Рабочая программа (стр. 2 )

4.8. Математическое моделирование физико-химических и биологических процессов

Общие принципы математического моделирования. Место и роль ДУ в математических моделях, преимущество и недостатки. Кинетические уравнения, методы упрощения систем кинетических уравнений, встречающихся в биохимических процессах.

5. ТЕОРИЯ РЯДОВ

Числовой ряд. Определение сходимости числового ряда. Ряд геометрической прогрессии. Свойства числовых рядов. Признаки сходимости рядов на основе сравнения. Достаточные признаки сходимости числовых рядов
Даламбера, Коши. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница. Условная и абсолютная сходимость. Функциональные ряды, определение
области сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов, свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды, радиус сходимости. Теорема Абеля.

Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенные ряды. Ряды Маклорена для некоторых функций. Применение рядов к приближенному вычислению значений элементарных функций, приближенному вычислению определенных интегралов, решению дифференциальных уравнений. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд и его свойства. Вычисление коэффициентов ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2p. Условия Дирихле для разложения функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2L. Разложение в ряд Фурье периодических функций. Интеграл Фурье.

6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Комплексные числа. Операции сложения, умножения, возведения в степень, извлечения корня с использованием различных форм комплексного числа (алгебраической, тригонометрической). Показательная форма комплексного числа. Функции комплексного переменного (определение, различные виды функций: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции). Предел функции комплексного переменного.

Дифференцирование функции. Условие Коши – Римана. Определение аналитической функции в точке и области. Восстановление аналитической функции по известной её части. Дифференцирование элементарных функций комплексного переменного. Интеграл от функции комплексного переменного, его свойства, вычисление. Теорема Коши для односвязной области. Теорема Коши для сложного контура (многосвязной области). Интегральная формула Коши и её использование.

7. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

7.1. Понятие опыта, испытания, события

Классификация событий. Пространство событий и алгебра событий. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Парадоксы Бертрана и понятие вероятностного пространства.

7.2. Теоремы о вероятности суммы случайных событий

Условная вероятность. Статистическая зависимость и независимость событий. Теоремы о вероятности пересечения событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

7.3. Повторные независимые испытания (схема Бернулли)

Общие понятия и примеры повторных независимых испытаний. Схема испытаний Бернулли, вывод формулы Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в n испытаниях Бернулли. Предельные случаи в схеме Бернулли: локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, формула Пуассона. Полиномиальная схема испытаний. Производящая функция. Эквивалентность урновой схемы и схемы Бернулли при большом объеме выборки.

7.4. Законы распределения случайных величин и их числовые
характеристики

Определение случайной величины. Понятие о законах распределения дискретной случайной величины, его табличное, графическое и аналитическое задание. Биномиальное распределение и распределение Пуассона. Функция распределения и её свойства. Вероятность попадания скалярной случайной величины в интервал. Непрерывные случайные величины, плотность вероятности и её свойства. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства.

Дисперсия случайной величины и её свойства. Моменты распределения случайных величин, характеристика асимметрии и эксцесса. Числовые характеристики Д. С.В.: биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение. Числовые характеристики непрерывных распределений: равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение, гамма-распределение. Нормальная случайная величина, интеграл вероятностей и применение функции Лапласа для вычисления вероятности попадания нормальной величины в любой интервал.

7.5. Многомерные случайные величины и их характеристики

Понятие системы случайных величин. Законы распределения многомерной величины, зависимые и независимые случайные величины. Вероятность попадания многомерной величины в заданную область. Условные законы распределения и условие независимости случайных величин. Числовые характеристики системы случайных величин. Ковариация, понятие коррелированности и коэффициент корреляции двух случайных величин. Функция регрессии. Двумерное нормальное распределение.

7.6. Функции случайных аргументов

Распределение функций одномерной случайной величины. Независимые случайные величины и функции от них. Распределение суммы независимых величин, интеграл свертки. Распределение c2. Самовоспроизводимость законов распределений, некоторые частные виды распределений.

7.7. Предельные теоремы теории вероятностей

Массовые явления и законы больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Хинчина, практические условия выполнимости условий этих теорем. Теорема Бернулли, её практическое и теоретическое значение. Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова, её практические следствия.

8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

8.1. Задачи и методы математической статистики. Выборочный метод

Задачи статистического описания и их характеристики, область применимости статистического описания. Характеристика основных типов эксперимента, их задач и соответствующих методов обработки данных. Основные понятия и принципы выборочного метода. Построение вариационных рядов. Статистическое распределение выборки и формы его представления. Эмпирическая функция распределения. Цели и задачи расчета статистических характеристик. Основные статистические характеристики, их свойства и методы расчета. Метод введения условных средних. Структурные характеристики и показатели вариации. Выборочная дисперсия и ее свойства. Понятие о внутригрупповой и межгрупповой дисперсии. Поправка Шеппарда. Эмпирические начальные и центральные моменты. Выборочная асимметрия и эксцесс.

8.2. Теория статистических оценок неизвестных параметров распределений

Общая постановка задачи оценки параметров. Критерии качества статистических оценок. Несмещенность, состоятельность, эффективность. Теоремы о свойствах оценок выборочной средней и выборочной дисперсии, поправка Бесселя. Метод моментов получения точных оценок неизвестных параметров распределений. Метод максимального правдоподобия получения точечных оценок неизвестных параметров. Метод наименьших квадратов для оценки неизвестных параметров. Распределение средней арифметической в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение Стьюдента. Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение c2 – Пирсона. Постановка задачи интервального оценивания неизвестных параметров известных законов распределения. Построение интервальной оценки математического ожидания случайной величины по выборке из нормальной совокупности. Построение доверительного интервала для оценки генеральной дисперсии по выборке из нормальной совокупности. Оценка параметра P биномиального распределения по относительной частоте появления события.

8.3. Проверка статистических гипотез в задачах сравнительного
эксперимента

Постановка задачи сравнительного эксперимента. Общие понятия в теории проверки гипотез. Общая характеристика проверки статистических гипотез о законах распределения. Постановка задачи о виде неизвестного закона распределения, понятие о критериях согласия. Проверка нормальности признака в задачах сравнительного эксперимента. Критерий асимметрии и эксцесса. c2 – критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона. l – критерий Колмогорова.

8.4. Проверка однородности генеральных дисперсий сравниваемых групп

Сравнение двух генеральных дисперсий по независимым выборкам из нормальных совокупностей, критерий Фишера – Снедекора. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности. Сравнение нескольких генеральных дисперсий по независимым выборкам равного объема из нормальных совокупностей, критерий Кочрена. Сравнение нескольких генеральных дисперсий по независимым выборка различного объема из нормальных совокупностей, критерий Барлетта.

8.5. Параметрические критерии проверки однородности средних в задачах сравнительного эксперимента

Общая постановка задачи проверки достоверности влияния фактора. Сравнение двух средних по независимым выборкам из нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (большие объемы сравниваемых групп). Сравнение двух средних по малым независимым выборкам из нормальных совокупностей, дисперсии которых неизвестны, но равны. Критерий Стьюдента.

Метод исключения грубых ошибок наблюдений. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Сравнение двух средних по зависимым выборкам малого объема из нормальных генеральных совокупностей. Сравнение наблюдаемой относительной частоты появления события в схеме испытаний Бернулли с гипотетической вероятностью P появления события в отдельном испытании. Оценка достоверности различия относительной частоты появления альтернативного признака в двух сериях наблюдений по результатам клинической биохимии.

8.6. Непараметрические критерии достоверности различия двух
совокупностей в задачах сравнительного эксперимента

Понятие о непараметрических статистиках. Роль и сравнительная эффективность параметрических и непараметрических критериев (НПК) достоверности различий сравниваемых групп. Классификация и характеристика основных НПК. Непараметрические критерии достоверности различия двух зависимых совокупностей (максимум – критерий, Z – критерий знаков, T – критерий Вилкоксона. Непараметрические критерии достоверности различия двух независимых совокупностей: Колмогорова – Смирнова, U – критерий Манна – Уитни, X – критерий Ван-дер-Вардена, (W – критерий Вилкоксона — на УИРС ).

8.7. Последовательный анализ в задачах сравнительного эксперимента

Общая характеристика схемы последовательного анализа. Построение последовательного критерия отношения правдоподобия, критерий Вальда. Двусторонний последовательный критерий Бернарда с линейными порогами. Преимущества организации последовательной схемы сравнительного эксперимента и условия применимости. Ряд медикобиологических задач, требующих применения последовательного анализа для доказательства достоверности однородности.

8.8. Применение дисперсионного анализа в задачах сравнительного эксперимента

Общая постановка задачи дисперсионного анализа (ДА), его цель, идея и метод. Предпосылки применимости параметрического ДА. Однофакторный равномерный дисперсионный комплекс (ДК). Однофакторный неравномерный ДК. Дисперсионный анализ двухфакторного равномерного комплекса. Схема анализа многофакторных комплексов по результатам двухфакторного ДК. Дисперсионный анализ альтернативного комплекса в задачах проверки достоверности различия относительных частот появления признака в нескольких группах по уровню действующего фактора. Непараметрический дисперсионный анализ, критерий Краскала-Уоллиса.

8.9. Корреляционный и регрессионный анализ в задачах прогнозирующего эксперимента

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость. Постановка задачи статистического прогноза. Последовательность этапов проведения корреляционного и регрессионного анализов, их цели и задачи. Проверка значимости коэффициента корреляции. Корреляционное отношение, как индикатор наличия корреляционной связи.

Метод наименьших квадратов для нахождения выборочных параметров уравнения регрессии. Выбор оптимальной форма парной связи по минимуму остаточной дисперсии. Проверка адекватности построенной регрессионной модели эмпирическим данным. Ошибка предсказания и доверительные интервалы оценки параметров линии регрессии.

Анализ “остатков” при построении регрессионной модели. Общие понятия множественного корреляционного анализа, уравнение линейной связи трех признаков.

5а. ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ План ЛЕКЦИЙ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ “БИОФИЗИКА”

1. РАЗДЕЛЫ “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА”, “ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”

№№ тем Наименование тем и их содержание Часы
1 2 3 4	Введение в линейную алгебру. Матрицы, действия над ними (линейные операции, умножение, транспонирование). Определитель матрицы, его свойства, способы вычисления определителей 2, 3-го порядков. Сведение определителя n – порядка к определителю (n - 1) – порядка, понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы. Обратная матрица (понятие союзной, невырожденной матрицы, доказательство теоремы об обратной матрице). Решение матричных уравнений. Матричная запись систем линейных уравнений. Определение решения системы уравнения. Матричный метод решения системы и метод Крамера. Элементарные преобразования матриц, понятие эквивалентных систем уравнений, их решение методом исключения неизвестных.	1 2 1 2

№№ тем Наименование тем и их содержание Часы
5 6 7 8 9 10 11	Решение произвольных систем уравнений, включая однородные, с помощью преобразования расширенной матрицы к трапецивидному виду и выделением базисного минора. Разделение неизвестных на базисные и свободные, запись общего решения системы. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Элементы векторной алгебры. Определение вектора, основные понятия. Линейные операции над векторами (сумма, разность, умножение на число). Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве, координаты вектора и линейные операции над векторами в координатной форме. Декартова система координат. Представление вектора в декартовой системе. Скалярное произведение векторов и его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения. Уравнение прямой на плоскости, его различные виды (общее, каноническое, через две известные точки, в отрезках, с угловым коэффициентом). Взаимное расположение прямых. Уравнение плоскости (вывод общего уравнения). Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Кривые второго порядка, определение, каноническое уравнение. Исследование общего уравнения кривых второго порядка и приведение их к каноническому виду (случай параллельного переноса системы координат). Поверхности второго порядка, включая цилиндрические. Канонические уравнения и их зависимость от расположения поверхности.	2 2 2 2 2 4 2

Всего часов: 22

2. РАЗДЕЛЫ “ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА”

И “ТЕОРИЯ РЯДОВ”

№№ тем Наименование тем и их содержание Часы
1 2	Предел переменной величины (понятие переменной величины, область определения, свойства абсолютной величины действительного числа, определение предела на языке “e”, свойства пределов, вытекающие из определения), бесконечно малые и бесконечно большие величины, их связь. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших. Понятие неопределенности при вычислении предела. Арифметические действия над пределами. Раскрытие неопределенностей вида ¥ / ¥ , ¥ – ¥. Примеры. Определение функции (перечисление всех сведений о функции, известных из школьного курса). Понятие сложной	2

№№ тем Наименование тем и их содержание Часы
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	функции. Классификация элементарных функций (целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, трансцендентные). Определение функции на языке "e – d". Бесконечно большая функция. Определение функции при х ® ¥. Примеры нахождения предела функции при раскрытии неопределенностей 0/0, 0 × ¥. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке (два определения). Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Дифференцируемость функций. Основные правила дифференцирования. Производные сложной функции, обратной функции. Таблица производных простейших элементарных функций (вывод). Логарифмической дифференцирование, дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Понятие дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Производные высших порядков различных функций (явных, неявных, параметрически заданных). Дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя и раскрытие неопределенностей вида 0/0, ¥ / ¥ , ¥ – ¥, 0 × ¥, 1¥ , 0 0. Исследование графиков функций методами анализа. Интервалы монотонного изменения функции. Экстремум функции. Теорема Ферма. Исследование функции на экстремум с помощью производной второго порядка. Участки выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции. Неопределенный интеграл (понятие первообразной, неопределенного интеграла, его свойства, таблица неопределенных интегралов). Метод интегрирования, основанный на инвариантности формы неопределенного интеграла (метод замены переменной). Интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных выражений (интегрирование дробей простейшего вида, понятие неправильной дроби, разложение правильной дроби на сумму простейших дробей). Интегрирование иррациональных выражений вида: а) R(x, xa, xb, ¼); б) R(x, (ax+b)a, (ax+b)b , ¼); в)	2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4

№№ тем Наименование тем и их содержание Часы
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27	г) ; д) R(x,). Интегрирование тригонометрических выражений: а) универсальная тригонометрическая подстановка; б) использование четности, нечетности функций R(sin x,cos x); в) sin m x cos n x, где m и n - четные (нечетные) целые положительные числа. Интегрирование показательных выражений вида R(e x). Определенный интеграл (определение на основе геометрической задачи о площади криволинейной трапеции), его свойства. Оценки определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства (доказательство теоремы). Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические и физические задачи с использованием определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры, вычисление работы переменной силы). Несобственные интегралы (от неограниченных функций, с бесконечными пределами). Функции нескольких переменных (определение, область определения). Предел функции нескольких переменных, способы вычисления. Непрерывность функции. Понятие частных приращений функции. Определение частных производных, их геометрический смысл. Полный дифференциал как сумма частных дифференциалов, приложение полного дифференциала. Производная сложной функции (вывод). Производные высших порядков (обозначение, понятийный смысл, доказательство теоремы о смешанных производных). Дифференциалы высших порядков. Форм порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума для функции 2-х переменных. Условия минимума, максимума функции. Метод наименьших квадратов на основе изложенного материала об экстремуме функции нескольких переменных. Производная функции по направлению (вывод формулы). Понятие градиента функции, оператора Гамильтона, дивиргенции и ротора векторного поля. Интегрирование функций двух переменных. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства. Вычисление двойного интеграла для прямоугольной и криволинейных областей. Понятие правильной области при вычислении двойного интеграла.	2 2 1 2 4 1 2 4 1 1 2 4

№№ тем Наименование тем и их содержание Часы
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38	Примеры. Замена переменной в двойном интеграле. Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, физических величин: массы, центра масс, моментов инерции плоских пластин различных конфигураций. Интегрирование функции трех переменных (определение тройного интеграла, его свойства как повторение свойств двойного интеграла). Способ вычисления тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрической или сферической системе координат. Криволинейный интеграл по длине дуги. Свойства криволинейного интеграла, способ вычисления при различных вариантах задания кривой. Криволинейный интеграл по координатам. Задача о вычислении работы переменной силы по криволинейному участку пути. Вычисление криволинейного интеграла. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина. Ряды. Числовой ряд. Определение сходимости числового ряда. Ряд геометрической прогрессии. Свойства числовых рядов. Признаки сходимости рядов на основе сравнения. Достаточные признаки сходимости числовых рядов Даламбера, Коши. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница. Условная и абсолютная сходимость. Функциональные ряды, определение области сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов, свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды, радиус сходимости. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенные ряды. Ряды Маклорена для некоторых функций. Применение рядов к приближенному вычислению значений элементарных функций, приближенному вычислению определенных интегралов, решению дифференциальных уравнений. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд и его свойства. Вычисление коэффициентов ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2p. Условия Дирихле для разложения функции в ряд Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2L. Разложение в ряд Фурье периодических функций.	2 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 1

Всего часов: 83