Примерные задачи для подготовки к экзамену по математическому анализу 2 курс 3 семестр

Примерные задачи для подготовки к экзамену по математическому анализу 2 курс 3 семестр

1.1.Найти области определения функций:

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10) ;
5) ;	11) ;
6) ;	12) .

1.2. Построить графики функций:

1) ;	9) ;
2) ;	10) ;
3) ;	11) ;
4) ;	12) ;
5) ;	13) ;
6) ;	14) ;
7) ;	15) .
8) ;

1.3. Найти функции обратные к данным, построить графики исходной и обратной функций:

1) ;	6) ;
2) ;	7) ;
3) , ;	8) ;
4) , ;	9) ;
5) , ;	10) .

Ответы

1.1.	1) ; 2) ; 3) R; 4) ; 5) ; 6) ;	7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .
1.3.	1) , R; 2) , R; 3) , ; 4) , ; 5) , ;	6) , ; 7) , ; 8) ; 9) , ; 10) , R.

2.1.Найти пределы последовательностей:

1) ;	10) ;
2) ;	11) ;
3) ;	12) ;
4) ;	13) ;
5) ;	14) ;
6) ;	15) ;
7)	16) ;
8) ;	17) ;
9) ;	18) .

2.2. Найти пределы функций:

1) ;	8) ;
2) ;	9) ;
3) ;	10) ;
4) ;	11) ;
5) ;	12) ;
6) ;	13) ;
7) ;

Ответы

2.1.

1) 0; 2) ; 3) 0; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) 0; 10) ; 11) 0; 12)  ; 13) ;

14) ; 15) ; 16) 0; 17) 0; 18) .

2.2.

1) 2; 2) 3; 3) ; 4) 2;

5)  0; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 0;

10)  ; 11) ; 12) ; 13) .

3.1.Найти производные функций:

1) ;	17) ;
2) ;	18) ;
3) ;	19) ;
4) ;	20) ;
5) ;	21) ;
6) ;	22) ;
7) ;	23) ;
8) ;	24) ;
9) ;	25) ;
10) ;	26) ;
11) ;	27) ;
12) ;	28) ;
13) ;	29) ;
14) ;	30) ;
15) ;	31) ;
16) ;	32) .

3.2.Определить угол наклона касательной к графику функции:

1) при ;	3) при ;
2) при ;	4) при .

3.3.Найти промежутки возрастания и убывания функций и их экстремумы:

1) ;	8) ;
2) ;	9) ;
3) ;	10) ;
4) ;	11) ;
5) ;	12) ;
6) ;	13) ;
7) ;	14) ;

Ответы

3.1.	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ;	16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) ; 31) ; 32) .
3.2.	1) ; 2) ; 3) , 4) .
3.3.	1) При функция убывает, при – возрастает; ; 2) функция возрастает при и ; убывает при x Î (–2, 2) ; xmax = –2, ymax = 20; xmin = 2, ymin = –12; 3) функция убывает при всех x; 4) функция возрастает при всех x; 5) функция убывает при , возрастает при ; ; 6) функция убывает при , возрастает при ; ; 7) функция убывает при всех x;
	8) функция возрастает при , убывает при ; ; 9) функция возрастает при и , убывает при и ; , . 10) функция убывает при и , возрастает при ; , ;
	11) функция возрастает при x Î (–¥,0), убывает при ;;
	12) функция возрастает при , убывает при ; .
	13) функция убывает при x Î (–¥, 2) и при x Î (3, +¥), возрастает при x Î (2, 3); xmin = 2, ymin = e–2 , xmax = 3, ymax = 3e–3;
	14) функция убывает при , возрастает при ; .

4.1.Найти интегралы:

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10) ;
5) ;	11) ;
6) ;	12) ;

4.2. Найти интегралы:

1) ;	10) ;
2) ;	11) ;
3) ;	12) ;
4) ;	13) ;
5) ;	14) ;
6) ;	15) ;
7)	16)
8)	17)
9)	18)

Ответы

4.1.	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;	6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) .
4.2.	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ;	9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) .

5.1. Вычислить определенные интегралы:

1)	11) ;
2) ;	12) ;
3) ;	13) ;
4) ;	14) ;
5) ;	15) ;
6) ;	16) ;
7) ;	17) ;
8) ;	18) ;
9) ;	19) ;
10) ;	20) .

5.2. Найти площади фигур, ограниченных линиями:

1) , , , ;	4) , ;
2) , ,, ;	5) , , , ;
3) y = x2, y = 2 – x2;

Ответы

5.1.	1) 4; 2) 0; 3) 30; 4) ; 5) ; 8)  0 9) ;	8) 0; 9) ; 10) 1; 11) ; 12) 2(); 13) ; 14)  ; 15)  ;	16) ; 17) ; 18) ; 19) 0; 20) .
5.2.	1)  12; 2)  ; 3) ;	4) ; 5) .

6.1.Найти частные производные первого и второго порядков функций:

1) ;	8) ;
2) ;	9) ;
3) ;	10) ;
4) ;	11) ;
5) ;	12) ;
6) ;	13) ;
7) ;	14) .

6.2. Найти точки локального экстремума функций:

1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) ;
11) ;
12) .

Ответы

6.1.

1) , , , , ; 2) , , , , ; 3) , , , , ; 4) , ; , , ; 5) , ; , , ; 6) , ; , , ; 7) , ; ; ; ; 8) , ; ; ; ; 9) , ; ; ; ;
10) , , , , ; 11) , , , , ; 12) , ; 13) , , , ; 14) , , , , .
6.2.
1)  – точка минимума; 2)  – точка минимума; 3)  – точка максимума; 4) функция не имеет точек экстремума; 5) функция не имеет точек экстремума; 6)  – точка минимума; 7)  – точка минимума; 8)  – точка максимума; 9) функция не имеет точек экстремума; 10)   – точка минимума;  – точка максимума; 11)  – точка минимума; 12) – точка максимума.

7.1 Решить уравнения:

1) ;	10) ;	19) ;
2) ;	11)	20) ;
3) ;	12) ;	21) ;
4) ;	13) ;	22) ;
5) ;	14) ;	23) ;
6) ;	15) ;	24) ;
7) ;	16)	25)
8) ;	17) ;	26) .
9) ;	18) ;

7.2. Решить задачи Коши:

1) , ;	11) , ;
2) , ;	12) , y(–1) = 0,5;
3) , ;	13) , ;
4) , ;	14) , ;
5) , ;	15) , ,
6) , ;	16) , ;
7) , ;	17) , ;
8) , ;	18) , ;
9) , ;	19) , ;
10) , ;	20) , .

Ответы

7.1.	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13)  ; 14)  ; 15) ;	16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) Общее решение находится из уравнения ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) .
7.2.	1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10)  ; 11) ;	12) ; 13) ; 14) ; 15) и ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) .

Раздел 8. Числовые ряды.

№1. Записать последовательность частичных сумм ряда, определить сходимость ряда, найти его сумму

a)  ;

b)  + … ;

c) ; d) ;

e) .

№2. Пользуясь достаточным признаком расходимости, доказать расходимость

ряда.

a) ; b) ;

с) ; d) .

№ 3. Пользуясь признаком сравнения исследовать на сходимость следующие ряды:

a) ; b) ; c) .

№ 4. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость следующие ряды:

a) ; b) ;

c) ;

d)

№ 5. С помощью интегрального признака исследовать сходимость рядов:

a) ;

b) ;

c) ; d) .

№ 6. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость следующие знакочередующиеся ряды:

a) ; b) ;

c) ; d) .

№ 7. Исследовать на абсолютную сходимость следующие знакопеременные ряды:

a) ;

b) ;

c) ;

d)