4. РАЗДЕЛ “ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО”
№№ занятий Содержание занятий Часы | ||
1 2 3 4 5 | Операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Решение алгебраических уравнений. Вычисление значений функций комплексного аргумента. Дифференцирование функций комплексного аргумента. Восстановление аналитической функции. Интегрирование функций комплексного переменного. Использование интегральной формулы Коши при вычислении интегралов. | 4 3 3 3 3 |
Всего часов: 16
5. РАЗДЕЛ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”
№№ занятий Содержание занятий Часы | ||
1 2 3 4 5 6 7 | Пространство событий. Алгебра событий. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности и геометрический способ определения вероятности. Аксиомы теории вероятностей и основные теоремы. Формула полной вероятности. Формула Бейса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Закон распределения случайной величины, плотность распределения случайной величины. Числовые характеристики дискретной и непрерывной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Нормальное распределение. Система двух случайных величин и ее статистическое описание. Числовые статистические характеристики системы двух случайных величин. Условные характеристики. Уравнение регрессии и линия регрессии. Функция одной случайной величины и ее статистические характеристики. | 6 4 2 4 4 8 2 |
№№ занятий Содержание занятий Часы | ||
8 9 | Функция нескольких случайных величин и ее статистические характеристики. Контрольная работа. | 2 2 |
Всего часов: 34
6. РАЗДЕЛ “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
№№ занятий Содержание занятий Часы | ||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 | Повторение основных понятий матаппарата теории вероятностей. Первичная группировка данных. Построение вариационных рядов, эмпирической функции распределения и их графического отображения. Расчет статистических характеристик выборки с учетом поправок Шеппарда и Бесселя. Расчет стандартного отклонения и ошибки средней. Вычисление внутригрупповой и межгрупповой дисперсии. Расчет выборочных коэффициента асимметрии и эксцесса. Получение точных оценок генеральных параметров методом моментов и максимального правдоподобия. Построение доверительных интервалов для оценки истинного значения случайной величины и генеральной дисперсии. Проверка гипотезы о нормальности признака по выборочной асимметрии и эксцессу. Проверка нормальности дискретного ряда по критерию c2 . Проверка нормальности интервального ряда по c2 и l-критерию. Контрольная работа. Проверка однородности генеральных дисперсий нормальных групп. Сравнение генеральных средних двух групп по зависимым либо независимым выборкам из нормальных совокупностей. Непараметрические критерии достоверности различия двух совокупностей. Проведение последовательного анализа по критерию Бернарда. Дисперсионный анализ однофакторного комплекса. Непараметрический дисперсионный анализ по критерию Краскала - Уоллиса. Проведение двухфакторного дисперсионного анализа и дисперсионного анализа альтернативного комплекса. Корреляционный и регрессионный анализ несгруппированных данных. Проведение линейного корреляционного и регрессионного анализа по корреляционной таблице. | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |
№№ занятий Содержание занятий Часы | ||
19 | Вычисление ранговых коэффициентов корреляции и показателей связи двух качественных признаков. | 2 |
Всего часов: 36
6. ЛИТЕРАТУРА
1. РАЗДЕЛЫ “ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА”, “ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ”
1. Головина линейной алгебры. М., Наука, 1970, 399 с.
2. Ефимов курс аналитической геометрии. М., Наука, 1969, 272 с.
3. Апатенок линейной алгебры. Минск, Вышейшая школа, 1977.
4. Шипачев математика. М., Высшая школа, 1985.
5. , и др. Высшая математика. М., Просвещение, 1988.
6. Власов лекций по высшей математике. М., Айрис, 1996.
7. Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. . М., Высшая школа, 1973.
8. , , и др. Сборник задач по математике, ч. 1, М., Наука, 1986.
9. , , Трофименко задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Томск, 1991.
10. Цубербиллер и упражнения по аналитической геометрии. М., Наука, 1966.
11. , Попов математика в упражнениях и задачах. Ч.1, М., Высшая школа, 1974, 416 с.
2. РАЗДЕЛЫ “ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА” И “ТЕОРИЯ
РЯДОВ”
1. Фихтенгольц математического анализа. Т.1, М., Наука, 1968.
2. Пискунов и интегральное исчисление. М., Фи-зматгиз, 1963.
3. Мышкис по высшей математике. М., Наука, 1967.
4. Шипачев математика. М., Высшая школа, 1985.
5. , и др. Высшая математика. М., Просвещение, 1988.
6. Власов лекций по высшей математике. М., Айрис, 1996.
7. Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. . М., Высшая школа, 1973.
8. , , и др. Сборник задач по математике, ч. 1, М., Наука, 1986.
9. , Яглом математика для начинающих физиков и техников. М., Наука, 1982.
3. РАЗДЕЛ “ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ”
1. Краснов дифференциальные уравнения: Учебное пособие для ВТУЗов. М., Высшая школа, 1983, 128 с.
2. , Янпольский уравнения. М., Высшая школа, 1976, 304 с.
3. Шипачев математика. М., Высшая школа, 1985.
4. , и др. Высшая математика. М., Просвещение, 1988.
5. Власов лекций по высшей математике. М., Айрис, 1996.
6. Сборник задач по курсу высшей математики. / Под ред. . М., Высшая школа, 1973.
7. , , и др. Сборник задач по математике, ч. 1, М., Наука, 1986.
8. , Яглом математика для начинающих физиков и техников. М., Наука, 1982.
4. РАЗДЕЛ “ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО”
1. Романовский Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М., 1961, 303 с.
2. Гончаров функций комплексного переменного. М., Учпедгиз, 1955, 347 с.
3. , , Макаренко комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и упражнения. М., Наука, 1971, 255 с.
5. РАЗДЕЛ “ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ”
1. Гнеденко теории вероятностей. М., Наука, 1967, 400с.
2. Гурский вероятностей с элементами математической статистики. М., Высшая школа, 1971, 328 с.
3. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1979, 400 с.
4. Магазинников лекций по теории вероятностей. Томск, 1989.
6. РАЗДЕЛ “МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА”
Основная литература
1. Гмурман вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977, 479 с.
2. Лакин . М., Высшая школа, 1980.
3. Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1979.
Дополнительная литература
1. , Филиппова вероятностей и математическая статистика. Учебн. пособие для ВТУЗов. М., Высшая школа, 1973, 369 с.
2. Пугачев вероятностей и математическая статистика. М., Наука, 1979, 496 с.
3. Статистические методы в инженерных исследованиях. М., Высшая школа, 1983.
4. и др. Математическая статистика. М., Высшая школа, 1981.
5. , Булыгин вопросы практического применения дискриминантного анализа /Новости медицинской техники, 1975, вып. 3.
Методические разработки и учебные таблицы
1. Построение вариационных рядов и вычисление статистических характеристик.
2. Статистические методы оценок неизвестных параметров распределений. Точечные оценки.
3. Интервальная оценка параметров распределения по экспериментальным данным.
4. Проверка статистических гипотез о параметрах распределений.
5. Проверка статистических гипотез о законах распределений. Непараметрические критерии.
6. Применение корреляционного и регрессионного статистического анализа экспериментальных данных.
7. Корреляционный анализ качественных признаков. Ранговая корреляция и показатели корреляционной связи.
8. Двухфакторный дисперсионный анализ и схема анализа многофакторного комплекса.
9. Применение последовательного анализа в медико-биологических исследованиях.
10. Применение дискриминантного анализа в медико-биологических исследованиях.
7. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ НАВЫКОВ И УМЕНИЙ
В результате усвоения курса “высшая математика” студенты должны ЗНАТЬ:
— дифференциальное и интегральное исчисление функции,
— теорию дифференциальных уравнений и рядов,
— основу функций комплексного переменного,
— теорию вероятностей и математическую статистику,
— основы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии;
и УМЕТЬ:
— решать системы линейных алгебраических уравнений,
— работать с матрицами и векторами,
— использовать кривые и поверхности II порядка,
— вычислять производные и интегралы различного вида функций,
— исследовать функции,
— решать дифференциальные уравнения и простые системы дифференциальных уравнений,
— применять ряды к приближенному решению соответствующих задач,
— определять по выборке точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности,
— проводить обработку сравнительного эксперимента параметрическими и непараметрическими методами,
— проверять наличие статистической связи исследуемых количественных либо качественных величин и оценивать её силу,
— определять оптимальную форму связи количественных переменных и оценивать её адекватность экспериментальным данным.
8 ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ
Экзамен проводится по окончании 2 и 3 семестров для студентов специальности “биофизика”. На экзамен выносятся следующие вопросы по разделам.
1. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия.
1. Общие сведения о матрицах. Линейные операции над матрицами, их свойства. Умножение матриц.
2. Определение и свойства детерминанта (определителя) матрицы.
3. Вычисление определителей различных порядков.
4. Определение союзной, невырожденной, обратной матрицы. Теорема об обратной матрице.
5. Решение матричных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Матричный метод решения. Возможные вырианты решений системы и понятия определённой, совместной системы линейных уравнений.
6. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Вывод формул Крамера.
7. Элементарные преобразования матриц. Понятие эквивалентных систем линейных уравнений. Решение систем методом Гаусса.
8. Решение произвольных систем линейных уравнений, включая однородные.
9. Общие сведения о векторе. Линейные операции над векторами и их свойства.
10. Разложение вектора по базису. Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами в координатной форме.
11. Матрица перехода от одного базиса к другому.
12. Ортонормированный базис. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками. Декартова система координат.
13. Скалярное произведение двух векторов, его свойства.
14. Векторное произведение двух векторов, его свойства.
15. Смешанное произведение двух векторов, его свойства.
16. Задачи, для которых могут быть использованы скалярное, векторное или смешанное произведения.
17. Прямая линия на плоскости, её общее уравнение. Взаимное расположение прямых. Точка пересечения прямых.
18. Различные виды уравнений прямой на плоскости.
19. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
20. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование. Взаимное расположение плоскостей.
21. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости.
22. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола; их канонические уравнения.
23. Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости и его приведение к каноническому виду в декартовой системе координат при параллельном сдвиге осей.
24. Уравнение кривой в полярной системе координат.
25. Поверхности второго порядка. Метод параллельных сечений и его применение к исследованию видв поверхности.
2. Математический анализ (теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной переменной).
26. Предел переменной величины, его геометрическая интерпретация и свойства, вытекающие из определения предела.
27. Бесконечно малые и бесконечно большие переменные величины, их связь и свойства.
28. Функция. Основные элементарные функции и их свойства и графики.
29. Предел функции и его геометрическая интерпретация. Предел бесконечно большой функции.
30. Основные теоремы о пределах функции.
31. Замечательные пределы.
32. Сравнение бесконечно малых. Таблица эквивалентных бесконечно малых.
33. Определение непрерыности функции. Теоремы о непрерывных функциях.
34. Некоторые свойства непрерывных функций.
35. Точки разрыва функции и их классификация.
36. Производная функции: определение, физический смысл и геометрическая интерпретация.
37. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.
38. Основные правила дифференцирования.
39. Производная обратной функции и сложной функции.
40. Производные основных элементарных функций.
41. Дифференциал. Правила нахождения дифференциалов суммы, разности, произведения, частного двух функций.
42. Геометрическое значение дифференциала и приближенные вычисления.
43. Производные различных порядков от функций, заданных явно, неявно и в параметрическом виде.
44. Дифференциалы различных порядков.
45. Правило Лопиталя.
46. Исследование возраствния и убывания функций с помощью производной.
47. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.
48. Исследование функции на экстремум с помощью втрой производной.
49. Выпуклость и вогнутость кривой; точки перегиба.
50. Асимптоты.
51. Общий план исследования функций и построения графиков.
3. Дифференциальные уравнения (д. у.).
52. Определение д. у. первого порядка. Решение уравнения. Задача Коши. Общее и частное решения. Геометрический смысл уравнения.
53. Д. у. с разделяющимися переменными.
54. Однородные д. у. и приводящиеся к ним.
55. Линейные д. у. Методы подстановки и вариации произвольных постоянных.
56. Уравнения в полных дифференциалах.
57. Понятие интегрирующего множителя и его способ нахождения в некоторых случаях.
58. Некоторые применения д. у. и теоремы, связанные с их решением.
59. Д. у. высшего порядка. Основные понятия. Д. у., допускающие понижение порядка.
60. Линейные однородные д. у. и теоремы, связанные с их решением.
61. Линейные однородные д. у. высшего порядка с постоянными коэффициентами и их решение.
62. Теорема об общем решении линейного неоднородного д. у. высшего порядка.
63. Метод вариации произвольных постоянных.
64. Метод неопределённых коэффициентов.
65. Системы д. у., общее решение. Метод интегрирования нормальных систем д. у.
66. Линейные однородные системы и способ решения.
67. Определение устойчивости решения системы по Ляпунову. Простейшие типы точек покоя.
4. Ряды.
68. Числовой ряд. Основные понятия и теоремы.
69. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
70. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признак сходимости.
71. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
72. Свойства равномерно сходящихся рядов.
73. Интервал сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
74. Разложение функций в ряд Тейлора. Теорема.
75. Разложения элементарных функций.
76. Применение степенных рядов.
77. Ряд Фурье. Условие разложимости функции в ряд Фурье. Сходимость ряда Фурье.
78. Вывод формул коэффициентов ряда Фурье.
79. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
80. Ряд Фурье с периодом 2L.
81. Интеграл Фурье.
5. Математическая статистика.
82. Задачи статистического описания. Характеристика основных типов эксперимента, их задач и соответствующих методов обработки данных.
83. Основные понятия и принципы выборочного метода. Группировка выборки в вариационные ряды, построение интервального и безынтервального ряда, полигон и гистограмма статистического распределения выборки. Эмпмрическая функция распределения.
84. Основные статистические характеристики, их свойства и методы расчета. Метод введения условных вариант. Поправка Шеппарда для расчёта дисперсии по интервальному ряду.
85. Эмпирические начальные и центральные моменты. Выборочная асимметрия и эксцесс. Понятие о внутри и межгрупповой дисперсии, их связь с общей дисперсией в нескольких группах наблюдений.
86. Общая постановка задачи оценки параметров. Критерии качества статистических оценок: несмещённость, состоятельность, эффективность.
87. Теоремы о свойствах оценок генеральных параметров по выборочному среднему и выборочной дисперсии. Поправка Бесселя.
88. Метод моментов получения точных оценок неизвестных параметров распределений, его преимущества и недостатки.
89. Метод максимального правдоподобия оценки параметров.
90. Распределение средней арифметической и выборочной дисперсии в выборах из нормальной генеральной совокупности. Распределение Стьюдента и Пирсона.
91. Постановка задачи интервального оценивания неизвестных параметров распределения. Доверительный интервал, точность и надёжность оценки.
92. Интервальная оценка истинного значения случайной величины по выборке из нормальной совокупности. Оценка необходимого объёма наблюдений для получения оценок генерального среднего с заданной точностью и заданной надёжностью.
93. Построение доверительного интервала для оценки генеральной дисперсии по выборке из нормальной совокупности.
94. Оценка параметра Р биномиального распределения по относительной частоте появления события в серии испытаний.
95. Постановка задачи сравнительного эксперимента. Общие понятия в теории проверки статистичеких гипотез. Что означает не отклонение основной гипотезы?
96. Задача оценки вида закона распределения, понятие о критериях согласия. Проверка нормальности выборочной совокупности.
97. Критерий согласия c2 – Пирсона. Методика расчёта теоретических частот формального распределения по интервальному и безынтервальному ряду.
98. l – критерий согласия Колмогорова.
99. Проверка однородности генеральных дисперсий сравниваемых групп. Критерии Фишера–Снедекора, Кочрена и Барлетта.
100. Сравнение исправленной выборочной дисперсии со стандартным значением дисперсии нормальной совокупности и задачи практического приложения.
101. Общая постановка задачи проверки достоверности влияния действующего фактора. Общая классификация сравнительного эксперимента при выборке критериальной статистики.
102. Сравнение двух средних по неизвестным выборкам из нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (большие объёмы сравниваемых групп).
103. Критерий Стьюдента для сравнения двух средних по выборкам малого объёма. Метод исключения грубых ошибок наблюдений.
104. Сравнение двух средних по зависимым выборкам. Преимущества организации сравнительного эксперимента в связанные, парные наблюдения. Организация квазизависимых парных наблюдений.
105. Оценка достоверности относительных частот появления альтернативного признака в двух группах наблюдений.
106. Понятие о непараметрических критериях достоверности различий двух совокупностей. Роль и сравнительная эффективность парметрических и непараметрических критериев. Нормализация исходных данных.
107. Непараметрические критерии достоверности различия зависимых совокупностей.
108. Непараметрические критерии достоверности различия независимых совокупностей.
109. Общая характеристика схемы последовательного анализа. Построение последовательного критерия отношения правдоподобия Вальда.
110. Двусторонний последовательный критерий Бернарда с линейными порогами. Преимущества организации последовательной схемы сравнительного эксперимента и условия применимости.
111. Общая постановка задачи дисперсионного анализа, его цель, идея и метод. Условия применимости параметрического дисперсионного анализа.
112. Однофакторный дисперсионный анализ равномерного и неравномерного комплекса наблюдений.
113 Дисперсионный анализ двухфакторного комплекса наблюдений.
114. Схема анализа многофакторных комплексов наблюдений по результатам двухфакторного комплекса.
115. Проверка достоверности различия относительных частот в нескольких группах методом дисперсионного анализа альтернативного комплекса.
116. Непараметрический дисперсионный анализ, критерий Краскала–Уоллеса.
117. Постановка задачи статистического прогнозирования. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость. Последовательность проведения корреляционного и регрессионного анализа, их цели и задачи.
118. Выборочный коэффициент кореляции по сгруппированным и несгруппированным данным. Проверка значимости коэффициента корреляции.
119. Корреляционное отношение, как индикатор наличия корреляционной связи и двух признаков.
120. Корреляционная таблица и критерий Пирсона для установления наличия связи сопоставимых случайных величин.
121. Корреляционный анализ качественных признаков. Ранговые коэффициенты корреляции Кендэла и Спирмена.
122. Тетрахорический и полихорический показатель тесноты связи двух признаков.
123. Метод наименьших квадратов для нахождения выборочных параметров уравнения регрессии.
124. Выбор оптимальной формы парной связи и проверка адекватности регрессионной модели эмпирическим данным.
125. Анализ “остатков” при построении регрессионной модели связи двух признаков.
126. Общие понятия множественного корреляционного анализа. Уравнение линейной связи трёх признаков.
9 МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА
В процессе обучения студентов применяются различные варианты контроля знаний:
1) Поэтапный контроль теоретических знаний в виде коллоквиумов в течение семестра.
2) Выполнение индивидуальных заданий по разделам:
а) линейная алгебра; б) векторная алгебра и аналитическая геометрия;
в) предел функции; г) дифференцирование функций; д) исследование функций и построение их графиков; д) неопределённый интеграл;
ж) функции нескольких переменных; з) интегрирование функций
нескольких переменных; и) дифференциальные уравнения первого
порядка; к) дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений; л) исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и приложения рядов; м) функции
комплексного переменного; н) теория вероятностей.
3) Традиционные этапные контрольные работы.
4) Индивидуальный рейтинг студента, включающий результаты коллоквиумов, выполнения индивидуальных заданий, контрольных работ и оценку выполнения домашних и аудиторных заданий.
5) Конечный итог в форме полного или частичного экзамена (или зачёта) определяется в зависимости от индивидуального рейтинга студента.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
