Численные методы в механике жидкости и газа (стр. 3 )

Модуль 1

Тема 1. Введение в курс «Численные методы в механике жидкости и газа». Основные сведения о методах численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Модельные уравнения газо - и гидродинамики, диффузии и теплопроводности и краевые задачи для них. Разностные аналоги модельных уравнений. Аппроксимация уравнений и граничных условий. Основы метода контрольного объема. Явные и неявные разностные схемы.

Тема 2. Основные сведения о методах численного интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы распространения волн. Методы численного интегрирования уравнений гиперболического типа. Сверхзвуковое течение газа.

Модуль 2

Тема 3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение нелинейных уравнений и систем уравнений. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Тема 4. Методы численного интегрирования уравнений параболического типа. Течение в пограничном слое. Уравнения, описывающие процессы конвекции, тепломассопереноса и сдвиговые течения. Построение разностных схем интегро-интерполяционным методом. Разностные схемы для уравнения теплопроводности. Метод разделения переменных.

Модуль 3

Тема 5. Методы численного интегрирования уравнений эллиптического типа для исследования стационарных фильтрационных течений жидкости и газа. Метод потоков для расчета течений реального газа. Численное моделирование задач турбулентности. Статистический метод частиц в ячейках.

Тема 6. Методы для исследования дозвуковых течений жидкости и газа. Решение уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление». О численном моделировании задач турбулентности. Методы расщепления для исследования течений вязкой несжимаемой жидкости. Конечно-разностное представление граничных условий. Исследование схем метода расщепления.

6. Примерные темы лабораторных работ

Модуль 1

Тема 1. Численное моделирование нестационарных течений.

Задача № 1. Проверьте, является ли консервативной конечно-разностная схема для уравнения неразрывности двумерного стационарного движения неcжимаемой жидкости

+ = 0

где u, υ - составляющие скорости по осям х и у соответственно.

Задача № 2. Рассмотрите нелинейное уравнение

u = µ

с постоянным коэффициентом µ. Записано ли оно в дивергентной форме? Если нет, то можете ли вы записать его в дивергентной форме?

Тема 2. Численное моделирование распространения волн.

Задача № 1. Решите на ЭВМ волновое уравнение ut + uх = 0, используя

(а) схему Лакса;

(b) схему Лакса-Вендроффа

при начальном условии u(x, 0) = sin2n π (x/L), 0 ≤ x ≤ L, и периодических граничных условиях. Используйте сетку, состоящую из 41 точки при rх = 1, и проведите расчет до t = 18. Решите эту задачу для n = 1, 3 и ν = 1.0, 0.6, 0.3; полученные результаты сопоставьте графически с точным решением. Определите значения β для n = 1 и n = 3 и вычислите погрешность в определении амплитуды и фазы для каждой из схем при ν = 0.6. Сравните эта ошибки с ошибками, найденными из графиков.

Задача № 2. Решите на ЭВМ волновое уравнение ut + ux = 0, используя

(а) схему с разностями против потока,

(b) схему Мах-Кормака,

если заданы начальные условия

u (x, 0) =1, х ≤ 10,

u (x, 0) = 0, х > 10,

и граничные условия Дирихле.

Используйте разностную сетку, состоящую из 41 узла при rх = 1, и проведите расчет до значений t = 18. Решите задачу.

Задача № 3. Решите волновое уравнение

- = 0, y ≥ 0.

с начальными условиями u (x, 0) = 1, uy (x, 0) = 0

Модуль 2

Тема 3. Численное моделирование сдвиговых течений.

Задача № 1. Решите уравнение теплопроводности

= , 0 ≤ x ≤ 1,

c граничными условиями u (t, 0) = 0, u (t, 1) = 0

и начальным условием u (0, x) = sin (2πx).

Задача № 2. Решите уравнение теплопроводности

= , 0 ≤ x ≤ 1,

c граничными условиями u (t, 0) = 0, u (t, 1) = 0

и начальным условием u (0, x) = 1 - cos (4πx).

Тема 4. Методы численного интегрирования уравнений параболического типа.

Задача № 1. Решите на ЭВМ волновое уравнение ut + ux = 0, используя

(а) схему с разностями против потока,

(b) схему Мах-Кормака,

если заданы начальные условия

u (x, 0) =1,

u (x, 0) = 0,

и граничные условия Дирихле.

Используйте разностную сетку, состоящую из 41 узла при rх = 1, и проведите расчет до значений t = 18. Решите задачу.

Задача № 2. Решите уравнение теплопроводности

= , 0 ≤ x ≤ 1,

c граничными условиями u (t, 0) = 0, u (t, 1) = 1

и начальным условием u (0, x) = 0.

Модуль 3

Тема 5. Численное интегрирование уравнений эллиптического типа для исследования стационарных фильтрационных течений жидкости и газа. Решение уравнения Лапласа для задачи подземной гидродинамики. Смешанная задача для уравнения Пуассона.

Задача № 1. Решите уравнение Лапласа

V2 u = 0, 0 ≤ х ≤ π, 0 ≤ у ≤ π,

с граничными условиями

u (х, 0) = sin x + 2 sin 2x,

u (π, y) = 0, u (х, π) = 0, u (0, у) = 0.

Задача № 2. Найдите погрешность аппроксимаций конечно-разностной схемы решения уравнения Лапласа при

(а) rх = rу;

(b) rх ≠ rу.

Задача № 3. Решите двумерное стационарное уравнение теплопроводности в квадратной области 0 < х < 1, 0< y < 1, используя разностные сетки с шагами

rх = ry = 0.2 и 0.1. Сравните температуру в центре квадрата с точным решением. Граничные условия имеют вид

T = 0, x = 0, x = 1,

= 0, y = 0,

T = sin (πx)? Y = 1/

Тема 6. Численное моделирование ламинарных и турбулентных течений в трубе.

Задача № 1. Объясните, почему уравнения пограничного слоя можно применять в случае развивающегося течения в трубе.

Задача № 2. Полагая, что конвекция и диффузия кинетической энергии турбулентности малы внутри области логарифмического закона скорости для пристенного турбулентного пограничного слоя, найдите выражение для кинетической энергия турбулентности на внешней границе области логарифмического закона скорости в терминах сдвиговых напряжений на стенке.

Задача № 3. Считая формулу Прандтля длины пути смешения справедливой дли пристенного турбулентного пограничного слоя, получите выражение для отношения кажущейся турбулентной вязкости к молекулярной вязкости для области логарифмического закона.

7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

7.1 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

Данной рабочей программой предусмотрена самостоятельная работа в объеме 36 часа. В соответствии с Положением о самостоятельной работе студентов в ГОУ ВПО «Тюменский государственный университет», под самостоятельной работой студентов (далее СРС) понимается «учебная, научно-исследовательская и общественно-значимая деятельность студентов, направленная на развитие общих и профессиональных компетенций, которая осуществляется без непосредственного участия преподавателя, хотя и направляется им».

СРС проводится с целью формирования общекультурных и профессиональных компетенций, понимаемых как способность применять знания, умения и личностные качества для успешной деятельности в определенной области, в том числе:

·  формирования умений по поиску и использованию справочной и специальной литературы, а также других источников информации;

·  качественного освоения и систематизации полученных теоретических знаний, их углубления и расширения по применению на уровне межпредметных связей;

·  формирования умения применять полученные знания на практике (в профессиональной деятельности) и закрепления практических умений студентов;

·  развития познавательных способностей студентов, формирования самостоятельности мышления;

·  развития активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

·  формирования способностей к саморазвитию (самопознанию, самоопределению, самообразованию, самосовершенствованию, самореализации, саморегуляции);

·  развития научно-исследовательских навыков;

·  развития навыков межличностных отношений.

Студентам предлагаются следующие формы СРС:

·  изучение обязательной и дополнительной литературы;

·  выполнение самостоятельных заданий;

·  поиск информации по заданной теме в сети Интернет;

·  самоконтроль и взаимоконтроль выполненных заданий;

·  выполнение самостоятельных заданий на лабораторных занятиях;

·  выполнение модельных задач;

·  подготовка ко всем видам контрольных испытаний, в том числе к текущему контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации (по окончании семестра);

·  подготовка к итоговой государственной аттестации, в том числе подготовка к государственным экзаменам, выполнение выпускной квалификационной работы;

·  подготовка к сдаче зачета.

Результаты СРС могут быть представлены в форме реферата по теме.

7.2 Типы заданий для самостоятельной работы (примерные)

1.  Проработать лекции.

2.  Работа с учебной литературой.

3.  Решение модельных задач для изучаемого метода.

4.  Разработка вычислительных программ для решения задач.

5.  Выполнение лабораторных работ.

При необходимости обратиться за консультацией к преподавателю.

7.3 Самостоятельная работа студентов

Самостоятельная работа студентов заключается в решении модельной задачи для изучаемого метода. Посредством поэтапного решения алгоритма закрепляются навыки работы.

Домашняя работа студентов состоит из компьютерного оформления численного решения задач, выполненного на практических занятиях, в форме отчетов, включающих в себя: постановку задачи, краткое изложение метода, текста программы, табличные результаты, графическое решение и оценку погрешности счета.

Примечание: по каждому методу студенты должны самостоятельно разработать вычислительную программу и уметь объяснить ее преподавателю.

Примерные задания для самостоятельной работы студентов

Задача № 1. Рассмотрите неявный конечно-разностный аналог уравнения движения пограничного слоя

+

Как вы думаете, появятся ли при решении прогонкой полученной системы уравнений ограничения, связанные с величиной сеточного числа Рейнольдса при u > 0, υ > 0? Обоснуйте ваш ответ.

Задача № 2.

Используйте метод искусственной сжимаемости для решения задачи течения в полости квадратной формы при Ret = 100. Воспользуйтесь схемой Дюфорта-Франкела («чехарда») для решения определяющих уравнений на сетке размером 15 X 15. Определите давление на стенке, подходящим образом аппроксимируя записанное на стенке уравнение движения в направлении по нормали.

Задача № 3. Рассмотрите неявный конечно-разностный аналог уравнения движения пограничного слоя

+

Как вы думаете, появятся ли при решении прогонкой полученной системы уравнений ограничения, связанные с величиной сеточного числа Рейнольдса при u > 0, υ > 0? Обоснуйте ваш ответ.

Задача № 4. Проверьте, является ли консервативной разностная схема для уравнения неразрывности двумерного стационарного движения неcжимаемой жидкости

+ = 0

где u, υ - составляющие скорости по осям х и у соответственно.

Задача № 5. Решите на ЭВМ волновое уравнение ut + uх = 0, используя

(а) схемы с разностями против потока;

(b) схемы Мак-Кормака

при начальном условии u(x, 0) = sin2n π (x/L), 0 ≤ x ≤ L, и периодических граничных условиях. Используйте сетку, состоящую из 41 точки при rх = 1, и проведите расчет до t = 18. Решите эту задачу для n = 1, 3 и ν = 1.0, 0.6, 0.3; полученные результаты сопоставьте графически с точным решением. Определите значения β для n = 1 и n = 3 и вычислите погрешность в определении амплитуды и фазы для каждой из схем при ν = 0.6. Сравните эта ошибки с ошибками, найденными из графиков.

Задача № 6. Решите уравнение Лапласа

V2 u = 0, 0 ≤ х ≤ π, 0 ≤ у ≤ π,

с граничными условиями

u (х, 0) = -π2 x2 + 2 π x3 – x4,

u (π, y) = 0, u (х, π) = 0, u (0, у) = 0.

Задача № 7. Чему равна погрешность аппроксимации уравнения Пуассона

uхх + uyy = х + y по девятиточечной разностной схеме при rх = rу.

7.4 Формы текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

В качестве форм текущей аттестации используются такие формы, как проверка лабораторных работ, решение модельных задач, устные опросы.

Промежуточный контроль имеет форму лабораторных работ, решение модельных задач, в которых оцениваются уровень овладения обучающимися знаниями по предмету.

В соответствии с Положением о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов в ГОУ ВПО «Тюменский государственный университет», во время последней контрольной недели семестра преподаватель подводит итоги работы каждого студента и объявляет результаты студентам. Однако если студент желает улучшить свой рейтинг по дисциплине, ему предоставляется право набрать дополнительные баллы – пересдать лабораторные работы, решить модельные задачи, выполнить дополнительные задания и т. п.

Поскольку дисциплина преподается в течение одного семестра, для выставления итоговой оценки на зачете выводится средний балл по дисциплине. В случае если средний балл составляет менее 61, студенту предоставляется право сдавать зачет, и оценка выставляется непосредственно по его результатам.

Итоговый контроль (зачет) проводится в устно-письменной форме. Зачет включает письменную часть – решение модельных задач различными методами, по каждому методу студенты должны иметь вычислительную программу и уметь объяснить ее преподавателю. Устная часть зачета оценивает полученные знания по дисциплине путем собеседования с преподавателем.

8. Вопросы к зачету

1.  Основные этапы численного решения задач.

2.  Понятие разностной сетки. Виды разностных сеток. Дискретное представление функций и их аргументов.

3.  Разностные аппроксимации производных.

4.  Дифференциальное уравнение и его дискретный аналог.

5.  Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.

6.  Схемы «левый» и «правый» уголки для численного решения конвективного переноса вещества.

7.  Неявные схемы для уравнений переноса сплошной среды.

8.  Методы численного интегрирования одномерного нестационарного уравнения диффузии, теплопроводности.

9.  Методы решения двухмерных стационарных уравнений теплопроводности.

10.  Методы решения волнового уравнения.

11.  Метод минимальных невязок.

12.  Метод минимальных поправок.

13.  Итерационные методы для систем нелинейных уравнений.

14.  Явная, неявная схемы уравнения теплопроводности.

15.  Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения.

16.  Решение уравнений Навье-Стокса в переменных «скорость-давление».

17.  Конечно-разностное представление граничных условий.

18.  Численное моделирование задач турбулентности.

9. Образовательные технологии

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Геокриология и механика грунтов» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

·  Проработать лекции (тема 1-6);

·  Прорешивание задач для изучаемого метода (тема 2-6);

·  Использование мультимедийного оборудования для демонстрации учебного материала на лекциях (тема 1-6);

·  Применение вычислительной программы по каждому методу решения задач (тема 1-6).

10. Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)

10.1 Основная литература

1.  , , Численные методы анализа. / 4-е издание. – Санкт-Петербург: Изд-во «Лань», 2008. – 400с.

2.  Волков методы /4-е издание. – Санкт-Петербург: Изд-во «Лань», 2007. – 256с.

3.  , Марон математика в примерах и задачах /2-е издание. – Санкт-Петербург: Из-во «Лань», 2008. – 386с.

4.  Белоцерковский моделирование в механике сплошных сред. – М.: Наука, 2004. – 520с.

5.  Вычислительная физика. – М.: Мир, 2005. – 392с.

10.2 Дополнительная литература

1.  Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 150 с.

2.  Патанкар решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. – М.: Изд-во МЭИ, 2003. – 312с.

3.  Таннехил Дж., Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т.1 и 2. – М.: Мир,1990. – 726с.

4.  Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир, 1980. – 616с.

5.  Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.1-2. – М: Мир,1991.

6.  Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. – М.: Мир, 1988. – 544с.

7.  Разностные методы решения краевых задач. – М.: Мир, 1972. – 418с.

8.  Таннехилл Дж., Вычислительная гидромеханика и теплообмен: Т.2: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 392 с.

9.  , Гулин методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

10.  Самарский разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.

10.3 Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1.  eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) – http://*****/

11. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Лекционная аудитория с мультимедийным оборудованием.

Учебно-научные лаборатории кафедры ММС для выполнения лабораторных работ.