Математика

Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России)

Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация)

ФГОУ ВПО « Санкт-Петербургский государственный

университет гражданской авиации »

Математика

Методические указания

для подготовки к зачету и

задания для контрольных работ

для студентов ЗФ

1-го семестра обучения

Санкт-Петербург

2010
Одобрено и рекомендовано к изданию
Учебно–методическим советом Университета

МАТЕМАТИКА: Методические указания для подготовки к зачету и задания для контрольных работ / Университет ГА». С.-Петербург, 2010.

Методические указания издаются в соответствии с программой курса математики.

Предназначены для студентов 1-го семестра обучения заочного факультета.

Составители: , доцент,

, доцент.

Рецензент: , д-р физ.-мат. наук, проф.

Ó СПб ГУ ГА, 2010

Общие методические указания

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь студентам университет организует чтение лекций и проведение практических занятий. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом.

Вопросы для подготовки к зачету по курсу математики, изучаемые по программе в первом семестре.

1. Элементы линейной алгебры

1. Матрицы (основные определения).

2. Действия над матрицами (сложение, умножение на число, вычитание, умножение матрицы на матрицу, транспонирование).

3. Определители 2-го и 3-го порядков, вычисление и свойства.

4. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя.

5. Обратная матрица (определение, правило вычисления).

6. Ранг матрицы. Элементарные преобразования над матрицей.

7. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

2. Элементы векторной алгебры

1. Векторные величины (основные определения).

2. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).

3. Проекция вектора на ось.

4. Базис. Разложение вектора по базису ().

5. Линейные операции над векторами в координатной форме.

6. Скалярное произведение векторов (определение, правило вычисления координатной форме).

7. Длина вектора, угол между двумя векторами, условия параллельности и перпендикулярности векторов.

8. Векторное произведение векторов (определение, геометрический смысл, правило вычисления координатной форме).

9. Смешанное произведение векторов (определение, геометрический смысл, правило вычисления координатной форме).

3. Аналитическая геометрия

1. Метод координат (прямоугольная и полярная системы координат и связь между ними).

2. Прямая линия на плоскости (в пространстве ). Различные виды уравнений: общее уравнение, каноническое уравнение с угловым коэффициентом.

3. Угол между двумя прямыми в пространстве .

4. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола (определения, канонические уравнения).

5. Плоскость в пространстве . Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

6. Угол между двумя плоскостями.

7. Прямая линия в пространстве . Канонические уравнения прямой.

8. Угол между двумя прямыми в пространстве .

9. Угол между прямой и плоскостью в пространстве .

4. Введение в математический анализ

1. Множества. Множество действительных чисел. Абсолютная величина действительного числа, ее свойства.

2. Комплексные числа (алгебраическая, тригонометрическая формы).

3. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

4. Функция. Предел функции. Односторонние пределы.

5. Бесконечно малая и бесконечно большая функции, связь между ними.

6. Теоремы о пределах функций (предел суммы, произведения, частного).

7. Виды неопределенностей, способы раскрытия.

8. Первый замечательный предел ,

второй замечательный предел .

9. Определение непрерывной функции в точке и на интервале.

10. Точки разрыва функции, их классификация.

В первом семестре необходимо выполнить контрольные работы № 1 и № 2 (номера задач, входящих в контрольные
работы, указаны в таблице на стр.16) и сдать зачет по
указанным выше вопросам.

Литература

1. Пискунов и интегральное исчисления для втузов. - М.: Наука, 1985. Т. 1.

2. Шипачев высшей математики. - М.: Высшая школа, 2001.

3. Письменный лекций по высшей математике. - М.: Айрис-пресс, 2005. Ч 1.

4. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

В задачах 1-10 дана система линейных уравнений:

Решить систему тремя способами:
1) методом Крамера, 2) матричным методом, 3) методом Гаусса. Сделать проверку.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

В задачах 11-20 даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра ,
2) уравнение прямой , 3) уравнение плоскости ,
4) угол между ребром и плоскостью , 5) площадь
грани , 6) объем пирамиды . 7) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины на грань .

Сделать чертеж.

11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

В номерах 21-30 решить задачи на прямую линию на плоскости.

21. Даны вершины треугольника : , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины , на медиану, проведенную из вершины .

22. Даны вершины и треугольника . Катет задан уравнением . Составить уравнения другого катета и медианы, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

23. Найти уравнение и длину высоты, проведенной из
вершины треугольника , если известны координаты вершин , , .

24. Найти точку , симметричную точке , относительно прямой .

25. Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и точка пересечения его диагоналей . Составить уравнения двух других сторон.

26. Даны вершины и треугольника и точка пересечения его высот . Составить уравнения сторон треугольника.

27. Даны уравнения двух сторон ромба , и одна из его вершин . Составить уравнения диагоналей ромба.

28. Даны две вершины треугольника и , высоты треугольника пересекаются в точке . Определить координаты третьей вершины.

29. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин . Составить уравнения двух других сторон и диагонали, проходящей через точку .

30. Составить уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины треугольника , если известны координаты вершин , , .

В номерах 31-40 решить задачи на кривые второго порядка.

31. Составить уравнение эллипса, малая ось которого равна 10
и эксцентриситет равен . Построить кривую.

32. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой . Сделать чертеж.

33. Найти координаты фокусов гиперболы и ее эксцентриситет. Построить кривую.

34. Кривая задана уравнением . Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в прямоугольной системе координат.

35. Действительная полуось гиперболы равна 4, фокальное расстояние равно 10. Написать уравнение гиперболы и уравнения асимптот. Сделать чертеж.

36. Кривая задана уравнением . Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в прямоугольной системе координат.

37. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит
от точки втрое дальше, чем от начала координат.
Построить кривую в прямоугольной системе координат.

38. Составить уравнение эллипса, фокальное расстояние которого равно 16 и эксцентриситет равен . Построить кривую.

39. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой . Сделать чертеж.

40. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями ,
фокусы имеют координаты и . Составить уравнение гиперболы и сделать чертеж.

В задачах 41-50 найти предел функции, не пользуясь
правилом Лопиталя.

41. а) , в) ,	б) , г) .
42. а) , в) ,	б) , г) .

43. а) , в) ,	б) , г) .
44. а) , в) ,	б) , г) .
45. а) , в) ,	б) , г) .
46. а) , в) ,	б) , г) .
47. а) , в) ,	б) , г) .

48. а) , в) ,	б) , г) .
49. а) , в) ,	б) , г) .
50. а) , в) ,	б) , г) .

В задачах 51-60 задана функция и два значения аргумента и . 1). Установить, является ли данная функция непрерывной для каждого из данных значений аргумента. 2). В случае разрыва, определить какого рода разрыв. 3). Сделать схематический чертеж.

51. , , .	52. , , .
53. , , .	54. , , .

55. , , .	56. , , .
57. , , .	58. , , .
59. , , .	60. , , .

В задачах 61-70 задана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

61.	62.
63.	64.
65.	66.

67.	68.
69.	70.

В задачах 71-80 даны комплексные числа . Построить на комплексной плоскости векторы, соответствующие числам . Найти и . Записать данные комплексные числа в тригонометрической форме.

71.	72.
73.	74.
75.	76.
77.	78.
79.	80.

Контрольные задания

Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в
контрольные работы. Студент должен выполнить контрольные задания по варианту, номер которого совпадает с последней
цифрой его учебного шифра (номера зачетной книжки или студенческого билета).

Вариант	Номера задач контрольных заданий
	Контрольная работа № 1	Контрольная работа № 2
1	1, 11, 21, 31	41, 51, 61, 71
2	2, 12, 22, 32	42, 52, 62, 72
3	3, 13, 23, 33	43, 53, 63, 73
4	4, 14, 24, 34	44, 54, 64, 74
5	5, 15, 25, 35	45, 55, 65, 75
6	6, 16, 26, 36	46, 56, 66, 76
7	7, 17, 27, 37	47, 57, 67, 77
8	8, 18, 28, 38	48, 58, 68, 78
9	9, 19, 29, 39	49, 59, 69, 79
0	10, 20, 30, 40	50, 60, 70, 80

Правила выполнения и

оформления контрольных работ

1. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради
в клетку чернилами синего или черного цвета. Необходимо оставить поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия и инициалы студента, его учебный шифр, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и личную подпись.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в контрольных заданиях, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а
также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Задачи и их решения следует располагать в порядке
возрастания номеров, указанных в контрольных заданиях,
сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи необходимо полностью
записать ее условие.

6. Решения задач должны быть изложены подробно с
необходимыми пояснениями по ходу решения.

7. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все ошибки, недочеты и выполнить рекомендации рецензента.

8. В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента о том, что студент может ограничиться
представлением исправленных решений отдельных задач,
вся работа должна быть выполнена заново.

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных выше правил. Работы, выполненные
без соблюдения этих правил, не зачитываются.