Демоверсия работы по математике для поступающих в 10 класс

2014 год.

Демоверсия работы по математике для поступающих в 10 класс.

2014 год.

Работа предназначена для тех, кто поступает на физико-математический профиль, а также для тех, кто идёт на другой профиль, но желает обучаться в 10-11 классе в углублённой группе по математике.

Работа письменная, длительность 180 минут.

Состоит из 12 задач, из них 8 задач по алгебре и 4 – по геометрии.

Критерии оценки:

На "5" – верно решить не меньше 10 задач, из них не меньше 3 - по геометрии.

На "4" - верно решить не меньше 7 задач, из них не меньше 2 – по геометрии

На "3" - не меньше 5 задач (любых).

Типы заданий и пример на каждое задание.

1. Задача на неравенство.

Решите неравенство:

2. Уравнение (многочлен).

Решите уравнение: .

3. Уравнение (иррациональное)

Решите уравнение:

4. График функции, содержащей знак модуля: а) построить, б) исследовать данные с параметром.

а) Постройте график функции:

б) При каких значениях b уравнение имеет ровно три корня?

5. Расположение корней квадратного трёхчлена

При каких значениях а уравнение

имеет корни?

6. Текстовая задача.

Во время учебных стрельб лодку-мишень пробила торпеда и через 30 сек. лодка была на четверть заполнена водой. Тогда в лодке включился откачивающий насос и в этот же момент ее пробила вторая торпеда. Несмотря на вторую пробоину, через две минуты насос выкачал всю воду. Через какое время после попадания третьей торпеды лодка утонет (полностью наполнится водой)? 

7. Задача на доказательство методом математической индукции.

Последовательность задана рекуррентно: , . Докажите, что .

8. Задача по теме «Прогрессии».

Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 7.

9. Задача по геометрии (теорема Пифагора, площадь, тригонометрические функции, треугольники, четырехугольники).

В равнобедренной трапеции длина меньшего основания равна 4 см, а длина боковой стороны – 13 см. Косинус острого угла трапеции равен . Найдите: а) площадь трапеции, б) радиус описанной около трапеции окружности.

10. Задача по теме «Векторы».

Известно, что , , угол между векторами и равен , .

Найдите: а) длину вектора , б) косинус угла между векторами и .

11. Задача по теме «Вписанные углы, подобие треугольников»

Из точки A вне окружности проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16, а расстояние от точки A до одной из точек пересечения с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от её центра до секущей равно 5.

12. Геометрическая задача на доказательство и нахождение.

CQ – биссектриса треугольника ABC. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D.

А) Докажите, что треугольник CDQ – равнобедренный.

Б) Найдите CD, если известно, что BQ = a и AQ = b (a>b).