Контрольная работа
дисциплина «Математика»
для юристов
1) Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы
и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:
1. Из третей строки вычитаем вторую умноженную на 2:
2. Из первой строки вычитаем вторую умноженную на 3:
3. Из первой строки вычитаем третью умноженную на 4:
4. Первую строку переносим ниже третей
; 
; 
, где 
и 
любые числа; 
В данном случае, система имеет бесконечное множество решений.
2) Решить систему
а) методом Крамера;
б) с помощью обратной матрицы
а) Методом Крамера
1. Найдем det A
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3 , умноженные на 3.
Разлагаем определитель по элементам третьей строки.
2. Найдем det A1
Определитель det A1 получается из определителя det A, путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 6.
Разлагаем определитель по элементам второй строки.
3. Найдем det A2
Определитель det A2 получается из определителя det A, путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3 , умноженные на 12.
Разлагаем определитель по элементам третьей строки.
4. Найдем det A3
Определитель det A3 получается из определителя det A, путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2 , умноженные на 4.
Разлагаем определитель по элементам третьей строки.
б) с помощью обратной матрицы
Запишем систему уравнений в матричной форме A * X = B
Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений
Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде:
Определитель матрицы А уже найден и равен:
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A-1 существует.
· Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11 . В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M11) элемента a11.
Так как сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.
A11 = (+1 * M 11 = (+1 * ( -2) = -2
Аналогично находятся все члены матрицы А
A12 = (+2 * M 12 = (+2 * ( -1) = 1
A13 = (+3 * M 13 = (+3 * 3 = 3
A21 = (+1 * M 21 = (+1 * 1 = -1
A22 = (+2 * M 22 = (+2 * ( -2) = -2
A23 = (+3 * M 23 = (+3 * 6 = -6
A31 = (+1 * M 31 = (+1 * ( -2) = -2
A32 = (+2 * M 32 = (+2 * ( -1) = 1
A33 = (+3 * M 33 = (+3 * 8 = 8
Запишем обратную матрицу
Вернемся к нашему уравнению, которое мы записали в матричной форме.
A * X = B
Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A-1
A-1 * A * X = A-1 * B
Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная матрица, т. е. A-1 * A = Е, следовательно
X = A-1 * B
3) Обратить матрицы
а)
Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений
Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде:
Найдем det A
Разлагаем определитель по элементам третьей строки.
M11 =1
A11 = (+1 * M 11 = (+1 * 1 = 1
M12 =0
A12 = (+2 * M 12 = (+2 * 0 = 0
M13 =0
A13 = (+3 * M 13 = (+3 * 0 = 0
M21 =2
A21 = (+1 * M 21 = (+1 * 2 = -2
M22 =1
A22 = (+2 * M 22 = (+2 * 1 = 1
M23 =0
A23 = (+3 * M 23 = (+3 * 0 = 0
M31 =7
A31 = (+1 * M 31 = (+1 * 7 = 7
M32 =2
A32 = (+2 * M 32 = (+2 * 2 = -2
M33 =1
A33 = (+3 * M 33 = (+3 * 1 = 1
4) Найти матрицу Х из уравнения
а) 
Х = 
;
A * X = B
Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A-1
A-1 * A * X = A-1 * B
M11 =3
A11 = (+1 * M 12 = (+1 * 3 = 3
M12 =1
A12 = (+2 * M 13 = (+2 * 5 = -1
M21 =5
A21 = (+1 * M 21 = (+1 * 1 = -5
M22 =2
A22 = (+2 * M 22 = (+2 * 2 = 2
Произведение обратной матрицы на исходную есть единичная матрица, т. е. A-1 * A = Е, следовательно
X = A-1 * B
б) X
= 
;
X * A= B
Умножим левую и правую часть нашего матричного уравнения на A-1
X * А * A-1=B * A-1
Найдем матицу A-1, обратную к матрице А, методом алгебраических дополнений
Обратную матрицу A-1, будем искать в следующем виде:
Найдем det A
Разлагаем определитель по элементам второго столбца.
M11 = 1
Так как сумма номера строки и номера столбца, на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное ( 1 + 1 = 2 ) и выражение ( -1 )1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.
A11 = (+1 * M 11 = (+1 * 1 = 1
M12 = 2
A12 = (+2 * M 12 = (+2 * 2 = -2
M13 = -3
A13 = (+3 * M 13 = (+3 * ( -3) = -3
M21 = 0
A21 = (+1 * M 21 = (+1 * 0 = 0
M22 = 2
A22 = (+2 * M 22 = (+2 * 2 = 2
M23 = -2
A23 = (+3 * M 23 = (+3 * ( -2) = 2
M31 = 1
A31 = (+1 * M 31 = (+1 * 1 = 1
M32 = 2
A32 = (+2 * M 32 = (+2 * 2 = -2
M33 = -1
A33 = (+3 * M 33 = (+3 * ( -1) = -1
X * А * A-1=B * A-1
X =B * A-1
5) Вычислить определители
а)
;
Для решения используем Правило Саррюса
б) 
.
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 .
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 1 .
Разлагаем определитель по элементам первой строки.
= 2 detC1
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 .
К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 .
Разлагаем определитель по элементам первой строки.
6) Найти ранг матрицы А = 
Найдём ранг матрицы методом элементарных преобразований. Приведем матрицу к виду, когда будет понятно, какой у матрицы ранг (приведем к трапециевидной матрице равного ранга)
Из второй строки вычтем первую умноженную на 
Из третей строки вычтем первую умноженную на 
Из четвёртой строки вычтем первую умноженную на 
Из третьей строки вычтем вторую умноженную на 
Из четвёртой строки вычтем вторую умноженную на
Ранг матрицы равен 4
7) С помощью теоремы Лапласа вычислить определитель 
.
Разлагаем определитель по элементам второй строки.
Вычитаем из третьего столбца первый:
8) Вычислить
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
Из первого замечательного предела следует
9) Найти производные
а) y = x2
;
б) у = Ln(x2 + 2x).
10) Исследовать функцию 
.
Решение:
1. Область определения функции 
, то есть 
. Точка разрыва 
. Вычислим односторонние пределы:
, 
- вертикальная асимптота
2. Точки пересечения с осями координат
Ох: 
, точка (-1;0)
Оy: 
, точка (0;-0,5)
3. Функция четная. Симметричен относительно асимптоты
4. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную.
Критическая точка x=2. Исследуем знак производной на
интервалах, на которые критическая точка делит область определения функции.
меньше ноля. Функция убывает.
меньше ноля. Функция убывает.
5. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.
Приравниваем к нулю и находим критическую точку
x=2
больше. Функция выпуклая.
меньше ноля.. Функция вогнутая
6. Строим график и асимптоту отмечая ключевые точки
11) Вычислить
a) ∫(х2 + 2х + 
)dx;
, где 
b) ∫е5хdx;
, где
c) 
.
, где
12) Студент пришел на экзамен и знает 30 вопросов из 35. Найти вероятность того, что он верно ответит на три заданные ему вопроса. Найти вероятность того, что на все три вопроса он ответит неверно.
Решение:
Число N всех равновероятных ответов студента на три вопроса из 35 возможных:
Число верных ответов на три вопроса
Число неверных ответов на три вопроса
Cледовательно, вероятность верно ответить на три вопроса
Cледовательно, вероятность неверно ответить на три вопроса
13) В трех урнах имеются белые и черные шары. В 1-ой урне 3 белых и 1 черный шар, во второй 6 белых и 4 черных, в третьей 9 белых и 1 черный. Из наугад выбранной урны случайным образом выбирается шар. Найти вероятность того, что он белый.
Пусть A - cобытие, состоящее в том, что взятый шар окажется белым, а 
, 
и 
- гипотезы, что он был взят из 1-й, 2-й или 3-й урны.
Вероятности указанных гипотез соответственно равны:
, здесь 
- количество шаров в 1-й, 2-й или 3-й урне.
Из условия задачи следует, что:
Используя формулу полной вероятности, получим искомую вероятность вытащить белый шар:
14) Случайная величина Х задана рядом распределения:
Х | -2 | -1 | 0 | 1 |
0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,5 |
Найти М(Х), D(Х), М(1-3Х), D(1-3X).
Решение:
1) Найдем математическое ожидание M(x)
2) Найдем дисперсию D(x)
3) Найдем математическое ожидание M(1-3X)
4) Найдем дисперсию D(1-3X)
