Математика (стр. 2 )

Ответ: , , .

9. Решим неравенство . Решение иррациональных неравенств, так же как и иррациональных уравнений, нужно начинать с определения ОДЗ:

.

Аналогично примеру 6 из билета 1, чтобы не нарушить эквивалентность преобразований при возведении в квадрат, переносим в правую часть неравенства. Тогда получим

.

Далее ход решения существенно отличается от решения иррациональных уравнений. Рассмотрим два случая

Случай 1. Пусть , тогда неравенство очевидно, так как выражение в левой части всегда неотрицательно. С учетом ОДЗ имеем (рис.2, а):

.

Случай 2. Пусть , тогда обе части неравенства, не нарушая эквивалентности, можно возвести в квадрат. В результате получим

.

Найдем корни уравнения

.

По методу интервалов решением неравенства является промежуток и, учитывая условие , получим (рис.2б). Отметим, что полученный промежуток принадлежит ОДЗ.

Объединив ответы первого и второго случаев, получим ответ .

Ответ: .

10. Решим уравнение

.

Начинаем с ОДЗ: . Найдем корни уравнения ; они равны . Отсюда ОДЗ: .

Упростим левую часть уравнения, заменив основание 1/6 на 6, и избавимся от корня:

.

Вынесем (x2 +2x) за скобки. Тогда . Следовательно, корнями уравнения являются и  Þ Þ . Учитывая ОДЗ, получим .

Ответ: .

Билет 3

1. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой и угол между этой касательной и осью абсцисс.

2. Упростить выражение

.

3. Решить уравнение

4. Три числа, третьим из которых является 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то получим арифметическую прогрессию. Найти эти числа.

5. Два бассейна наполняют водой. В одном из них уже имеется 200 м3 воды, а в другом – 112 м3. Через сколько часов количество воды в бассейнах станет одинаковым, если во второй бассейн в час вливается на 22 м3 воды больше, чем в первый?

6. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна см и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти катеты.

7. Найти область определения функции

.

8. Решить уравнение .

9. Решить неравенство

.

10. Решить неравенство .

Решения

1. Уравнение касательной . Найдем

.

Вычислим

и .

Запишем уравнение касательной

.

Обозначим j – угол между касательной и осью . Известно, что , тогда и .

Ответ: уравнение касательной , .

2. Упростим выражение

=

.

Ответ:

3. Решим уравнение . Перенесем в левую часть: .

Воспользуемся формулой

,

тогда уравнение примет вид

или

или

или .

Ответ: , ,

4. Воспользуемся свойствами прогрессий: если три числа (a, b, c) образуют геометрическую прогрессию, то ; если три числа (a, b, c) образуют арифметическую прогрессию, то . Обозначим x и y – первые два числа. Тогда

.

Ответ: две геометрические прогрессии: 3, 6, 12 и 27, 18, 12; две арифметические: 3, 6, 9 и 27, 18, 9.

5. Пусть – искомое число часов; – число кубических метров воды, которая нальется в первый бассейн за время t. К этому моменту во втором бассейне должно быть (х + 88) м3 воды. Скорость заполнения первого бассейна равна м3/ч, а второго бассейна – м3/ч. По условию задачи разность между скоростями составляет 22 м3/ч. Итак, Þ, откуда ч.

Ответ: 4 ч.

6. Дано: DABC – прямоугольный, CM – медиана, CM = см, Найти AC и CB.

Достроим заданный треугольник до прямоугольника CADB (рис.3). Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам, поэтому см. По условию В треугольнике

см; см.

Ответ:

7. Найдем область определения заданной функции:

(знак в первом неравенстве сохраняется, так как основание логарифма больше единицы; второе неравенство является следствием первого, поэтому можно его не рассматривать). Тогда, решив систему, получим (рис.4):

Ответ: .

8. Решим уравнение . Найдем ОДЗ: .

Теперь можно возвести обе части уравнения в квадрат: . Рассмотрим два случая.

Случай 1. или Þ Þ , тогда Þ Þ  и . С учетом ОДЗ получим один корень .

Случай 2. Þ , тогда и данное уравнение корней не имеет.

Ответ: .

9. Решим неравенство

.

Найдем ОДЗ:

, .

Поскольку знаменатель положителен, исходное неравенство сводится к неравенству вида . Воспользуемся формулой

.

Найдем

или

ÞÞ

Þ.

С учетом ОДЗ получим

È

È,  (рис.5).

Ответ: È È,  .

10. Решим неравенство . Найдем ОДЗ:

ОДЗ:

но так как неравенство может выполняться только при поэтому ОДЗ (рис.6) имеет вид

Исходное неравенство: . Поскольку основание логарифма меньше единицы, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Получим

(знак неравенства сохраняется, так как основание логарифма больше единицы). Тогда

С учетом ОДЗ (рис.6).

Ответ: .

Примерное содержание

дополнительных заданий

(с решениями)

1. Построить график функции .

Решение. Область определения функции: .

Если , то , следовательно, .

Если то , поэтому (рис.7).

2. При каких система уравнений с одним неизвестным

совместна?

Решение. Если заданная система совместна и – ее решение, то .

Так как при любых значениях , то С другой стороны, если это условие выполняется, то система совместна, так как имеет, по крайней мере, одно решение:

Ответ: система совместна тогда и только тогда, когда

3. AD и BC – основания трапеции ABCD, О – точка пересечения диагоналей. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно и . Найти площадь трапеции (рис.8).

Решение. Проведем высоты и треугольников AOD и BOC из точки О к основаниям AD = a и BC = b. Тогда Так как подобен , то

Высота трапеции поэтому ее площадь

Так как то

Ответ:

4. Пусть и – корни уравнения

Каковы корни уравнения

(1)

Решение. Обозначим левую часть уравнения (1). Тогда

,

так как – корень уравнения x2 + ax + b = 0. Аналогично

Таким образом, уравнение (1) имеет два различных корня: и . Других решений квадратное уравнение (1) не имеет.

Ответ: ;

5. Доказать, что если , то уравнение

(2)

имеет корень на промежутке (0,1).

Решение. Для решения задачи воспользуемся первой теоремой Больцано – Коши: если функция F(x) непрерывна на промежутке [a, b] и F(a)F(b) < 0, то уравнение F(x) = 0 имеет на промежутке [a, b], по крайней мере, один корень.

Положим

.

Тогда

.

Если то и – корень уравнения (2).

При положим

;

,

где

Если (2 + 3b) < 0, то A < 0 и уравнение (2) имеет корень на промежутке (0, 1/2). Если (2 + 3b) ³ 0, то (4 + 3b) > 0, B < 0 и на промежутке (1/2, 1) имеется корень уравнения (2).

Таким образом, утверждение доказано.

6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений на промежутке .

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

или

, (3)

где .

Наибольшее значение функции на промежутке равно единице и достигается в точке , наименьшее значение, равное , достигается в точке .

Следовательно, уравнение (3) не будет иметь решений на промежутке , если , т. е. при

Ответ:

7. Решить уравнение

Решение. Положим Тогда заданное уравнение примет вид

или

Отсюда или

.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

откуда

Ответ:

8. При каких значениях параметра р уравнение имеет единственное решение?

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Это уравнение имеет корень при любых значениях и не будет иметь других решений в том и только том случае, если уравнение либо не имеет решений, либо имеет единственное решение Первый случай имеет место при второй – при