Рабочая программа (стр. 2 )

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и их вычисление.

Замена переменной, интегрирование по частям.

Несобственные интегралы от неограниченных функций и их вычисление.

Замена переменной, интегрирование по частям

Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимость

Тема 2: Числовые ряды.

Понятие числового ряда. Частичные суммы числового ряда. Сходящиеся числовые ряды. Геометрическая прогрессия. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости числовых рядов.

Понятие знакоположительного ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного ряда. Признаки сходимости знакоположительных рядов (признак сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши-Маклорена, признак Раабе, признак Гаусса).

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля, Дирихле.

Арифметические операции над сходящимися рядами. Бесконечные произведения и их сходимость. Двойные и повторные ряды. Суммирование числовых рядов.

Тема 3: Функциональные последовательности и ряды.

Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей. Теоремы о непрерывности предельной функции, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей.

Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов. Достаточные условия равномерной сходимости функциональных рядов (признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле).

Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Теорема Абеля о степенных рядах. Разложение функций в степенной ряд.

Ряд Тейлора. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

Применение рядов в приближенных вычислениях.

Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

Тема 4. Ряды и интегралы Фурье.

Ортонормированные системы функций. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированных систем. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и её замкнутость.

Тригонометрический ряд Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в точке. Условия почленного дифференцирования и интегрирования.

Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Понятие об обратном преобразовании Фурье. Интеграл Фурье.

4. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку и их вычисление

2. Замена переменной, интегрирование по частям.

3. Несобственные интегралы от неограниченных функций и их вычисление.

4. Замена переменной, интегрирование по частям

5. Признаки сходимости несобственных интегралов.

6. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Абеля, Дирихле.

7. Числовой ряд и его сумма. Исследование сходимости числовых рядов по определению.

8. Необходимое условие сходимости. Критерий Коши сходимости рядов.

9. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Признак сравнения.

10. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши.

11. Признак Раабе. Признак Гаусса.

12. Интегральный признак Коши-Маклорена сходимости знакоположительных рядов.

13. Другие признаки сходимости знакоположительных рядов (признак сравнения Коши, логарифмический признак и т. д.).

14. Оценка остатка знакоположительного ряда.

15. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

16. Признак Абеля, признак Дирихле.

17. Умножение и деление рядов.

18. Бесконечные произведения

19. Решение задач по теме «Числовые ряды».

20. Контрольная работа 1 по теме «Числовые ряды».

21. Функциональные последовательности. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей.

22. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов.

23. Степенные ряды. Область сходимости.

24. Решение задач.

25. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

26. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

27. Разложение функций в ряд Тейлора.

28. Суммирование степенных рядов.

29. Вычисление сумм числовых рядов.

30. Итоговое занятие по теме «Функциональные последовательности и ряды».

31. Контрольная работа 2 по теме «Функциональные последовательности и ряды».

32. Ряды Фурье

33. Ряды Фурье.

34. Итоговое занятие.

5. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ

Требование к зачету

1. Вычисление несобственных интегралов. Исследование несобственных интегралов на сходимость.

2. Исследование числовых рядов на сходимость.

3. Исследование функциональных рядов на сходимость.

4. Почленный переход к пределу, почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

5. Разложение функций в ряд Тейлора.

6. Вычисления со степенными рядами.

7. Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье.

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

Тема 1. Несобственные интегралы.

1.Несобственные интегралы 1 и 2 рода, их основные свойства. Вычисление

несобственных интегралов.

2.Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признак

сравнения несобственных интегралов.

3.Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

4.Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки

Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов.

Тема 2. Числовые ряды.

1. Сходимость числового ряда. Гармонический ряд. Геометрическая прогрессия. Остаток числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Действия над рядами.

2. Критерий Коши сходимости числового ряда.

3. Признак сравнения знакоположительных рядов. Следствия.

4. Признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда.

5. Радикальный признак Коши сходимости знакоположительного ряда.

6. Признак Раабе сходимости знакоположительного ряда.

7. Признак Куммера сходимости знакоположительного ряда.

8. Признак Гаусса сходимости знакоположительного ряда.

9. Интегральный признак Коши-Маклорена сходимости знакоположительного ряда.

10. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Теорема об остатке знакочередующегося ряда.

11. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

12. Формулы дискретного преобразования Абеля.

13. Признаки Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов.

14. Перестановка членов ряда. Теорема Дирихле о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

15. Группировка членов ряда.

16. Умножение рядов. Теорема о произведении абсолютно сходящихся рядов. Теорема Мертенса.

16. Теоремы о сходимости двойных и повторных рядов.

17. Бесконечные произведения и их сходимость. Признак абсолютной сходимости бесконечного произведения.

Тема 3. Функциональные последовательности и ряды.

1. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.

2. Критерий равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

4. Достаточные условия равномерной сходимости функциональных рядов (признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле).

5. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей: предельный переход в функциональных последовательностях, условие коммутирования двух предельных переходов, непрерывность предельной функции.

6. Достаточное условие равномерной сходимости функциональной последовательности. Теорема Дини.

7. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: предельный переход, непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда. Теорема Дини.

8. Предельный переход под знаком интеграла, почленное интегрирование функциональных последовательностей и рядов.

9. Предельный переход под знаком производной, почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

10. Сходимость в среднем функциональных последовательностей

11. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела.

12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости, интервал сходимости степенного ряда. Теорема Коши-Адамара.

13. Равномерная сходимость степенных рядов. Вторая теорема Абеля.

14. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

15. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

Тема 4. Ряды Фурье.

1. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье по ортогональным

системам.

2. Ортонормированные системы функций. Неравенство Бесселя.

3. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Сходимость ряда Фурье в

среднем. Равенство Парсеваля.

4. Свойства рядов Фурье (экстремальное свойство, единственность ряда

Фурье).

5. Теорема о свойствах замкнутых ортонормированных систем.

6. Свойства рядов Фурье. Теорема Рисса-Фишера.

7. Полнота тригонометрической системы в R([-p,p]).

8. Периодические функции и их свойства.

9. Тригонометрический ряд и его свойства.

10.Тригонометрический ряд Фурье. Ряды Фурье четных и нечетных

функций. Ряд Фурье функции, интегрируемой на отрезке [-l,l].

11.Неравенство Бесселя для тригонометрической системы функций.

12.Экстремальное свойство тригонометрических рядов Фурье.

13.Ряды Фурье в комплексной области.

14.Интегральное представление частичной суммы ряда Фурье.

15. Ядра Дирихле и их свойства.

16.Сходимость ряда Фурье в точке.

17.Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке.

18.Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Ядра

Фейера и их свойства.

19.Теорема Фейера.

20.Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной

функции тригонометрическим многочленом.

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.

7.ЛИТЕРАТУРА

7.1.ОСНОВНАЯ

1. Зорич анализ. Учебник. Ч.II - М.: Наука,1984. - 640с.

2. Камынин математического анализа. Т.II. Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1995. - 624с.

3. , , Сендов Бл. Х. Математический анализ. Продолжение курса. Под ред. . - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 358 с.

4. Кудрявцев математического анализа ( в двух томах). -М.: Высшая школа,1981. -т. I - ;т.II – 584 с.

5. , , Чубариков по математическому анализу: Учебник для университетов и педвузов. М.: Высшая школа, 1999. -695 с.

6. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. -М.:Наука,1987.

7. ,, Садовничий и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 2. Ряды, несобственные интегралы, кратные и поверхностные интегралы. М.: Высшая школа, 2000. - 712с.

7.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

1. , Позняк математического анализа. -

1. М.: Наука,1982, ч.1; 1983, ч.2.

2. , , Сендов Бл. Х. Математический анализ.

Начальный курс. Под ред. . - М.: Изд - во МГУ,

1985. - 662 с.

3. Задачник по курсу математического анализа под ред. .-

М.:Просвещение,1971, ч.1-2.

4. Фихтенгольц математического анализа. - М.:

Наука,1967, т.1-2.

5. Никольский математического анализа. - М.: Наука,1973,

т.1-2.

6. Райков математический анализ. - М.: Высшая

школа, 1982.

7. Зорич анализ. - М.: Наука,1982, ч.1.

8. ,Фомин интегралы и ряды. М.: Наука,

1967. - 608 с.

9. , , Шабунин

задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука,1986.

10. , , Шабунин

задач по математическому анализу. Функции нескольких

переменных. - М.: Наука,1995.

Контрольные вопросы к коллоквиуму по теме «Несобственные интегралы»

Привести пример непрерывной на промежутке [1; +¥) функции, для которой несобственный интеграл на этом промежутке сходится. Привести пример непрерывной на промежутке [1; +¥) функции, для которой несобственный интеграл на этом промежутке расходится. Привести пример неограниченной на промежутке [1;b) функции, для которой несобственный интеграл на этом промежутке сходится. Привести пример неограниченной на промежутке [1;b) функции, для которой несобственный интеграл на этом промежутке расходится. Привести пример сходящегося на интервале [0; +¥) несобственного интеграла, подынтегральная функция которого не ограничена на любом интервале вида [а; +¥), где а > 0. Доказать, что если функция f(x) непрерывна при х ³ 0 и существует конечный предел, то . Если сходится, то обязательно ли f(x)® 0 при х ® +¥. Функция f(x) непрерывна на [а; +¥) и Может ли интеграл

сходиться?