РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Учебно-методический комплекс.

Рабочая программа для студентов очной формы обучения

направления 011000.62 «Механика. Прикладная математика».

Тюменский государственный университет

2013

Горечин исчисление и методы оптимизации. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы обучения направления 011000.62 «Механика. Прикладная математика», Тюмень, 2013, 13 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО.

Учебно-методический комплекс, рабочая программа «Вариационное исчисление и методы оптимизации» включает в себя цели и задачи курса, тематический план с указанием аудиторных часов, содержание программы курса по темам, контрольные вопросы к зачету и список литературы.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Вариационное исчисление и методы оптимизации» [электронный ресурс] http://www. umk. ***** / Режим доступа: свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , д. ф.-м. н., профессор, зав кафедрой алгебры и математической логики.

© Тюменский государственный университет, 2013.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

© , 2013.

1.  Пояснительная записка

1.1 Цели и задачи дисциплины.

Целями освоения дисциплины "Вариационное исчисление и методы оптимизации" являются:

- изучение классического вариационного исчисления, в объёме, достаточном для освоения вариационных методов, применяемых в математической физике, теории упругости;

- рассмотрение задач линейного и нелинейного программирования;

- рассмотрение задач оптимального управления.

При преподавании учебной дисциплины "Вариационное исчисление и методы оптимизации" ставятся следующие задачи:

- ознакомить студентов с фундаментальными понятиями и методами классического вариационного исчисления; методами решения оптимизационных задач; с теорией задач линейного и нелинейного программирования;

- развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую культуру;

- привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную литературу в области оптимизационных задач.

1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.

Дисциплина «Вариационное исчисление и методы оптимизации» входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части. Для ее успешного изучения необходимы знания математического анализа, алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, функционального анализа, пакетов символьной математики.

Освоение дисциплины является основанием для успешного решения прикладных оптимизационных задач; приобретенные знания также могут помочь в научно-исследовательской работе.

В результате освоения дисциплины студент должен:

1)  Знать: элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи линейного программирования и проблемы экономики; теорему двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений; численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.

2) Уметь: уметь обобщать и ставить задачи вариационного исчисления в случае зависимости функционала от многих функций, либо от функций и некоторого количества их производных, либо от функций многих переменных; ставить и решать задачи линейного программирования; применять градиентные и численные методы при решении задач вариационного исчисления и оптимального управления.

3) Владеть: математическим аппаратом вариационного исчисления и методами оптимизаций.

2.  Структура и трудоемкость дисциплины.

Семестр: шестой. Форма промежуточной аттестации: экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 100 часов.

Таблица 1.

Вид учебной работы

Всего ча­сов

Аудиторные занятия (всего)

68

В том числе:

-

Лекции

34

 

Практические занятия

34

Самостоятельная работа (всего)

32

 

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)

экзамен

 

Общая трудоемкость час

100

.

3.  Тематический план.

Таблица 2.

Тематический план

№

Тема

Не­дели се­ме­стра

Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.

Итого часов по теме

Коли­чество бал­лов

Лекции*

Семинар­ские (прак­тические) занятия*

Самостоя­тельная ра­бота*

1

2

3

4

5

6

7

8

Модуль 1

1.1.

Классические задачи, приводящие к минимизации функционалов

1

2

2

2

6

0-2

1.2.

Простейшая задача вариационного исчисления

2

2

2

2

6

0-6

1.3.

Обобщения простейшей вариационной задачи

3

2

2

4

8

0-12

1.4.

Достаточные условия экстремума функционала

4

2

2

2

6

0-8

1.5.

Задачи вариационного исчисления на условный экстремум

5-6

4

4

6

14

0-12

Всего

1-6

12

12

16

40

0-40

Модуль 2

2.1.

Основы линейного программирования

7-9

6

6

4

16

0-20

2.2.

Элементы выпуклого анализа

10-11

4

4

4

12

0-10

Всего

7-11

10

10

8

28

0-30

Модуль 3

3.1.

Основы выпуклого программирования

12-14

6

6

4

16

0-15

3.2.

Основы оптимального управления

15-17

6

6

4

16

0-15

Всего

12-17

12

12

8

32

0-30

Итого (часов, баллов):

1-17

34

34

32

100

0-100

Таблица 3.

Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.

№ темы

Устный опрос

Письменные работы

Итого количество баллов

коллоквиумы

собеседование

ответ на семинаре

контрольная работа

Модуль 1.

1.1.

0-2

0-2

1.2.

0-2

0-2

0-2

0-6

1.3.

0-2

0-2

0-8

0-12

1.4.

0-2

0-2

0-4

0-8

1.5.

0-2

0-2

0-2

0-6

0-12

Всего

0-6

0-4

0-10

0-20

0-40

Модуль 2.

2.1.

0-6

0-2

0-2

0-10

0-20

2.2.

0-2

0-2

0-6

0-10

Всего

0-8

0-2

0-4

0-16

0-30

Модуль 3.

3.1.

0-3

0-2

0-10

0-15

3.2.

0-3

0-2

0-10

0-15

Всего

0-6

-

0-4

0-20

0-30

Итого

0-20

0-6

0-18

0-56

0-100

Таблица 4.

Планирование самостоятельной работы студентов.

№

Модули и темы

Виды СРС

Не­деля семе­стра

Объем ча­сов

Кол-во бал­лов

обязатель­ные

дополни­тель­ные

Модуль 1

1.1.

Классические задачи, приводящие к минимизации функционалов.

1.  Проработка лек­ций;

2.  Чтение обяза­тельной и дополнитель­ной литературы;

3.  Знакомство с содер­жанием электронных источников;

4.  Самостоятельное изучение заданного ма­териала;

5.  Решение задач (типо­вых, исследова­тельских и др.);

6.  Самоконтроль и взаи­моконтроль выполнен­ных заданий.

Разра­ботка про­грамм для ре­шения типовых задач;

1

2

0-2

1.2.

Простейшая задача вариационного исчисления.

2

2

0-6

1.3.

Обобщения простейшей вариационной задачи

3

4

0-12

1.4.

Достаточные условия экстремума функционала

4

2

0-8

1.5.

Задачи вариационного исчисления на условный экстремум

5-6

6

0-12

Всего:

1-6

16

0-40

Модуль 2

2.1.

Основы линейного программирования

1.  Проработка лек­ций;

2.  Чтение обяза­тельной и дополнитель­ной литературы;

3.  Знакомство с содер­жанием электронных источников;

4.  Самостоятельное изучение заданного ма­териала;

5.  Решение задач (типо­вых, исследова­тельских и др.);

Самоконтроль и взаи­моконтроль выполнен­ных заданий.

Разра­ботка про­грамм для ре­шения типовых задач;

7-9

4

0-20

2.2.

Элементы выпуклого анализа

10-11

4

0-10

Всего:

7-11

8

0-30

Модуль 3

3.1.

Основы выпуклого программирования

1.  Проработка лек­ций;

2.  Чтение обяза­тельной и дополнитель­ной литературы;

3.  Знакомство с содер­жанием электронных источников;

4.  Самостоятельное изучение заданного ма­териала;

5.  Решение задач (типо­вых, исследова­тельских и др.);

6.  Самоконтроль и взаи­моконтроль выполнен­ных заданий.

Разра­ботка про­грамм для ре­шения типовых задач;

12-14

4

0-15

3.2.

Основы оптимального управления

15-17

4

0-15

Всего

8

0-30

ИТОГО:

32

0-100

4.  Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (после­дующими) дисциплинами

Таблица 5.

№ п/п

Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин

Темы дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2.1

2.2.

3.1

3.2.

1.

Дополнительные главы вариационного исчисления

+

+

+

+

+

2.

Преддипломная практика.

+

+

+

+

+

3

Дипломная работа.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

5.  Содержание дисциплины.

Модуль 1.

ТемаКлассические задачи, приводящие к минимизации функционалов.

Задача о нахождении кривой минимальной длины между двумя точками и задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую. Функционалы, соответствующие этим задачам. Функционал, позволяющий решать задачу о брахистохроне.

Тема 1.2. Простейшая задача вариационного исчисления.

Определение интегральных функционалов. Обобщения на многомерность, на учёт производных высших порядков. Понятие о приращении функционала. Непрерывность функционала. Определение вариации функционала, два подхода и их неравнозначность. Определение кривой, минимизирующей (максимизирующей) функционал. Теорема о необходимом признаке экстремума функционала, стационарные точки. Уравнение Эйлера и основная лемма вариационного исчисления.

Тема 1.3. Обобщения простейшей вариационной задачи.

Обобщение: функционалы, содержащие несколько функций одного переменного и соответствующие уравнения Эйлера. Обобщение: функционалы, содержащие одну функцию одного переменного, несколько её высших производных и соответствующие уравнения Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных, понятия вариации функции и вариации функционала.

Тема 1.4. Достаточные условия экстремума функционала.

Понятие о второй вариации функционала. Условия второго порядка Лагранжа и Якоби.

Тема 1.5. Задачи вариационного исчисления на условный экстремум.

Задачи вариационного исчисления с ограничениями. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей. Экстремумы функционалов при наличии неголономных связей. Необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче Лагранжа.

Модуль 2.

Тема 2.1. Основы линейного программирования.

Двойственность, признак оптимальности, методы решения задач линейного программирования (симплекс-метод). Теорема двойственности. Некоторые специальные задачи линейного программирования. Линейное программирование и матричные игры.

Тема 2.2. Элементы выпуклого анализа.

Выпуклые множества и функции. Теоремы об отделимости и представлении выпуклых множеств.

Модуль 3.

Тема 3.1. Основы выпуклого программирования

Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах. Теорема Куна – Таккера. Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

Тема 3.2. Основы оптимального управления.

Общая задача оптимального управления. Задача об оптимальном быстродействии. Принцип максимума Понтрягина

6. Планы семинарских занятий.

Модуль 1.

Тема 1.1. Классические задачи, приводящие к минимизации функционалов.

Задача о нахождении кривой минимальной длины между двумя точками и задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую. Функционалы, соответствующие этим задачам. Функционал, позволяющий решать задачу о брахистохроне.

Тема 1.2. Простейшая задача вариационного исчисления.

Определение интегральных функционалов. Обобщения на многомерность, на учёт производных высших порядков. Понятие о приращении функционала. Непрерывность функционала. Определение вариации функционала, два подхода и их неравнозначность. Определение кривой, минимизирующей (максимизирующей) функционал. Теорема о необходимом признаке экстремума функционала, стационарные точки. . Уравнение Эйлера и основная лемма вариационного исчисления.

Тема 1.3. Обобщения простейшей вариационной задачи.

Обобщение: функционалы, содержащие несколько функций одного переменного и соответствующие уравнения Эйлера. Обобщение: функционалы, содержащие одну функцию одного переменного, несколько её высших производных и соответствующие уравнения Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных, понятия вариации функции и вариации функционала.

Тема 1.4. Достаточные условия экстремума функционала.

Понятие о второй вариации функционала. Условия второго порядка Лагранжа и Якоби.

Тема 1.5. Задачи вариационного исчисления на условный экстремум.

Задачи вариационного исчисления с ограничениями. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей. Экстремумы функционалов при наличии неголономных связей. Необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче Лагранжа.

Модуль 2.

Тема 2.1. Основы линейного программирования.

Двойственность, признак оптимальности, методы решения задач линейного программирования (симплекс-метод). Теорема двойственности. Некоторые специальные задачи линейного программирования. Линейное программирование и матричные игры.

Тема 2.2. Элементы выпуклого анализа.

Выпуклые множества и функции. Теоремы об отделимости и представлении выпуклых множеств.

Модуль 3.

Тема 3.1. Основы выпуклого программирования

Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах. Теорема Куна – Таккера. Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

Тема 3.2. Основы оптимального управления.

Общая задача оптимального управления. Задача об оптимальном быстродействии. Принцип максимума Понтрягина.

7.  Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Не предусмотрены.

8.  Примерная тематика курсовых работ .

Не предусмотрена.

9.  Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценоч­ные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттеста­ции по итогам освоения дисциплины (модуля).

Текущая аттестация:

Контрольные работы. В семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).

Промежуточная аттестация:

Экзамен (письменно-устная форма).

Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.

Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.

Контрольные работы.

Контрольная работа № 1.

Тема: классическое вариационное исчисление.

Задача 1. Найти экстремаль функционала

,

удовлетворяющую граничным условиям , . И определить ее тип.

Задача 2. Среди всех гладких кривых соединяющих точки A(0;0) и В(2;-4), найту ту, по которой материальная точка, двигаясь под действием силы тяжести из точки А с нулевой начальной скоростью достигнет точки В за кратчайшее время.

Задача 3.

Найти кривую, на которой функционал

может достигать экстремума, если правый конец ее фиксирован в точке В(1;0), а левый лежит на прямой х=0.

Задача 4.

Найти кратчайшее расстояние между точками A(0;-1;1) и В(1;0;-1), лежащими на плоскости с уравнением x+y+z=0.

Контрольная работа № 2.

Тема: линейное программирование.

Задача 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования

Задача 2. Решить симплекс-методом задачу линейного программирования

Найти решение двойственной задачи.

Контрольная работа № 3.

Тема. Элементы выпуклого программирования и теории оптимального управления.

Задача 1. Решить задачу нелинейного программирования методом множителей Лагранжа:

Задача 2. Используя теорему Куна-Такера, решить задачу

Задача 3. Найти минимум функционала

при динамических ограничениях:

, ,

начальных условиях:

,

ограничениях на управление:

,

граничных условиях:

Вопросы к экзамену.

1.  Простейшие и некоторые классические задачи вариационного исчисления (Кривая минимальной длины между точками; поверхность минимальной площади, натянутая на замкнутую пространственную кривую; задача о брахистохроне)

2.  Интегральные функционалы. Приращение функционала и его непрерывность.

3.  Два определения вариации функционала и их неравнозначность.

4.  Понятие о стационарных точках. Теорема о необходимом признаке экстремума функционала.

5.  Постановка задачи о минимуме функционала , ограничения, граничные условия. Классы допустимых кривых, этапы минимизации функционала и окончательный вид вариации функционала.

6.  Уравнение Эйлера для и основная лемма, необходимая для его получения (основная лемма вариационного исчисления)

7.  Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих несколько функций одного переменного

8.  Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих функцию одного переменного и несколько её производных.

9.  Функционалы для функций многих переменных, обобщение понятия вариации.

10.  Вывод уравнения Эйлера в случае функционала, зависящего от функции двух переменных.

11.  Примеры: задача Дирихле для уравнения Лапласа и задача Дирихле для уравнения Пуассона, соответствующие функционалы.

12.  Функционалы зависят от функций трёх переменных, или содержат производные более первого порядка.

13.  Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей.

14.  Основы линейного программирования. Характерные постановки задач, математические и экономические трактовки.

15.  Понятие двойственности в линейном программировании и признак оптимальности решения.

16.  Первая и вторая геометрические интерпретации задач линейного программирования. Теоремы о угловых точках

17.  Теоретические основы симплекс метода и его вариантов

18.  Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества и функции.

19.  Теоремы о представлении выпуклых множеств и их отделимости.

20.  Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах.

21.  Теорема Куна – Таккера.

22.  Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

23.  Общая задача оптимального управления. Задача об оптимальном быстродействии.

24.  Принцип максимума Понтрягина и классическое вариационное исчисление.

10.  Образовательные технологии.

Аудиторные занятия:

лекционные и практические занятия; на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.

активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме, компьютерное моделирование и практический анализ результатов, научные дискуссии, работа студенческих исследовательских групп, вузовские)

Внеаудиторные занятия:

самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным занятиям, подготовка к коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий: решение задач, выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации);

индивидуальные консультации.

11.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

11.1.  Основная литература:

1. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления [Электронный ресурс] / В. К. Романко. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 20с. - Режим доступа:http://*****/index. php? page=book&id=214149 (дата обращения 14.01.2014).

2. Романко задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. Электронный ресурс [Электронный ресурс] / В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 20с. Режим доступа:http://*****/index. php? page=book&id=95014 (дата обращения 14.01.2014).

11.2. Дополнительная литература:

1. Андреева исчисление и методы оптимизации. / , . - М: Высшая школа, 20с.

2. Пантелеев оптимизации в примерах и задачах./ , . - М: Высшая школа, 2008. – 544 с.

12.  Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Для проведения практических и лекционных занятий необходимы аудитории с мультимедиа-обеспечением, оснащенные пакетами символьной математики Maple и Matlab.

Дополнения и изменения к рабочей программе на 201 / 201 учебный год

В рабочую программу вносятся следующие изменения:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ____________________ « »_______________201 г.

Заведующий кафедрой ___________________/___________________/

О.