Высшая математика

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Контрольная работа №3

для экономических специальностей заочной формы обучения

Вариант 10

1. Пяти полевым радиостанциям разрешено во время учений работать на 6 радиоволнах. Выбор волны на каждой станции производится наудачу. Найти вероятность того, что будут использованы различные радиоволны.

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности. Определим событие А – будут использованы различные радиоволны.

где n – общее число исходов

m – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.

Определим значения n и m:

Каждая из радиостанций может использовать любую частоту, т. е.

n = 6*6*6*6*6

Число перестановок 5 предметов на 6 местах равно:

m = 6*5*4*3*2 = 720 = 6!

Следовательно, искомая вероятность равна:

2. Девушка забыла последнюю цифру номера телефона своего жениха и набрала ее наугад. Определить вероятность того, что ей придется набирать номер не более трех раз.

Решение:

Определим событие А – девушке пришлось набирать номер не более трех раз. Это событие состоит из 3 независимых событий:

– набрала верный номер с первого раза;

– набрала верный номер со второго раза;

– набрала верный номер с третьего раза;

Тогда искомая вероятность может быть найдена как сумма:

Определим вероятности элементарных событий:

– набрала верный номер с первого раза;

Вероятность угадать одну цифру из 10 равна

– набрала верный номер со второго раза;

Вероятность этого события определим, пользуясь теоремой о произведении вероятностей. Так, чтобы угадать номер телефона со второй попытки должно произойти два последовательных события: не угадал первую цифру и угадал вторую. Вероятность «неугадать» первую цифру равна (9 из 10 цифр неправильные), а угадать вторую равна (одна цифра из 10 уже выбрана в первой попытке, следовательно, осталось 9 и из них только одна правильная). Следовательно,

Рассуждая аналогичным образом, найдем вероятность «угадывания» цифры с третьей попытки:

Таким образом, вероятность события А равна:

3. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

Решение:

Воспользуемся формулой полной вероятности:

где

А – событие, вероятность которого необходимо определить.

– гипотезы

– вероятности гипотез

– вероятность наступления события А, при выборе i-ой гипотезы.

Определим событие А – наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

Гипотезы заключаются в выборе соответственно 1, 2, 3 ящика. Эти события равновероятны, следовательно . Найдем условные вероятности:

Вероятность извлечь стандартную деталь из первого ящика равна ; из второго – , из третьего – .

Таким образом, искомая вероятность равна:

4. Решить задачи, используя формулу Бернулли и теоремы Муавра-Лапласа.

а) Вероятность появления некоторого события в каждом из 5 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления этого события по крайней мере 3 раза.

б) Всхожесть семян данного сорта растений составляет 90%. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян число проросших будет: 1) равно 800, 2) заключено между 805 и 820.

Решение:

а) Воспользуемся формулой Бернулли. Определим событие А – указанное событие появлялось по крайней мере 3 раза из 5, т. е. 3, 4 или 5.

Вычислим вероятности этих событий и найдем вероятность исходного, воспользовавшись формулой суммы. Формула Бернулли:

По условию задачи p = 0,2. Откуда q = 1 – p = 0,8, n = 5, а m последовательно принимает значения 3, 4, 5.

Т. о.

Следовательно,

б)

1) Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа, которая применяется вместо формулы Бернулли при большом количестве испытаний.

Согласно условию задачи p = 0,9. Откуда q = 1 – p = 0,1, n = 900, а k=800. Следовательно,

2) воспользуемся интегральной функцией Лапласа

Вычислим

Тогда искомая вероятность равна:

При решении задания б) использованы таблицы локальной и интегральной функций Лапласа и их свойства (локальная функция – четная, интегральная – нечетная).

5. Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Вероятность того, что Х примет значение x1 равно 0,3. Найти закон распределения Х, зная математическое ожидание М[X] = 2,7 и дисперсию D[X] = 0,21.

Решение:

Составим таблицу закона распределения

	0,3	Х

Согласно условия дискретная случайная величина может принимать только 2 значения, а следовательно сумма вероятностей должна быть равной 1. Откуда находим Х = 1 – 0,3 = 0,7.

Используя формулы для нахождения математического ожидания и дисперсии, а также их значения, данные в условии задачи. Найдем значения и .

Получили систему двух уравнений с двумя переменными, решая которую и найдем значения и .

Из второго уравнения системы получаем:

Решая квадратное уравнение, получаем два действительных корня: 2,4 и 3. Откуда, значения соответственно равны 3,4 и 2. Учитывая, что по условию задачи x1 < x2, решением данной задачи будут значения 2,4 и 3,4. Окончательно закон распределения имеет вид:

	2,4	3,4
	0,3	0,7

6. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти: а) параметр k; б) математическое ожидание; в) дисперсию.

Решение:

а) параметр k найдем из условия непрерывности функции F(x). Т. е.

Откуда получаем значение параметра k:

Следовательно, функция распределения имеет вид:

б) Математической ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле:

где f(x) – плотность случайной величины, которая равна производной от функции распределения. Т. о.

Откуда получаем математическое ожидание:

в) Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле:

где m – математическое ожидание, т. е.

Откуда

7. Известны математическое ожидание а=9 и среднее квадратичное отклонение s=4 нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность: а) попадания этой величины в заданный интервал (2, 10); б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на d=5.

Решение:

Для вычисления соответствующей вероятности воспользуемся функцией Лапласа.

Значения данной функции в точке х находятся в специальных таблицах.

а) Вероятность попадания в интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины равен:

Следовательно,

б) отклонение d от математического ожидания вычислим по формуле:

Т. е.

8. Из генеральной совокупности извлечена выборка, которая представлена в виде интервального вариационного ряда.

а) Предполагая, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, построить доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью g=0,95.

б) Вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса, используя упрощенный метод вычислений, и сделать соответствующие предположения о виде функции распределения генеральной совокупности.

в) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о нормальности распределения генеральной совокупности при уровне значимости a=0,05.

x	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
n	6	10	35	43	22	15	7

Решение:

а) Вычислим основные числовые характеристики данного вариационного ряда, используя упрощенный метод расчета моментов. Для этого вместо интервального ряда введем дискретный, записав вместо интервалов только середины интервалов, а результаты занесем в таблицу. По упрощенному методу вводим новую переменную

xi	ni	ui	niui
3,3	6	-1,8	-10,8	19,44	-34,99	62,99
3,9	10	-1,2	-12	14,40	-17,28	20,74
4,5	35	-0,6	-21	12,60	-7,56	4,54
5,1	43	0	0	0	0	0
5,7	22	0,6	13,2	7,92	4,75	2,85
6,3	15	1,2	18,0	21,60	25,92	31,10
6,9	7	1,8	12,6	22,68	40,82	73,48
S	138	0	0	98,64	11,66	195,70

Далее, в соответствии с данными таблицы получаем

Однако выборочная дисперсия является смещенной оценкой, т. е. она дает заниженное значение дисперсии генеральной совокупности. Поэтому вместо выборочной дисперсии используют исправленную выборочную дисперсию

В данном случае

Тогда среднеквадратичное отклонение равно

Доверительным интервалом (a,b) для статистического параметра q называется интервал, который с заданной вероятностью g "накрывает" неизвестное значение параметра, т. е.

.

Доверительный интервал для математического ожидания a, в случае нормального распределения с неизвестным средним квадратичным отклонением (точнее, известна только его оценка), имеет вид

,

где t – коэффициент, связанный с распределением Стьюдента и определяемый объемом выборки n и доверительной вероятностью g. Коэффициент t обычно находится из таблиц по заданным степеням свободы k=n–1 и доверительной вероятности g (или уровню значимости a=1–g).

В рассматриваемом случае n = 138, следовательно k = 137. Тогда, при g = 0,95, по таблицам для распределения Стьюдента, находим,

В результате получаем

Отсюда

б) Найдем теперь выборочные значения начальных и центральных моментов:

, .

По упрощенному методу, сначала вычисляется центральный момент для новой переменной mk(u), а затем находят моменты для заданной переменной mk(x) по формуле

.

Между начальными и центральными моментами существует взаимосвязь:

, .

Здесь нужно иметь в виду, что , .

Найдем начальные моменты по данным таблицы:

Тогда

Зная моменты 3-го и 4-го порядков, можно вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс:

Асимметрия положительна и имеет достаточно большое значение, что свидетельствует о том, что распределение характеризуется значительной правосторонней асимметрией. Отрицательный эксцесс указывает на более плосковершинное распределение по сравнению с нормальным. Его абсолютное значение очень сильно отличается от 0.

Определим теперь значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса. Для этого вычислим погрешность вычислений по формулам

Посмотрим теперь, попадают ли найденные значения в "трехсигмовый" интервал:

Из полученных неравенств следует, что коэффициент асимметрии значимо отличается от нуля, есть основания полагать, что распределение генеральной совокупности не является нормальным, однако эксцесс значимо отличается от нуля, поэтому хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения.

в) Критерием согласия называется критерий поверки гипотезы о предполагаемом законе распределения. В соответствии с критерием Пирсона сначала вычисляется величина

,

где pi – вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения. Заметим, что c2-распределение можно применять только при достаточно большом объеме выборки (n > 50) и достаточно больших частотах (ni ³ 5). Ту группу вариационного ряда, для которых последнее условие не выполняется, объединяют с соседней и, соответственно, уменьшают число интервалов.

i	xi–xi+1	ni
1	3,0-3,6	6	-0,4934	-0,4616	0,0318	0,1908	176,87
2	3,6-4,2	10	-0,4616	-0,3554	0,1062	1,062	75,22396
3	4,2-4,8	35	-0,3554	-0,136	0,2194	7,679	97,20498
4	4,8-5,4	43	-0,136	0,136	0,272	11,696	83,78424
5	5,4-6,0	22	0,136	0,3554	0,2194	4,8268	61,10027
6	6,0-6,6	15	0,3554	0,4616	0,1062	1,593	112,8359
7	6,6-7,2	7	0,4616	0,4934	0,0318	0,2226	206,3484
		138			0,9868	27,2702	813,3678

В предположении, что имеет место нормальное распределение, были оценены два параметра этого распределения: и . Если изучаемое распределение подчинено нормальному распределению, то вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала (xi<X<xi+1), находится по формуле

,

где

– функция Лапласа, значения которой табулированы и приводятся в таблицах. Следует отметить, что функция Лапласа является нечетной функцией, т. е. F(–x)=–F(x).

Из расчетной таблицы видно, что

Теперь найдем критическое значение . Поскольку у предполагаемой модели были неизвестны оба параметра, поэтому k=2; при расчете критерия использовались восемь интервалов r=7 Таким образом, число степеней свободы n=r–1–k=4 При заданном уровне значимости из таблиц для c2-распределения находим

Поскольку , то гипотезу о распределении с равномерной плотностью, следует считать неправдоподобной.

9. Методом наименьших квадратов подобрать функцию по табличным данным и сделать чертеж.

x	0	2	4	6	8	10	12
y	1280	635	324	162	76	43	19

Решение:

Выполним линеаризующую подстановку:

Тогда исходная таблица в новых переменных будет иметь вид:

v	0	2	4	6	8	10	12
u	7,1546	6,4536	5,7807	5,0876	4,3307	3,7612	2,9444

Используя МНК построим линейную зависимость между v и u, а затем выполним обратный переход к переменным у и х с помощью обратного преобразования: , где и – коэффициенты линейной модели.

Для построения линейной модели выполним дополнительные расчеты:

n = 7

Составим систему для нахождения коэффициентов линейной регрессии:

или

Решая систему получаем

Выполним обратный переход:

Т. о. искомая функция имеет вид:

По полученным данным выполним чертеж. Построение выполнено в программе Excel. При этом на графике отображается коэффициент корреляции, значение которого очень близко к 1, что говорит о хорошем качестве построенной функции.