Вариант 1 (стр. 2 )

В5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

В6. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

В7. Ре­ши­те урав­не­ние .

В8. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В9. На рисунке изображён график функции  и шесть точек на оси абсцисс: х1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек производная функции  положительна?

В10. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­но, что  Най­ди­те длину ребра .

Часть 2.

В11. Найдите , если  и.

В12. Не­ко­то­рая ком­па­ния про­да­ет свою про­дук­цию по цене  руб. за еди­ни­цу, пе­ре­мен­ные за­тра­ты на про­из­вод­ство одной еди­ни­цы про­дук­ции со­став­ля­ют  руб., по­сто­ян­ные рас­хо­ды пред­при­я­тия  руб. в месяц. Ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия (в руб­лях) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . Опре­де­ли­те наи­мень­ший ме­сяч­ный объём про­из­вод­ства q (еди­ниц про­дук­ции), при ко­то­ром ме­сяч­ная опе­ра­ци­он­ная при­быль пред­при­я­тия будет не мень­ше 1 000 000 руб.

В13. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

В14. Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите точку максимума функции .

С1. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2. На ребре СС1 куба отмечена точка Е так, что СЕ:ЕС1=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.

С3. Решите систему неравенств:

Воркута Декабрь 2013

Вариант 5.

Часть 1.

В1. В об­ще­жи­тии ин­сти­ту­та в каж­дой ком­на­те можно по­се­лить че­ты­рех че­ло­век. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ком­нат не­об­хо­ди­мо для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов?

В2. Цена на элек­три­че­ский чай­ник была по­вы­ше­на на 21% и со­ста­ви­ла 3025 руб­лей. Сколь­ко руб­лей стоил чай­ник до по­вы­ше­ния цены?

В3. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с третьей по пятую минуту разогрева.

В4. Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 36 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 м2. В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

Фирма	Цена стек­ла(руб. за 1 м2)	Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)
A	415	75
B	430	65
C	465	60

В5. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;6), (9;6), (7;9).

В6. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной.

В7. Найдите корень уравнения

В8. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В9. На рисунке изображён график функции y=f(x) и семь точек на оси абсцисс: х1, x2, x3, x4, x5, x6, х7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

В10. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми В и Е1.

Часть 2.

В11. Найдите , если  и .

В12. Катер должен пересечь реку шириной L = 75 м и со скоростью течения u=0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где  — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?

В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=4, SC=5. Найдите длину отрезка AC.

В14. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

В15. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

С1. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

С2. Точка Е – середина ребра АА1 куба . Найдите площадь сечения куба плоскостью C1DE, если рёбра куба равны 2.

С3. Решите систему неравенств:

Воркута Декабрь 2013

Вариант 6.

Часть 1.

В1. В уни­вер­си­тет­скую биб­лио­те­ку при­вез­ли новые учеб­ни­ки по гео­мет­рии для 2—3 кур­сов, по 280 штук для каж­до­го курса. Все книги оди­на­ко­вы по раз­ме­ру. В книж­ном шкафу 7 полок, на каж­дой полке по­ме­ща­ет­ся 30 учеб­ни­ков. Сколь­ко шка­фов можно пол­но­стью за­пол­нить но­вы­ми учеб­ни­ка­ми?

В2. Опто­вая цена учеб­ни­ка 140 руб­лей. Роз­нич­ная цена на 15% выше опто­вой. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по роз­нич­ной цене на 3800 руб­лей?

В3. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадет с 1,2 вольт до 1,0 вольт.

В4. Стро­и­тель­ной фирме нужно при­об­ре­сти 40 ку­бо­мет­ров стро­и­тель­но­го бруса у од­но­го из трех по­став­щи­ков. Ка­ко­ва наи­мень­шая сто­и­мость такой по­куп­ки с до­став­кой (в руб­лях)? Цены и усло­вия до­став­ки при­ве­де­ны в таб­ли­це.

По­став­щик	Цена бруса (руб. за 1 м3)	Сто­и­мость до­став­ки	До­пол­ни­тель­ные усло­вия
A	4200	10200
Б	4800	8200	При за­ка­зе на сумму боль­ше  руб.  до­став­ка бес­плат­но
В	4300	8200	При за­ка­зе на сумму боль­ше  руб.  до­став­ка бес­плат­но

В5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В6. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по производной.

В7. Найдите корень уравнения .

В8. Дуга окружности AC, не содержащая точки B, имеет градусную меру 2000, а дуга окружности BC, не содержащая точки A, имеет градусную меру 800. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

В9. На рисунке изображён график  производной функции y=f(x) и шесть точек на оси абсцисс: х1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция  возрастает?

В10. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де  из­вест­но, что BD1=3, CD=2, AD=2. Най­ди­те длину ребра AA1.

Часть 2.

В11. Найдите , если .

В12. Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг R но­вост­ных из­да­ний на ос­но­ве по­ка­за­те­лей ин­фор­ма­тив­но­сти In, опе­ра­тив­но­сти Op и объ­ек­тив­но­сти Tr пуб­ли­ка­ций. Каж­дый по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся це­лы­ми чис­ла­ми от -4 до 4.