РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ //
__________ _____________ 2011 г.
Ряды и интегралы Фурье
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 «Математика»
профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор работы____________________________/./
« ___»__________ 2011г.
Рассмотрено на заседании кафедры математического анализа и теории функций ___.___.2011г. протокол №___. Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 15 стр.
И. О. зав. кафедрой ______________________________/./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК Института математики, естественных наук и информационных технологий ___.___.2011, протокол №___
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________//
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________//
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического анализа и теории функций
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010100.62 «Математика», профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ»,
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Шалагинов и интегралы Фурье. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов 010100.62 «Математика», профиль подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», очная форма обучения. Тюмень, 2011, 15 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Ряды и интегралы Фурье [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. *****., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , заведующий кафедрой математического анализа и теории функций, к. ф.-м. н., доцент.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© , 2011.
1. Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целями освоения дисциплины «Ряды и интегралы Фурье» являются:
1) специальная подготовка в области теории рядов и интегралов Фурье;
2) овладение аналитическими методами теории рядов и интегралов Фурье;
3) овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в научных исследованиях и приложениях.
Задачами освоения дисциплины «Ряды и интегралы Фурье» являются:
1) обеспечение усвоения студентами данной дисциплины;
2) создание базы для изучения завершающих разделов курса и специальных дисциплин;
3) формирование способностей будущих специалистов-математиков к ведению исследовательской работы и решению практических задач.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Для успешного усвоения дисциплины «Ряды и интегралы Фурье» студент обязан свободно владеть методами математического анализа, линейной алгебры, теорией функций комплексного переменного, функционального анализа.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями (ОК):
должен демонстрировать:
исследовательские навыки (ОК 6);
способность адаптироваться к новым ситуациям (ОК 8);
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе; соблюдение основных требований информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны (ОК 11);
владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ОК 12);
базовые знания в различных областях (ОК 13);
Выпускник должен обладать следующими профессиональными компетенциями (ПК):
должен демонстрировать:
умение понять поставленную задачу (ПК 2);
умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7);
умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8);
понимание корректности постановок задач (ПК 10);
умение извлекать полезную научно-техническую информацию из электронных библиотек, реферативных журналов, сети Интернет (ПК 17);
знание методов проектирования и производства программного продукта, принципы построения, структуры и приемы работы с инструментальными средствами, поддерживающими создание программного обеспечения ПО (ПК 28);
знание методов организации работы в коллективах разработчиков ПО, направления развития методов и программных средств коллективной разработки ПО (ПК 29)
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основные понятия, определения и свойства объектов теории рядов и интегралов Фурье, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений в других областях математического знания.
Уметь: оперировать с рядами и интегралами Фурье во всех формах; выполнять преобразования Фурье
Владеть: теоретическими и практическими навыками применения методов теории рядов и интегралов Фурье в научно-исследовательской и прикладной деятельности.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 5. Форма промежуточной аттестации зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц 108 часов.
3. Тематический план.
Таблица 1
Тематический план
№ | Тема | недели семестра | Самостоятельная работа* | Итого часов по теме | Из них в интерактивной форме | Итого количество баллов | ||
Лекции* | Семинарские (практические) занятия* | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Модуль 1 | ||||||||
1. | Ортонормированные системы в евклидовом пространстве | 1 | 3 | 3 | 3 | 9 | 0-6 | |
2. | Общие ряды Фурье в евклидовом пространстве | 2-3 | 3 | 3 | 3 | 9 | 1 | 0-9 |
3. | Сходимость рядов Фурье по тригонометрической системе | 4-5 | 4 | 4 | 4 | 12 | 0-6 | |
4. | Кратные тригонометрические ряды Фурье | 6 | 2 | 2 | 2 | 6 | 1 | 0-9 |
Всего | 12 | 12 | 12 | 36 | 2 | 0-30 | ||
Модуль 2 | ||||||||
1. | Интеграл Фурье | 7-9 | 6 | 6 | 6 | 18 | 1 | 0-15 |
2. | Сходимость интеграла Фурье | 10-12 | 6 | 6 | 6 | 18 | 1 | 0-15 |
Всего | 12 | 12 | 12 | 36 | 2 | 0-30 | ||
Модуль 3 | ||||||||
1. | Преобразование Фурье: свойства и приложения | 13-16 | 8 | 8 | 8 | 24 | 0-20 | |
2. | Линейное пространство | 17-18 | 4 | 4 | 4 | 12 | 1 | 0-20 |
Всего | 12 | 12 | 12 | 36 | 1 | 0-40 | ||
Итого (часов, баллов): | 36 | 36 | 36 | 108 | 5 | 0-100 | ||
Из них часов в интерактивной форме | 0 | 5 | ||||||
Таблица 2
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
№ темы | устный опрос | письменные работы | Итого количество баллов |
коллоквиумы | |||
Модуль 1 | |||
1.Ортонормированные системы в евклидовом пространстве | 0-6 | 0-6 | |
2. Общие ряды Фурье в евклидовом пространстве | 0-9 | 0-9 | |
3. Сходимость рядов Фурье по тригонометрической системе | 0-6 | 0-6 | |
4. Кратные тригонометрические ряды Фурье | 0-9 | 0-9 | |
Всего | - | 0-30 | 0-30 |
Модуль 2 | |||
1. Интеграл Фурье | 0-5 | 0-5 | |
2. Сходимость интеграла Фурье | 0-15 | 0-10 | 0-25 |
Всего | 0-15 | 0-15 | 0-30 |
Модуль 3 | |||
1. Преобразование Фурье: свойства и приложения | 0-10 | 0-10 | 0-20 |
2. Линейное пространство | 0-10 | 0-10 | 0-20 |
Всего | 0-20 | 0-20 | 0-40 |
Итого | 0-35 | 0-65 | 0-100 |
Таблица 3
Планирование самостоятельной работы студентов
№ | Модули и темы | Виды СРС | Неделя семестра | Объем часов | Кол-во баллов | |
обязательные | дополнительные | |||||
Модуль 1 | ||||||
1.1 | 1.Ортонормированные системы в евклидовом пространстве | Работа с лекционным материалом, подготовка к контрольной работе. | 1 | 3 | 0-6 | |
1.2 | Общие ряды Фурье в евклидовом пространстве | работа с лекционным материалом, подготовка к контрольной работе. | опытное моделирование | 2-3 | 3 | 0-9 |
1.3 | Сходимость рядов Фурье по тригонометрической системе | работа с литературой, источниками, подготовка к контрольной работе. | 4 | 4 | 0-6 | |
1.4 | Кратные тригонометрические ряды Фурье | работа с лекционным материалом, литературой, подготовка к контрольной работе. | опытное моделирование | 5-6 | 2 | 0-9 |
Всего по модулю 1: | 6 | 12 | 0-30 | |||
Модуль 2 | ||||||
2.1 | Интеграл Фурье | работа с лекционным материалом, литературой, подготовка к контрольной работе. | 7-9 | 6 | 0-15 | |
2.2 | Сходимость интеграла Фурье | работа с лекционным материалом, литературой, подготовка к контрольной работе и коллоквиуму. | 10-12 | 6 | 0-15 | |
Всего по модулю 2: | 6 | 12 | 0-30 | |||
Модуль 3 | ||||||
3.1 | Преобразование Фурье: свойства и приложения | работа с лекционным материалом, литературой, подготовка к контрольной работе и коллоквиуму. | 13-15 | 8 | 0-20 | |
3.2 | Линейное пространство | работа с лекционным материалом, литературой, подготовка к контрольной работе и коллоквиуму. | 16-18 | 4 | 0-20 | |
Всего по модулю 3: 6 | 12 | 0-40 | ||||
ИТОГО: | 36 | 0-100 |
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№ п/п | Наименование обеспечиваемых дисциплин | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 2.2 | 3.1 | 3.2 | |
1. | Функциональный анализ | + | + | + | + | + | + |
|
2. | Уравнения с частными производными | + | + | + | + | + | + |
|
5. Содержание дисциплины
Модуль 1
1.1 Ортонормированные системы в евклидовом пространстве
Введение. Ортогональные и ортонормированные системы в 
. Замкнутые и полные ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
1.2 Общие ряды Фурье в евклидовом пространстве
Ортогональный ряд по ортонормированной системе в. Теорема о равномерно сходящемся ортогональном ряде. Неравенство Бесселя. Общий ряд Фурье. Критерий сходимости ряда Фурье в евклидовом пространстве. Теорема единственности для рядов Фурье в евклидовом пространстве. Теорема о сходимости ряда Фурье в полном евклидовом пространстве.
1.3 Сходимость рядов Фурье по тригонометрической системе
Тригонометрическая система и ее свойства. Ряд Фурье по тригонометрической системе. Признаки сходимости ряда Фурье. Теоремы о равномерной сходимости ряда Фурье. Теоремы о дифференцировании и интегрировании ряда Фурье.
1.4 Кратные тригонометрические ряды Фурье
Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
Модуль 2
2.1 Интеграл Фурье
Тригонометрический интеграл и интеграл Фурье. Теоремы о непрерывности, дифференцировании и интегрировании по параметру специального несобственного интеграла. Лемма об убывании тригонометрических интегралов.
2.2 Сходимость интеграла Фурье
Признак Дини сходимости интеграла Фурье и его следствия. Главное значение интеграла. Интеграл Фурье в комплексной форме.
Модуль 3
3.1 Преобразование Фурье: свойства и приложения
Преобразование Фурье. Теорема обращения. Свойства преобразования Фурье: линейность, биективность, непрерывность и убывание на бесконечности. Преобразование Фурье производных. Свертка и преобразование Фурье. Производная преобразования Фурье функции. Примеры.
3.2 Линейное пространство 
и преобразование Фурье в нем
Линейное пространство . Преобразование Фурье в пространстве . Формула обращения. Свойства свертки в пространстве . Равенство Парсеваля в пространстве .
6. Планы семинарских занятий
Модуль 1
1.1 Ортонормированные системы в евклидовом пространстве
Введение. Ортогональные и ортонормированные системы в . Замкнутые и полные ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
1.2 Общие ряды Фурье в евклидовом пространстве
Ортогональный ряд по ортонормированной системе в. Теорема о равномерно сходящемся ортогональном ряде. Неравенство Бесселя. Общий ряд Фурье. Критерий сходимости ряда Фурье в евклидовом пространстве. Теорема единственности для рядов Фурье в евклидовом пространстве. Теорема о сходимости ряда Фурье в полном евклидовом пространстве.
1.3 Сходимость рядов Фурье по тригонометрической системе
Тригонометрическая система и ее свойства. Ряд Фурье по тригонометрической системе. Признаки сходимости ряда Фурье. Теоремы о равномерной сходимости ряда Фурье. Теоремы о дифференцировании и интегрировании ряда Фурье.
1.4 Кратные тригонометрические ряды Фурье
Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
Модуль 2
2.1 Интеграл Фурье
Тригонометрический интеграл и интеграл Фурье. Теоремы о непрерывности, дифференцировании и интегрировании по параметру специального несобственного интеграла. Лемма об убывании тригонометрических интегралов.
2.2 Сходимость интеграла Фурье
Признак Дини сходимости интеграла Фурье и его следствия. Главное значение интеграла. Интеграл Фурье в комплексной форме.
Модуль 3
3.1 Преобразование Фурье: свойства и приложения
Преобразование Фурье. Теорема обращения. Свойства преобразования Фурье: линейность, биективность, непрерывность и убывание на бесконечности. Преобразование Фурье производных. Свертка и преобразование Фурье. Производная преобразования Фурье функции. Примеры.
3.2 Линейное пространство и преобразование Фурье в нем
Линейное пространство . Преобразование Фурье в пространстве . Формула обращения. Свойства свертки в пространстве . Равенство Парсеваля в пространстве .
7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего специалиста. Именно эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки самостоятельной работы в разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и познанию.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники, примерный перечень которых имеется в разделе 11. Время, систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле знаний количественно выражаются в баллах и отметках.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; контрольным работам, коллоквиуму.
Вопросы к коллоквиуму
1. Ортогональные и ортонормированные системы в .
2. Замкнутые ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
3. Полные ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
4. Ортогональный ряд по ортонормированной системе в.
5. Теорема о равномерно сходящемся ортогональном ряде.
6. Неравенство Бесселя.
7. Общий ряд Фурье.
8. Критерий сходимости ряда Фурье в евклидовом пространстве.
9. Теорема единственности для рядов Фурье в евклидовом пространстве.
10. Теорема о сходимости ряда Фурье в полном евклидовом пространстве.
11. Тригонометрическая система и ее свойства.
12. Ряд Фурье по тригонометрической системе.
13. Признаки сходимости ряда Фурье.
14. Теоремы о равномерной сходимости ряда Фурье.
15. Теорема о дифференцировании ряда Фурье.
16. Теорема об интегрировании ряда Фурье.
17. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье.
18. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
19. Тригонометрический интеграл и интеграл Фурье.
20. Теорема о непрерывности специального несобственного интеграла, зависящего от параметра.
21. Теорема о дифференцировании по параметру специального несобственного интеграла.
22. Теорема об интегрировании в конечных пределах по параметру специального несобственного интеграла.
23. Лемма об убывании тригонометрических интегралов.
24. Признак Дини сходимости интеграла Фурье и его следствия.
25. Главное значение интеграла.
26. Интеграл Фурье в комплексной форме
27. Преобразование Фурье, косинус-преобразование Фурье, синус-преобразование Фурье.
28. Теорема обращения.
29. Теорема о линейности преобразования Фурье.
30. Теорема о биективности преобразования Фурье.
31. Теорема о непрерывности и об убывании на бесконечности преобразования Фурье.
32. Теорема о преобразования Фурье дифференцируемой функции.
33. Свертка двух функций, достаточное условие существования свертки.
34. Теорема о преобразования Фурье свертки.
35. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
36. Линейное пространство .
37. Теорема о биективности преобразования Фурье в пространстве .
38. Формула обращения.
39. Свойства свертки в пространстве .
40. Равенство Парсеваля в пространстве .
Контрольная работа
1. Разложить функцию 
в тригонометрический ряд Фурье на отрезке 
.
2. Разложить функцию 
в тригонометрический ряд Фурье на отрезке 
.
3. Найти интеграл Фурье функции 
на отрезке 
.
4. Найти преобразование Фурье функции 
.
5. Найти синус-преобразование Фурье функции 
6. Найти косинус-преобразование Фурье функции 
.
7. Найти преобразование Фурье функции 
.
Зачетные и дополнительные задачи
Вопросы к зачету
1. Ортогональные и ортонормированные системы в .
2. Замкнутые ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
3. Полные ортонормированные системы в евклидовом пространстве.
4. Ортогональный ряд по ортонормированной системе в.
5. Теорема о равномерно сходящемся ортогональном ряде.
6. Неравенство Бесселя.
7. Общий ряд Фурье.
8. Критерий сходимости ряда Фурье в евклидовом пространстве.
9. Теорема единственности для рядов Фурье в евклидовом пространстве.
10. Теорема о сходимости ряда Фурье в полном евклидовом пространстве.
11. Тригонометрическая система и ее свойства.
12. Ряд Фурье по тригонометрической системе.
13. Признаки сходимости ряда Фурье.
14. Теоремы о равномерной сходимости ряда Фурье.
15. Теорема о дифференцировании ряда Фурье.
16. Теорема об интегрировании ряда Фурье.
17. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье.
18. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье.
19. Тригонометрический интеграл и интеграл Фурье.
20. Теорема о непрерывности специального несобственного интеграла, зависящего от параметра.
21. Теорема о дифференцировании по параметру специального несобственного интеграла.
22. Теорема об интегрировании в конечных пределах по параметру специального несобственного интеграла.
23. Лемма об убывании тригонометрических интегралов.
24. Признак Дини сходимости интеграла Фурье и его следствия.
25. Главное значение интеграла.
26. Интеграл Фурье в комплексной форме
27. Преобразование Фурье, косинус-преобразование Фурье, синус-преобразование Фурье.
28. Теорема обращения.
29. Теорема о линейности преобразования Фурье.
30. Теорема о биективности преобразования Фурье.
31. Теорема о непрерывности и об убывании на бесконечности преобразования Фурье.
32. Теорема о преобразования Фурье дифференцируемой функции.
33. Свертка двух функций, достаточное условие существования свертки.
34. Теорема о преобразования Фурье свертки.
35. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
36. Линейное пространство .
37. Теорема о биективности преобразования Фурье в пространстве .
38. Формула обращения.
39. Свойства свертки в пространстве .
40. Равенство Парсеваля в пространстве .
8. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
9.1. Основная литература:
1. Камынин математического анализа. Т.2. – М.: Изд-во МГУ, 1995.
2. Зорич анализ. Т.2. – М.: Наука, 2005.
3. , , Садовничий и упражнения по математическому анализу. Книга 2. – М.: Высшая школа, 2000.
9.2. Дополнительная литература:
4. Лекции об интегралах Фурье. – М.: ГИФМЛ, 1962.
10. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):
- доска и мел (или более современные аналоги), компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.)
