характеристику наиболее. У этих параметров уменьшаем величину допуска и переходим к шагу 2. Процедуру завершаем, когда будет удовлетворять требованиям ТЗ.
3 Моделирование цифровых схем
Ильин «Эл. Вид»
Модели сигналов и элементов
Моделирование цифровых схем базируется на Булевой алгебре, предполагающей растижения на выходе одного из двух сигналов. Логическая единица – истина, логический ноль – ложь.
Существует положительная потенциальная логика, в основном применяемая:
0, ноль – низкий уровень
1, единица – высокий
Существует отрицательная потенциальная логика: 1- низкий потенциал; 0 – высокий
Логический элемент – компонент цифрового устройства выполняемых одну или несколько простейших логических операций:
Запоминающий элемент – компонента цифрового устройства, оьладающая способностью сохранять своё состояние при отсутствии сигнала на входе – триггер.
Различают 2 типа цифровых устройств:
1. Комбинационный – однотактные
Цифровые устройства, в которых значения выходных символов определяются заданной в данный момент времени сочетаний входных воздействий, в комбинационных отсутствует память, чисто логические элементы.
2. Последовательные – многотактные – конечные автоматические устройства, в которых выходные сигналы зависят от входных воздействий в заданный момент времени t, но и от их предыдущих значений.
Модели сигналов могут быть классифицированы по количеству кодов:
а) двоичное или двухзначное моделирование 1,0
б) трёхзначное моделирование 1,0,Z
Z – неопределённое состояние, включающее в себя переход из 0в1, 1в 0 и др.
в) пятизначное моделирование 1,0, Z, h, 
h – переход 0 в 1; - переход 1 в 0; Z – неопределённое состояние.
Замечание: Z в трёхзначном моделировании включает в себя Z шестизначное моделирование, h, Встречаются семи-девяти и более значные представления сигналов, где в качестве состояния выделяются:
- динамический риск сбоя
- статический риск сбоя
- критические состояния
Функции сигналов.
Среди всех рассматриваемых моделей сигналов наиболее часто в задаче моделирования используется 2-3х значений логики.
Модели элементов.
Существует 3 вида базовых логических элементов, реализующих Булевую операцию:
1) логическое И; 2) логическое ИЛИ; 3) инверсия отрицание
Остальные элементы строятся на основе данных элементов.
Логическое Сложение: операция ИЛИ, иначе дизъюнкция, обозначается – V
Результат сложения истина(1) – или первый или второй элемент или оба элемента равны 1. Выходные значения сигнала определяются на основе таблицы истинности, устанавливающее соотношение между входными значениями и выходными.
Для случая 2-х, 3-х и 5-значных логики.
Принципы заполнения таблицы: единица доминирует над нулём(сигнал доминирует над нулём).
Z – неопределённое состояние.
Таблица истинности примет следующий вид
вход1
x1 x2 | 0 | 1 | z | h | L |
0 | 0 | 1 | z | h | Ll |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
z | z | 1 | z | z | Z |
h | h | 1 | z | h | Z |
L | L | 1 | z | z | L |
вход2
2. Логическое умножение (конъюнкция) ^
x1 &
x2 y 
Логическое И: сигнал на выходе 1, если и на первом выходе 1 и на втором выходе 1.
Таблица истинности:
x1 x2 | 0 | 1 | z | h | L |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | z | h | L |
z | 0 | z | z | z | z |
h | 0 | h | z | h | z |
L | 0 | L | z | z | L |
для случая 3, 2 и 5 означает логический:
а) ноль доминирует над у сигналом
б) неограниченное состояние доминирует под 1
3. Инверсия (логическое отрицание)
|
x y 
Таблица истинности:
х | 0 | 1 | z | h | L |
y | 1 | 0 | z | L | h |
Методы логического моделирования
Существует несколько отличающихся методов:
1)решаемыми задачами;
2)исходными данными;
3)трудоёмкостью моделирования.
Методы классифицируются:
1) по признаку учёта задержек элементов в схеме, если задержки не учитываются, то метод синхронный, если учитывается, то асинхронный;
2) по виду модели сигнала (2-х значное моделирование, 3-х, 5-ти значное моделирование);
3) по последовательности решаемых логических уравнений.
1. Метод сквозной (проход последовательностью с входа на выход, не пропуская ни одного уравнения);
2. Событийное моделирование (решаются лишь те уравнения, для которых изменялись значения аргументов, если входные сигналы не изменены – уравнения не решаются).
Первый метод моделирования:
Синхронное логическое моделирование является:
- синхронным;
- двухзначным;
- сквозным.
Оно не учитывает:
- задержки;
- неопределённые состояния;
- состояние перехода из 0 в 1.
Решаемые задачи: проверка правильности логического функционирования схемы без учёта задержки. Если правильно, то провести моделирование с учётом задержки
, 
i – количество логических элементов;
- период синхроимпульса.
2 фрагмент: если отрицательный ответ, то нужно исправить схему, синхронное моделирование имеет два варианта реализации:
1 вариант: в схеме отсутствует обратная связь;
2 вариант: с наличием обратной связи.
Пример: провести моделирование в схеме.
1 шаг: производим ранжирование сигналов в схеме для обеспечения причинно-следственных связей, при решении логических уравнений. Это нужно, чтобы определить последовательность решения логических уравнений.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
