Рабочая программа (стр. 3 )

Доказать, что

если сходится, то =0.

Доказать, что

если сходится, то .

Доказать, что если функция f(x) положительна и монотонно убывает, а интеграл сходится, то . Доказать, что если функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке (а; +¥), то она интегрируема на этом промежутке. Доказать, что если функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке [а; +¥) и φ (x)- ограниченная функция, интегрируемая на каждом конечном отрезке, то

функция φ (x)× f (x) абсолютно интегрируема промежутке (а; +¥).

Утверждение перестаёт быть верным, если функция f (x) интегрируема на промежутке (а; +¥), но не абсолютно.

Функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке (а; +¥). Всегда ли f 2 (x) также интегрируема на этом промежутке? Всегда ли произведение двух абсолютно интегрируемых функций на бесконечном промежутке абсолютно интегрируемо? Привести пример функции, интегрируемой на бесконечном промежутке, квадрат которой интегрируем на этом промежутке. Доказать, что функция

f (x) =

имеет на отрезке [0 ;1] конечный несобственный интеграл, но не является

абсолютно интегрируемой на этом отрезке.

Доказать, что

функция f (x) = интегрируема на промежутке (а; +¥), а >0, но не

интегрируема абсолютно на этом промежутке.

Привести пример функции f (x), имеющей конечный несобственный интеграл на

[a ;b], для которой функция |f (x)| не интегрируема на этом отрезке.

Привести пример функции f (x), имеющей конечный несобственный интеграл на [a ;b], квадрат которой f 2 (x) не интегрируем на этом отрезке. Всегда ли функция f (x), абсолютно интегрируемая на отрезке [a ;b], интегрируема на этом отрезке? Функция f (x) абсолютно интегрируема на отрезке[a ;b]. Всегда ли квадрат её интегрируем на этом отрезке? Доказать, что если существует несобственный интеграл функции f (x) на отрезке[a ;b], то существует интеграл этой функции в смысле главного значения. Доказать, что

если функция функции f (x) имеет только одну особую точку на отрезке[a ;b],

совпадающую или с точкой а или с точкой b, то её интеграл в смысле главного

значения совпадает с несобственным интегралом.

Привести пример функции f (x), интегрируемой на отрезке [a ;b] в смысле главного значения и не имеющей конечного несобственного интеграла на этом отрезке. Привести пример функции f (x), интегрируемой на отрезке [a ;b] в смысле главного значения и не интегрируемой в этом же смысле на некотором отрезке [a ;b], а £ a < b £ b. Доказать, что если функция f (x) положительна (отрицательна) и имеет на [a ;b] конечный несобственный интеграл, то она абсолютно интегрируема на этом отрезке. Доказать, что

если функция f (x) ограничена снизу (сверху) на отрезке [a ;b] и имеет на этом

отрезке конечный несобственный интеграл, то она абсолютно интегрируема на

этом отрезке.

Контрольные вопросы к коллоквиуму по теме «Числовые ряды»

Доказать, используя критерий Коши сходимости рядов, что сумма двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся. Доказать критерий Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, используя критерий Коши сходимости рядов. Доказать, что сумма двух абсолютно сходящихся рядов есть ряд абсолютно сходящийся. Вывести из критерия Коши сходимости рядов необходимое условие сходимости ряда. Убедиться, что признак Даламбера - следствие признака Раабе. Используя критерий Коши сходимости рядов доказать расходимость гармонического ряда. Исследовать на сходимость ряд . Доказать, что если для знакоположительного ряда существует , то существует также = q. Верно ли обратное утверждение? Доказать, что ряд чисел, обратных членам арифметической прогрессии, расходится. Исследовать сходимость ряда а); б). Доказать, что рядсходится, если знакоположительный рядсходится. Верно ли обратное утверждение? Доказать, что если ряды исходятся, то ряды ; сходятся. Доказать, что если , а ¹ 0, то рядрасходится. Доказать, что если знакоположительный ряд сходится, причем последовательность ( ) монотонно убывает, то . Является ли сходящимся ряд, если при р = 1,2,3, …? Можно ли утверждать, что ряд расходится, если а) по признаку Даламбера ряд расходится? б) по радикальному признаку Коши ряд расходится? Может ли разность двух расходящихся рядов сходиться? Какие признаки сходимости рядов основаны на сравнении ряда с геометрической прогрессией? Может ли расходиться последовательность сумм остатков сходящегося ряда? Привести пример сходящегося знакоположительного ряда, для которого ряд сходится. Может ли ряд сходиться, а ряд расходиться? Может ли знакочередующийся ряд, общий член которого стремится к нулю, расходиться? Если в абсолютно сходящемся ряде изменить знаки на противоположные у произвольного числа членов, то нарушится ли при этом абсолютная сходимость ряда? В сходящемся знакопостоянном ряде у бесконечного множества членов изменили знаки на противоположные. Будет ли сходиться полученный таким образом ряд? Ряд сходится условно. Изменится ли его сумма, если в нем поменять местами конечное число членов? Из гармонического ряда убрали все дроби, содержащие 9 в знаменателе. Будет ли оставшийся ряд сходиться? Приведите пример расходящегося ряда, который можно превратить в сходящийся путем расстановки скобок. Дан сходящийся ряд . Каждый член ряда представляет собой сумму конечного числа слагаемых: ), причем внутри каждых скобок все числа одного знака. Можно ли в этом ряде раскрыть скобки? Сходится ли ряд, составленный из всех положительных членов условно сходящегося ряда? Сходится ли ряд, составленный из всех отрицательных членов абсолютно сходящегося ряда? Сходится ли ряд, составленный из всех положительных членов абсолютно сходящегося ряда? Сходится ли ряд, составленный из всех отрицательных членов условно сходящегося ряда? Всегда ли сходится произведение двух условно сходящихся рядов? Всегда ли сходится произведение двух сходящихся рядов? Почему отбрасывание или добавление конечного числа слагаемых к данному ряду не влияет на его сходимость? Почему признак Даламбера только достаточное условие сходимости ряда? Даны два знакоположительных расходящихся ряда. Что можно сказать о сходимости рядов: а) , б). Можно ли для установления абсолютной сходимости пользоваться признаками Даламбера и Коши? Доказать, что члены условно сходящегося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся. Верно ли, что разность двух абсолютно сходящихся рядов есть ряд абсолютно сходящийся? Некоторый ряд остается сходящимся при любой перестановке его членов. Что можно сказать о характере сходимости? Можно ли из условно сходящегося ряда путем перестановки его членов получить расходящийся ряд? Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 1. На его катете как на гипотенузе строится подобный ему треугольник. Исследовать на сходимость ряд, составленный из длин катетов этих треугольников. В прямой круговой конус, радиус которого R, а высота H, последовательно вписаны шары. Найти длины радиусов этих шаров и составить из них ряд. Найти сумму объемов всех шаров и сравнить с объемом конуса. Криволинейная фигура ограничена дугами касающихся окружностей радиуса 1 и прямой, касающейся этих окружностей. В эту фигуру последовательно вписываются окружности максимально возможного радиуса. Очевидно, что длины диаметров этих окружностей образуют ряд, сумма которого равна 1. Написать этот ряд. Каков должен быть знаменатель прогрессии с первым членом 1, чтобы ряд, составленный из остатков её имел сумму, равную ? Покажите, что если остатки ряда образуют геометрическую прогрессию, то и сам ряд является геометрической прогрессией. Напишите геометрическую прогрессию с первым членов b, сумма которой равна a. Всегда ли это возможно?