Решения задач
Школьного этапа олимпиады по математике
2013/2014 учебного года
1. Как расставить числа 
, какие-то из знаков арифметических операций ("+", "-", "×", "/") между ними и, при необходимости, скобки так, чтобы полученное число равнялось 2014?
Решение.
.
2. Найдите все функции f(x), для которых выполнено:
f(2x+1)=4x2+14x+7.
Решение. Имеем: f(2x+1)=4x2+14x+7=(2х+1)2+5(2х+1)+1, откуда
f(x)=х2+5х+1.
Ответ: f(x)=х2+5х+1.
3. Известно, что 
. Найдите значение выражения 
.
Решение. Складывая дроби в левой части уравнения , получаем 
, откуда 
и 
.
Ответ: 
.
4. Укажите треугольник, который можно разделить на три равных треугольника.
Решение. Искомый треугольник – прямоугольный с углами 30°, 60°, 90°. Рассмотрим вначале правильный треугольник, в котором проведены высоты. Высоты делят правильный треугольник на 6 равных треугольников. Поэтому треугольник с углами 30°, 60°, 90°, являющийся половиной правильного треугольника, оказывается разбитым на 3 равных треугольника.
Ответ: прямоугольный треугольник с углами 30°, 60°, 90°.
5. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду), либо лжец (который всегда лжет). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Решение. Предположим, что описанная ситуация возможна, тогда, каждая из фраз произнесена по 1234:2=617 раз. При любом разбиении жителей на пары существует только три возможных вида пар:
1) два рыцаря;
2) два лжеца;
3) рыцарь и лжец.
В парах первого и второго вида каждый произнес: "Он — рыцарь!", а в парах третьего вида каждый произнес: "Он — лжец!". Таким образом, каждая из фраз в любом случае произнесена четное количество раз, что противоречит тому, что их должно быть по 617.
Ответ: не могло.
