Рабочая программа дисциплины «Элементы высшей математики»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Санкт-Петербургский промышленно-экономический колледж»

рабочая программа

дисциплины «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»

для специальности 230105.51 Программное обеспечение

вычислительной техники и автоматизированных систем

базовый уровень

Максимальная нагрузка по дисциплине - 200

Всего часов на дисциплину - 155

Занятия на уроках - 105

Лабораторно-практические занятия - 50

Самостоятельная работа - 45

Санкт-Петербург

2009 г.

Составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 230105.51 Программное обеспечение ВТ и АС.

УТВЕРЖДЕНА Научно-методическим советом колледжа «31» августа 2009 г. Зам. директора по НМР ___________

РАССМОТРЕНО И ОДОБРЕНО на заседании цикловой комиссии Математики и общетехнических дисциплин Протокол № 1 от_31.08.2009 г. Председатель комиссии ________________

 

Автор:		- преподаватель Санкт-Петербургского промышленно-экономического колледжа
Рецензенты:		- преподаватель Санкт-Петербургского промышленно-экономического колледжа
		-

Рабочая программа переутверждена на _________/__________ учебный год без изменений и дополнений

Зам. Директора по УМР____________________, протокол №________ от «_____»__________год.

Рабочая программа переутверждена на _________/__________ учебный год без изменений и дополнений

Зам. Директора по УМР____________________, протокол №________ от «_____»__________год.

Рабочая программа переутверждена на _________/__________ учебный год без изменений и дополнений

Зам. Директора по УМР____________________, протокол №________ от «_____»__________год.

1. Пояснительная записка

При решении современных инженерно-технических и экономических задач используется сложный математический аппарат и развитые методы их решения.

Учебная дисциплина «Элементы высшей математики» является естественнонаучной дисциплиной, обеспечивающей общеобразовательный уровень подготовки специалиста.

Основное назначение дисциплины «Элементы высшей математики» - это получение представления о постановке математических задач, имеющих единственное решение, изучение алгоритмов ряда методов, позволяющих решать наиболее часто встречающиеся прикладные задачи. К таким задачам относятся: методы решения систем линейных алгебраических уравнений; основные методы дифференцирования и интегрирования; методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и т. д.

Изучив дисциплину, студенты должны уметь использовать изученные методы для решения конкретных задач.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление:

- о роли и месте знаний по дисциплине «Элементы высшей математики» при освоении общепрофессиональных и специальных дисциплин по выбранной специальности и в сфере профессиональной деятельности;

- о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

знать:

- основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, теории комплексных чисел;

уметь:

- производить операции над матрицами и определителями;

- решать системы линейных уравнений;

- производить действия с векторами;

- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости;

- вычислять производные и дифференциалы, неопределенные и определенные интегралы;

- исследовать на сходимость числовые ряды, разлагать элементарные функции в ряд Тейлора;

- находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных, вычислять двойные интегралы;

- решать обыкновенные дифференциальные уравнения;

- пользоваться основными понятиями теории комплексных чисел.

При изучении дисциплины необходимо постоянно обращать внимание на ее прикладной характер, показывать, где и когда изучаемые теоретические положения и практические навыки могут быть использованы в будущей практической деятельности.

Для закрепления знаний студентов рабочей программой дисциплины «Элементы высшей математики» предусматривается проведение 50 часов практических.

В содержании учебной дисциплины по каждой теме приведены требования к формируемым знаниям и умениям, а также представлен перечень возможных видов внеаудиторных самостоятельных работ.

Изучение дисциплины завершается экзаменом.

2. Тематический план

Наименование разделов и тем	Количество часов
Макс нагрузка студента	Всего	В т. ч. аудиторных по видам учебных занятий	Самост. работа студентов
Лекции	Практ. занят.	Лаб. работы	Семи-нары
1	2	3	4	5	6	7	8
Введение	1	1	1
Тема 1. Линейная алгебра	19	13	11	2			6
Тема 2. Аналитическая геометрия	15	12	8	4			3
Тема 3. Дифференциальное и интегральное исчисления	70	54	30	24			16
Тема 4. Комплексные числа	18	16	12	4			2
Тема 5. Дифференциальные уравнения	30	24	18	6			6
Тема 6. Числовые и степенные ряды	26	20	16	4			6
Тема 7. Функции многих переменных	20	16	11	4			4
Зачетная контрольная работа	4	2		2			2
Итого по дисциплине:	200	155	105	50	*	*	45

3. Содержание учебного материала

ВВЕДЕНИЕ

Предмет, задачи и содержание курса. Порядок изучения и взаимосвязь с другими дисциплинами учебного плана. Теоретическое и практическое значение дисциплины в подготовке спе­циалистов. Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов. Ли­тература, используемая при изучении дисциплины.

Тема 1. Линейная алгебра

Студент должен знать:

- определение матрицы, действия над матрицами и их свойства;

- определение определителя матрицы, свойства, правила вычисления;

- определение минора, алгебраического дополнения, обратной матрицы

- типы простейших матричных уравнений;

- различные методы решения систем линейных уравнений с n-неизвестными;

- способ решения систем линейных уравнений в матричной форме;

- способ решения систем линейных уравнений по формулам Крамера;

- способ решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Студент должен уметь:

- выполнять операции над матрицами;

- вычислять определители;

- разлагать определитель по элементам любой строки и любого столбца;

- находить обратную матрицу;

- решать системы линейных уравнений в матричной форме, методом Крамера, методом Гаусса.

Содержание учебного материала:

Определение матрицы. Виды матриц. Действия с матрицами. Законы действий с матрицами. Определитель квадратной матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратной матрицы. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Свойства определителей. Обратная матрица. Обращение матриц.

Простейшие матричные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным способом. Теорема Крамера. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практическая работа № 1. Нахождение линейной комбинации матриц, вычисление определителей, решение систем линейных уравнений.

Самостоятельная работа: решение матричных уравнений, вычисление определителей, решение системы по формулам Крамера

Тема 2. Аналитическая геометрия

Студент должен знать:

- определение декартовой системы координат (на плоскости и в пространстве),

- формулы для нахождения расстояния между двумя точками,

- задачу о делении отрезка в заданном отношении;

- определение, виды и операции над векторами;

- определение, свойства, вычисление и геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведения векторов;

- различные виды уравнений прямой на плоскости, взаимное расположение прямых на плоскости;

- определения и канонические уравнения кривых второго порядка.

Студент должен уметь:

- находить расстояние между двумя точками,

- выполнять действия над векторами,

- пользоваться формулой для нахождения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов при решении задач;

- составлять различные уравнения прямой, использовать условие параллельности и перпендикулярности прямых при решении задач,

- составлять уравнения кривых второго порядка, находить основные характеристики, строить кривые второго порядка на плоскости.

Содержание учебного материала:

Декартова система координат. Формула расстояния между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы, их виды, линейные операции над векторами. Координаты вектора, длина вектора. Скалярное произведение векторов, свойства. Ориентация прямой, плоскости, пространства. Векторное произведение векторов, свойства, вычисление. Смешанное произведение векторов, свойства, вычисление. Определение линейного уравнения двух переменных. Виды уравнений прямой (общее, в отрезках, с угловым коэффициентом, пучка прямых, через две точки). Расположение прямых на плоскости. Кривые второго порядка (окружность, эллипс, парабола, гипербола)

Практическая работа № 2. Векторы.

Практическая работа № 3. Уравнения прямых, кривые второго порядка.

Самостоятельная работа: нахождение скалярного, векторного и смешанного произведений, нахождение уравнений прямых, угла между прямыми, составление уравнений кривых второго порядка.

Тема 3. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной

действительной переменной

Студент должен знать:

- понятие функции; способы ее задания; основные элементарные функции и их свойства, определение обратной функции, способ ее нахождения;

- определение предела функции, свойства пределов;

- основные способы вычисления пределов;

- замечательные пределы;

- определение непрерывной функции и точек разрыва;

- основные теоремы о непрерывных функциях;

- определение производной функции, свойства, физический и геометрический смысл;

- правила дифференцирования и производные наиболее распространенных функций;

- понятие сложной функции, правило дифференцирования сложной функции;

- основные определения и теоремы о монотонности, экстремумах функции, выпуклости и вогнутости графика функции, асимптотах;

- определение дифференциала функции;

- определение производных и дифференциалов высших порядков;

- определение неопределенного, определенного и несобственного интегралов, основные табличные интегралы;

- свойства определенного, неопределенного и несобственного интегралов;

- методы интегрирования (непосредственное, замены переменной, интегрирования по частям), формулу Ньютона-Лейбница

- геометрический смысл определенного интеграла, его приложения в геометрии.

Студент должен уметь:

- находить точки разрыва функции;

- вычислять пределы (избавляться от неопределенностей, применять замечательные пределы)

- дифференцировать сложные функции;

- проводить полное исследование функции и строить их графики;

- интегрировать, составлять уравнение кривой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку;

- находить закон движения тела при помощи неопределенного интеграла;

- находить площади фигур, объемы тел вращения при помощи определенного интеграла

- применять дифференциал к приближенным вычислениям значений функции.

- вычислять несобственные интегралы.

Содержание учебного материала:

Понятие функции, способы ее задания. Основные элементарные функции, обратная функция. Понятие о пределе функции, свойства, способы вычисления. Замечательные пределы. Непрерывность функции и точки разрыва, основные теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Определение производной, ее физический и геометрический смысл, свойства. Правила дифференцирования. Нахождение производной сложной функции. Определение возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции. Исследование функции на монотонность по первой производной. Определение точек экстремума. Необходимость и достоверность условия наличия экстремума. Исследование функций на экстремумы с помощью первой производной. Определение производной n-го порядка. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Исследование функции на выпуклость и вогнутость, точки перегиба с помощью второй производной. Нахождение асимптот графических функций и примеры. Алгоритм полного исследования функции и построение графика. Дифференциал функции, свойства, вычисление. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Первообразная функции. Определение неопределенного интеграла, свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование методом подстановки (замены переменной). Интегрирование по частям. Приложения неопределенного интеграла. Определение интеграла как предела интегральной суммы. Геометрический смысл определенного интеграла, свойства. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом подстановки, по частям. Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. Определение несобственного интеграла, его сходимость и расходимость, свойства.

Практическая работа № 4. Вычисление пределов.

Практическая работа № 5. Исследование функции с помощью производных первого и второго порядков.

Практическая работа №6. Нахождение производных и дифференциалов. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Практическая работа № 7. Нахождение неопределенного интеграла.

Практическая работа № 8. Вычисление определенного интеграла.

Практическая работа № 9. Нахождение площадей плоских фигур, объемов тел вращения, вычисление пути, пройденного телом.

Самостоятельная работа: вычисление пределов, полное исследование функции, вычисление дифференциала. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Нахождение неопределенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Нахождение площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

Тема 4. Комплексные числа

Студент должен знать:

- определение комплексного числа;

- место комплексного числа, его роль в множестве чисел;

- различные формы задания комплексного числа;

- действия над комплексными числами

Студент должен уметь:

- выполнять действия над комплексными числами в разных формах;

- переходить от одной формы представления комплексных чисел к другой;

- решать квадратные уравнения с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел.

Содержание учебного материала:

Развитие понятия числа. Основные определения (сопряженные, противоположные комплексные числа, условие равенства комплексных чисел). Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами. Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая формула комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и наоборот. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме. Геометрическая иллюстрация. Показательная форма комплексного числа. Тождество Эйлера.

Практическая работа № 10. Действия над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи.

Практическая работа № 11. Показательная форма. Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа.

Самостоятельная работа: действия над комплексными числами. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Показательная форма. Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа.

Тема 5. Дифференциальные уравнения

Студент должен знать:

- определение дифференциального уравнения, его общее и частное решения;

- формулировку задачи Коши для дифференциального уравнения, ее геометрический смысл;

- основные виды дифференциальных уравнений первого и второго порядков, способы их решения

Студент должен уметь:

- решать дифференциальные уравнения первого и второго порядков

Содержание учебного материала:

Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения, определение дифференциального уравнения. Задача Коши для уравнения первого порядка. Ее геометрический смысл. Дифференциальное уравнение первого порядка: с разделенными и разделяющимися переменными, линейные, однородные. Дифференциальные уравнения второго порядка: простейшие, линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Практическая работа № 12. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

Практическая работа № 13. Решение дифференциальных уравнений второго порядка.

Самостоятельная работа: решение дифференциальных уравнений первого порядка, решение дифференциальных уравнений второго порядка.

Тема 6. Числовые и степенные ряды

Студент должен знать:

- определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов;

- признаки сходимости рядов: сравнения, Даламбера, Коши;

- определение знакочередующихся рядов, признак Лейбница;

- определение абсолютной и условной сходимости числовых рядов;

- определение функциональных последовательностей и рядов;

- определение степенного ряда, радиуса и области сходимости;

- определение ряда Тейлора, формулы разложения элементарных функций.

Студент должен уметь:

- исследовать на сходимость ряды с положительными членами;

- исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ряды;

- вычислять радиус сходимости степенного ряда, исследовать поведение степенного ряда на концах интервала сходимости;

- разлагать элементарные функции в ряд Тейлора.

-  

Содержание учебного материала:

Числовой ряд, свойства, сумма ряда, остаток ряда. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (сравнения, Даламбера, Коши, Лейбница). Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды и их свойства. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Поведение степенного ряда на концах интервала сходимости. Область сходимости. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Практическая работа № 14. Исследование числовых рядов на сходимость.

Самостоятельная работа: нахождение области сходимости степенных рядов.

Тема 7. Функции многих переменных

Студент должен знать:

- определение функции многих переменных, их непрерывность,

- определение частных производных и полного дифференциала функции нескольких переменных;

- определение двойного и повторного интеграла (определение, свойства)

Студент должен уметь:

- вычислять частные производные и дифференциалы;

- находить экстремумы функции многих переменных;

- сводить двойной интеграл к повторному;

- вычислять площади и объемы с помощью двойных интегралов

Содержание учебного материала:

Функции многих (двух) переменных, их предел, непрерывность, геометрическое изображение, частные производные, полный дифференциал. Нахождение экстремумов функций многих переменных. Двойной интеграл, его свойства и геометрический смысл. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов.

Практическая работа № 15. Нахождение экстремумов функции двух переменных. Вычисление двойных интегралов.

Самостоятельная работа: нахождение частных производных функций нескольких переменных.

4. СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ

Наглядный учебный материал (плакаты, стенды).

Персональная вычислительная техника.

Дидактический материал.

Учебные пособия.

5. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

1. Матрицы, их виды.

2. Действия над матрицами.

3. Определитель матрицы. Свойства.

4. Миноры, алгебраические дополнения элементов матриц. Теорема о разложении определителя.

5. Обратная матрица. Алгоритм ее нахождения.

6. Решение системы линейных уравнений в матричной форме и по формулам Крамера.

7. Скалярное произведение векторов, свойства.

8. Векторное произведение векторов, свойства, вычисления.

9. Смешанное произведение векторов, свойства, вычисления.

10. Уравнения прямых.

11. Эллипс.

12. Парабола.

13. Гипербола.

14. Предел функции, свойства.

15. Замечательные пределы.

16. Непрерывность функции. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

17. Производная функции, свойства.

18. Геометрический смысл производной.

19. Исследования функции с помощью 1 и 2 производной.

20. Асимптоты графика функций, их нахождение.

21. Дифференциал.

22. Неопределенный интеграл, свойства.

23. Определенный интеграл, свойства (1-6).

24. Свойства определенного интеграла (6-8). Теорема о среднем значении.

25. Несобственный интеграл, свойства.

26. Комплексные числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

27. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

28. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

29. Формула Эйлера. Показательная форма комплексных чисел.

30. Понятие дифференциального уравнения, его общее и частное решение.

31. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.

32. Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

33. Однородные дифференциальные уравнения I порядка.

34. Простейшие дифференциальные уравнения II порядка, линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

35. Числовые ряды, их свойства.

36. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

37. Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость.

38. Функциональные ряды.

39. Степенные ряды, область и радиус сходимости.

40. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

41. Функции двух переменных, предел, непрерывность, геометрическое изображение.

42. Частные производные. Нахождение экстремумов функции двух переменных.

43. Двойной интеграл, свойства, геометрический смысл.

44. Сведение двойного интеграла к повторному; замена переменной в двойном интеграле.

6. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант № 1

1. Решить матричное уравнение (А – В)∙Х = (2В + А), если А = , В = .

2. Исследовать функцию и построить график

3. Определить вид кривой второго порядка, найти основные характеристики

4. Решить дифференциальные уравнения
а)
б) ,

5. Определить радиус и область сходимости ряда:

6. Найти неопределенный интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ,

Вариант № 2

1. Решить матричное уравнение (В +С)∙Х = (2В – C), если B = , С = .

2. Исследовать функцию и построить график

3. Определить вид кривой второго порядка, найти основные характеристики

4. Решить дифференциальные уравнения
а)
б) ,

5. Определить радиус и область сходимости ряда:

6. Найти неопределенный интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ,

7. ВАРИАНТ ИТОГОВОГО ТЕСТИРОВАНИЯ

1. Определитель равен:

1) 4; 2) 2; 3) -8; 4) 0

2. В результате умножения матриц и элемент равен:

1) 9; 2) -1; 3) 0; 4) 3

3. Частное от деления комплексных чисел и равно:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (-1; 3) и (-2; -1), имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

5. Уравнение задает на плоскости:

1) гиперболу; 2) параболу; 3) эллипс; 4) окружность. Ответ пояснить.

6. Значение предела равно:

1) -3; 2) ∞; 3) 0; 4) -0,5

7. Значение предела равно:

1) ∞; 2) 0; 3) 0,5; 4) 2

8. Производная функции имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

9. Точка перегиба графика функции имеет координаты:

1) (1; 3); 2) (0; 5); 3) (2; 5); 4) (1; 0)

10. Частная производная первого порядка по переменной x функции

имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

11. Множество всех первообразных функции имеет вид:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

12. Определить, каким интегралом определяется площадь фигуры, изображенной на рисунке, и вычислить ее:

1)

2)

3)

4)

13. Решением дифференциального уравнения является функция:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

14. Сумма первого и третьего членов числового ряда равна:

1) 1; 2) ; 3) ; 4)

15. Относительно сходимости рядов А) и В) можно сказать:

1) ряд А расходится, ряд В сходится;

2) ряд А сходится, ряд В расходится;

3) ряд А расходится, ряд В расходится;

4) ряд А сходится, ряд В сходится;

Таблица ответов:

№ вопроса	№ ответа	№ вопроса	№ ответа
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8		оценка

Таблица ответов (ключ):

№ вопроса	№ ответа	№ вопроса	№ ответа
1	3	9	1
2	1	10	2
3	3	11	3
4	2	12	1 ()
5	1	13	4
6	3	14	2
7	3	15	3
8	2

8. ЛИТЕРАТУРА

Основная:

, ; Высшая математика: Учебник 3-е изд., перераб. и доп. Велби ТК, 2008 Шипачев B. C.Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов 7-е издание, стереотипное — М.: Высшая школа, 2009. — 479 с: Баврин математика: Учебник. – М.: Академия, Высшая школа, 2001. Архипов по математическому анализу. / Под ред. . – М.: Высшая школа, 2000. Ильин математического анализа: В 2 т. – М.: Наука, Физматлит, 2001. Солодовников в экономике: Учебник. : в 2-х т. Ч 1.2/ , ; Рек. Мин. образования РФ. - М, 2001.-367с. Общий курс математики для экономистов: Учебник. /Под ред. проф. . – М.: Инфра-М, 2004. Высшая математика для экономистов. / Под ред. проф. . – М.: ЮНИТИ, 2003. , Суходский задач по математике: Учебник. – М.: Высшая школа, 1978.

Дополнительная:

Тихомиров . Учебный курс для юристов. / , , Б. м., 19с. , Дилигул для техникумов на базе средней школы. Учебное пособие. – М.: Наука, 1989 г. Абчук для менеджеров и экономистов: Учебник/ ; Соот. ГОСТУ. - СПб: Изд-во , 20с.. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебное пособие. : рекомендовано Мин. образования/ ред. . - М, 20с. , Соловейчик . Учебник. - М.: Высшая школа, 1991