Рабочая программа Б.2.1 – Математика (стр. 7 )

17. Определение производной. Условия Коши-Римана.

Вопросы к РКЗ № 2.2

1. Определение дифференциального уравнения, порядок дифференциального уравнения. Какая функция называется решением? Доказать, что является решением д. у. . Дать понятие общего и частного решений.

2. Что называется д. у. первого порядка? Частное и общее решения д. у. первого порядка. Задача Коши, её геометрический смысл. График общего и частного решений. Найти и нарисовать интегральную кривую уравнения , проходящую через точку .

3. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные. Методы их решения.

4. Что называется д. у. второго порядка? Вид его общего решения. Задача Коши для уравнения второго порядка. Дано: . Найти общее решение.

5. Решение уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка: , , .

6. Линейное уравнение второго порядка, однородное и неоднородное. Структура общего решения ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка.

7. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Вывод характеристического уравнения. Решения д. у. в случае равных, разных и комплексных корней характеристического уравнения.

8. Правило отыскания частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью ; ; ; .

9. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные уравнения. Общее решение. Задача Коши. Метод исключения.

Третий семестр.

Второй курс.

Вопросы к РКЗ № 3.1

1. Числовые ряды. Определение сходимости. При каком условии сходится ряд геометрической прогрессии?

2. Как читается необходимый признак сходимости? Что такое гармонический ряд? Выполняется ли для него необходимый признак?

3. Перечислить достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Примеры.

4. Что такое знакочередующиеся ряды? Признак Лейбница.

5. Знакопеременные ряды. Что такое абсолютная и условная сходимость?

6.Приведите пример, когда знакочередующийся ряд расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю.

7.Оцените ошибку, допускаемую при замене суммы ряда суммой его первых n членов. В частности оцените точность такого приближения при n=10.

8.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Найдите область сходимости степенного ряда

9. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложите функцию sin3x в ряд Маклорена.

11. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле.

Вопросы к РКЗ № 3.2

1. Определение случайного события. Классическое и статистическое определение вероятности.

2. Сумма и произведение случайных событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

4. Формула Бернулли. Локальная и интегральная формула Лапласа.

5. Формула Пуассона и условия её применения.

6. Определение дискретной случайной величины. Закон её распределения. Функция распределения.

7. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Их числовые характеристики.

8. Определение непрерывной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

9. Равномерное, показательное и нормальное распределение. Числовые характеристики.

10. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Законы распределения составляющих. Зависимость и независимость составляющих.

11. Числовые характеристики двумерной дискретной случайной величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Коррелированные и зависимые величины

12. Статистический закон распределения случайной величины. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон.

13. Числовые характеристики статистического распределения. Метод моментов точечной оценки параметров распределения.

14. Интервальная оценка параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины, распределённой по нормальному закону

15. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Проверка гипотезы о виде закона распределения по критерию Пирсона.

16. Задано совместное распределение двух случайных величин Х и Y:

а) найдите вероятность события Х > Y;

б) найдите распределение компонент Х и Y и условный закон распределения случайной величины Х при условии, что Y = 0;

в) найдите корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Первый семестр.

Первый курс.

КДЗ № 1.1

Задание 1

Даны матрицы A, B, C, D. 1) Найти матрицы 2A-B, A·B, A·C, D·C.

2) Вычислить определитель матрицы A.

A=, B=, C=, D=.

Задание 2

Дана система линейных уравнений. Решить её тремя способами:

1) методом Крамера; 2) методом Гаусса; 3) матричным методом.

Задание 3

Даны координаты точек: .

Найти: 1) длину вектора ,

2) угол между векторами и ,

3) площадь треугольника ,

4) объём пирамиды ,

5) уравнение плоскости, проходящей через точку C перпендикулярно вектору ,

6) уравнение прямой AB.

A (5, 1, 4 ); B (-7, 6, 5 ); C (3, -4, 3 ); D (0, 2, 9 ).

Задание 4

Найти радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением:

22

КДЗ № 1.2

1. Найти пределы функций:

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.

2. Найти точки разрыва функции , определить вид разрыва

и изобразить график функции в окрестности этих точек.

КДЗ № 1.3

1.Исследовать функции и построить графики: а) ; б) .

2. Найти область определения функции

3. Показать, что , если

4. Найти градиент функции в точке А(1,1) и производную по направлению .

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в области ; .

Второй семестр.

Первый курс.

КДЗ № 2.1

Найти интегралы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

КДЗ № 2.2

1. Дано комплексное число z = . Требуется

а) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

б) найти все значения и изобразить их радиусами-векторами;

в) найти z, ответ записать в тригонометрической, алгебраической и показательной формах.

2.Решить квадратное уравнение и представить его решения в тригонометрической и показательной форме.

3. Вычислить определённые интегралы:

;

4. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

;

5. Найти площадь области, ограниченной данными кривыми:

а) ; б) .

6. Вычислить длину дуги кривой

;

КДЗ № 2.3

1. Решить уравнение .

2. Найти общее решение уравнения .

3.. Найти общее решение уравнения:

а)

б)

4. Найти общее решение уравнения (без нахождения неопределенных коэффициентов).

а)

б)

5. Решить задачу Коши.

y(0) = 0 ; y’ (0) = 0

Второй курс.

Третий семестр.

КДЗ № 3.1

1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

1) 2)

3) 4)

2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится, то указать, абсолютно или условно.

3. Найти область сходимости степенного ряда.

4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать интервал, в котором это разложение имеет место.

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего данному начальному условию .

;

7. Разложить функцию в указанном интервале в неполный ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график функции и график суммы ряда Фурье.

КДЗ № 3.2

1. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов два окажутся выигрышными.

2. Три стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого, второго и третьего стрелка соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Определить вероятность того, что первый и второй стрелки попали, а третий промахнулся.

3. В мастерской имеется 12 моторов. Вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой.

4. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется не менее 100 девочек, если среди поступивших в школы мальчики составляют в среднем 48%.

5. Трос состоит из 200 отдельных стальных жил (проволок). Вероятность того, что одна жила не удовлетворяет техническим условиям, равна 0,015.

Трос относят ко второму сорту, если в нём более четырех дефектных жил. Определить вероятность того, что трос второго сорта.

6. По каналу связи передаются последовательно два сообщения, каждое из которых может быть искажено. Вероятности искажения первого и второго сообщения равны 0,2 и 0,1. Дискретная случайная величина – число правильно переданных сообщений. Найти: закон распределения, числовые характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x).

7. Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f (x), математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале [1, 4]. Построить графики F(x) и f (x).

8. Случайная величина подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 10. Какова дисперсия этой случайной величины, если с вероятностью 0,8 отклонение от математического ожидания по модулю не превышает 0,2?

КДЗ № 3.3

1. Данные наблюдений случайной величины X представлены в виде интервального статистического ряда. Первая строка таблицы – интервалы наблюдавшихся значений с. в. X, вторая – соответствующие им частоты. Требуется:

(1) Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график;

(2) Построить гистограмму и полигон относительных частот;

(3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение;

(4) Предполагая, что исследуемая с. в. X распределена по нормальному закону, найти параметры нормального закона, записать плотность с. в. X и построить её график на одном чертеже с гистограммой (график выравнивающей кривой);

(5) Найти теоретические частоты нормального закона распределения и при уровне значимости α = 0,05 проверить по критерию Пирсона гипотезу о нормальном распределении с. в. X;

(6) Найти с надёжностью (доверительной вероятностью) γ = 0,95 интервальную оценку параметра a = M[X] случайной величины X.

Интервалы	(10; 20)	(20; 30)	(30; 40)	(40; 50)	(50; 60)	(60; 70)	(70; 80)	(80; 90)
Частоты	1	3	22	59	70	36	8	1

2. Вычислить интеграл:

а) по формуле трапеций при n = 10,

б) по формуле Симпсона при n = 6.

Образцы экзаменационных билетов по высшей математике

Первый семестр

1) Определение функции. Область определения и область значений.

1а) Вычислить предел .

2) Признак монотонности функции.

2а) Найти производную ; .

2б) Найти точки экстремума функции двух переменных .

3) Векторное произведение, его свойства, выражение в координатах (вывод).

3а) Найти скалярное и векторное произведения векторов ; .

4) Угол между двумя плоскостями.

4а) Вычислить определитель

Второй семестр

1. Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных и полярных координатах.

1а) Найти площадь области, ограниченной линиями

2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент. Главное значение аргумента.

2а) Найти модуль и главное значение аргумента числа

3. Определение дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Какая функция называется решением? Понятие общего и частного решения.

1а) Доказать, что функция y=sin2x является решением уравнения .

4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка однородные и неоднородные. Структура общего решения ЛОДУ второго порядка.

4а) Найти общие решения уравнений:

Третий семестр

1. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости. Условная сходимость. Примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

1а) Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

2. Определение дифференциальной функции распределения. Её свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

2а) Вероятность того, что самолёт в полёте встретится с грозой, равна

0,02. Найти вероятность того, что в 100 полетах самолёт встретится с грозой ровно 3 раза.

3. Интервальная оценка параметра распределения. Доверительный интервал, доверительная вероятность, точность оценки.

3а) Вычислить с надёжностью 0,95 интервальную оценку математического ожидания нормального распределения, если по выборке объёма 16 вычислена выборочная средняя=20 и исправленное среднее квадратическое отклонение =0,8.

Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Высшая математика» способствует более глубокому усвоению изучаемого курса, формирует навыки исследовательской работы по проблемам естественнонаучных и инженерных дисциплин, ориентирует студента на умение применять полученные теоретические знания на практике и проводится в следующих видах:

- Проработка лекционного материала,

- Подготовка к практическим занятиям,

- Подготовка к аудиторным контрольным работам,

- Подготовка к РКЗ,

- Подготовка к КДЗ,

- Выполнение индивидуальных КДЗ,

- Подготовка к защите КДЗ,

- Подготовка к экзамену.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

1. Письменный лекций по высшей математике. М.:Айриспресс,2007г.

2. , Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.- М.: Наука,2010г.

3. Гмурман вероятностей и математическая статистика. М.:В. ш.,2011г.

4. , Лобанов по вычислительной математике.

М.: В. ш.,2006г.

5. Ракитин по методам вычислений и приложения MATHCAD.-М.: В. ш.,2005г.

б) учебно-методическая литература

6., Жулёва . Пособие по изучению дисциплины ч. I,II. М. РИО МГТУГА 2010.

7. и др. Сб. задач по высшей математике ч.II Пределы, производные, графики. М: РИО МГТУГА, 2003 г.

8. и др. Сб. задач по высшей математике ч. IV Интегралы. Дифференциальные уравнения. М.: РИО МГТУГА 2005

10. и др. Сб. задач по высшей математике ч.V Теория вероятностей. М.: РИО МГТУГА 2003 г.

11. Кислов вопросы по высшей математике. М.: РИО МГТУГА 2008 г.

12. и др. Математика. Ряды. М.: РИО МГТУГА 2007 г.

13. Шипачев по высшей математике. М.: В. ш.,2011г.

14. Самохин логика и теория алгоритмов. Учебное

пособие – М.: МГТУГА, 2003.

в) дополнительная литература

15. Бугров и интегральное исчисление. М: Наука 2010

16. , Овчаров вероятностей и её инженерные приложения. М: Высшая школа 2007

17. и др. Высшая математика в уравнениях и задачах М: Высшая математика 2005.

19. , Семендяев по математике М. (любой год издания)

8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

- Лекционные аудитории, оснащенные компьютером.

9. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

- Компьютерные программы Maple, MathCad и др.