Рабочая программа (стр. 1 )

Медико-биологический факультет

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Ректор СибГМУ

академик РАМН

_______________

«___»________2006 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по высшей математике для студентов

медико - биологического факультета

по специальности биофизика

Обсуждена на заседании ученого совета медико-биологического факультета

«___»________2006 г.

Декан медико-биологического факультета

профессор _______________

ТОМСК − 2006

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ»

«СОГЛАСОВАНО» Декан медико-биологического факультета профессор ________________

«УТВЕРЖДАЮ» Проректор по учебной работе профессор ________________

Программа разработана на кафедре высшей математики медико-биологического факультета Сибирского государственного медицинского университета.

Программу составили:

опираясь на государственный стандарт сотрудники кафедры высшей математики СГМУ: профессор , доценты , ,

Программа прошла апробацию в учебном процессе медико–биологического факультета в течение учебных годов.

Программа утверждена на заседании методической комиссии медико–биологического факультета СибГМУ ____________________

Рецензент:

Заведующий кафедрой высшей математики Томского университета систем управления и радиоэлектроники

Профессор

Программа утверждена на учебно–методическом заседании кафедры высшей математики МБФ СибГМУ, протокол от 01.01.01 г. .

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время объём и содержание курса высшей математики в различных вузах различны и определяются конкретными учебными планами. Однако образовательный стандарт должен быть обеспечен некоторым минимальным уровнем знаний студентов, который определён перечнем экзаменационных вопросов, рекомендуемых настоящей программой. В различных вузах возможно включение в рабочие программы отдельных тем или разделов математики, актуальных для специфики конкретной специальности либо научного направления. Вузам также предоставляется возможность изменения последовательности изложения учебного материала. Специфика различных специальностей, для которых разработана настоящая программа, учитывается при подборе лекционного материала, в тематике задач, решаемых на практических занятиях и контрольных работах, и при выборе индивидуальных заданий.

2. ОБЪЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В биологии за время её существования накопилось множество качественных утверждений и положений, полученных без использования высшей математики. Таковы, например, основные положения формальной генетики. Они позволяли систематизировать и упорядочивать экспериментальный материал, не прибегая к математическому аппарату. Применение математики при этом вовсе не исключалось. Более того, те же положения, сформулированные на языке современной математики, принимали более чёткую и содержательную форму; возникали новые аспекты, ускользавшие от внимания.

Современная ситуация существенно изменилась. Биология, химия, физика переплетаются столь тесно, что любое биологическое утверждение (как новое, так и уже известное) нуждается в сопоставлении с законами физики и химии. Более того, увеличение числа количественных и качественных показателей, изучаемых во всех областях медицины и биологии, привлечение экологических характеристик для диагностики, анализа эффективности лечения и профилактики заболеваний требует обязательного привлечения математического моделирования исследуемых процессов, а необходимый системный анализ этиологии и патогенеза заболеваний требует навыков формализации специальных знаний на языке математических понятий.

При этом в биофизике математика выступает не только как метод количественного расчета, но и как метод качественного мышления. Подтверждением тому является следующее.

1. Для теоретической биофизики можно указать три источника. Во-первых, это — химическая кинетика. Математическое исследование кинетики химических реакций возникло довольно давно. Вторым источником является теория регулирования. Наиболее распространёнными методами исследования сложных живых организмов, и прежде всего их нервной системы, являются методы теории дискретных автоматов. В этом случае задачи биофизики и медицинской кибернетики плотно соприкасаются друг с другом. Третьей частью теоретической биофизики является качественная теория дифференциальных уравнений. Эта теория служит математической основой как химической кинетики, так и теории регулирования.

2. Существующие компьютерные пакеты математических методов требуют, тем не менее, от специалиста любой из указанных специализаций умения работать на формализованном языке различных разделов математики. Следовательно, современный врач, специализирующийся в области биофизики должен не только самостоятельно владеть математическими методами, но знать их цели, постановку задач и область применимости конкретных методов для того, чтобы грамотно сформулировать цель исследования, определить задачи и методы решения.

Всё вышеизложенное подтверждает необходимость иметь для квалифицированного специалиста общую математическую культуру современного уровня, которая может быть приобретена при изучении таких разделов курса высшей математики как линейная алгебра, векторная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ. Полученные знания, применяемые в специальных разделах высшей математики, таких как дифференциальные уравнения, ряды, функции комплексного переменного, теория вероятностей и математическая статистика, позволят будущему специалисту использовать уже свои приёмы и принципы, отражающие специфику биологического объекта.

3. ТАБЛИЦА ПО СЕМЕСТРАМ

Специальность “биофизика”

		В том числе	Форма
Семестр	Всего часов	лекции	практ. занятия	контроля
I	120	60	60	зачет
II	54	18	36	экзамен
III	72	36	36	экзамен
IV	68	34	34	зачет
V	54	18	36	экзамен
VI	34	17	17	зачет

4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА “ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА”

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Введение в линейную алгебру. Матрицы, действия над ними (линейные операции, умножение, транспонирование). Определитель матрицы, его свойства, способы вычисления определителей 2, 3-го порядков. Сведение определителя n – порядка к определителю (n - 1) – порядка, понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы. Обратная матрица (понятие союзной, невырожденной матрицы, доказательство теоремы об обратной матрице). Решение матричных уравнений. Матричная запись систем линейных уравнений. Определение решения системы уравнения. Матричный метод решения системы и метод Крамера. Элементарные преобразования матриц, понятие эквивалентных систем уравнений, их решение методом исключения неизвестных.

Решение произвольных систем уравнений, включая однородные, с помощью преобразования расширенной матрицы к трапецивидному виду и выделением базисного минора. Разделение неизвестных на базисные и свободные, запись общего решения системы. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Элементы векторной алгебры. Определение вектора, основные понятия. Линейные операции над векторами (сумма, разность, умножение на число). Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве, координаты вектора и линейные операции над векторами в координатной форме. Декартова система координат. Представление вектора в декартовой системе координат. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения. Уравнение прямой на плоскости, его различные виды (общее, каноническое, через две известные точки, в отрезках, с угловым коэффициентом). Взаимное расположение прямых. Уравнение плоскости. Исследование общего уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

Кривые второго порядка, определение, каноническое уравнение. Исследование общего уравнения кривых второго порядка и приведение его к каноническому виду (случай параллельного переноса системы координат). Поверхности второго порядка, включая цилиндрические. Канонические уравнения и их зависимость от расположения поверхности.

3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

3.1. Введение в математический анализ

Предел переменной величины (понятие переменной величины, область определения, свойства абсолютной величины действительного числа, определение предела на языке “e”, свойства пределов, вытекающие из определения), бесконечно малые и бесконечно большие величины, их связь. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших. Понятие неопределенности при вычислении предела. Арифметические действия над пределами.

Определение функции. Понятие сложной функции. Классификация элементарных функций (целые рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, трансцендентные). Определение предела функции. Бесконечно малая и большая функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3.2. Дифференциальное исчисление функции одного переменного

Понятие производной. Геометрический и физический смысл производной. Дифференцируемость функций. Основные правила дифференцирования. Производные сложной функции, обратной функции, вывод таблицы производных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

Понятие дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Производные высших порядков различных функций (явных, неявных, параметрически заданных). Дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Исследование графиков функций методами анализа. Интервалы монотонного изменения функции. Экстремум функции. Исследование функции на экстремум с помощью производной второго порядка. Участки выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

3.3. Интегральное исчисление функции одного переменного

Неопределенный интеграл (понятие первообразной, неопределенного интеграла, его свойства, таблица неопределенных интегралов). Метод интегрирования, основанный на инвариантности формы неопределенного интеграла (метод замены переменной). Интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных выражений (интегрирование дробей простейшего вида, понятие неправильной дроби, разложение правильной дроби на сумму простейших дробей).

Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование рациональных выражений и
выражений, зависящих от показательных функций. Определенный интеграл (определение на основе геометрической задачи о площади криволинейной трапеции), его свойства. Оценки определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Геометрические и физические задачи с использованием определенного интеграла (вычисление площади плоской фигуры, вычисление работы переменной силы). Несобственные интегралы (от неограниченных функций, с бесконечными пределами).

3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных (определение, область определения). Предел функции нескольких переменных, способы вычисления. Непрерывность функции. Понятие частных приращений функции. Определение частных производных, их геометрический смысл. Полный дифференциал как сумма частных дифференциалов, приложение полного дифференциала.

Производная сложной функции. Производные высших порядков (обозначение, понятийный смысл, доказательство теоремы о смешанных производных). Дифференциалы высших порядков. Форм-го порядков. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума для функции 2-х переменных. Условия минимума, максимума функции. Метод наименьших квадратов на основе изложенного материала об экстремуме функции нескольких переменных. Производная функции по
направлению (вывод формулы). Понятие градиента, оператора Гамильтона, дивиргенции и ротора векторного поля.

3.5. Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегрирование функций двух переменных. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства. Вычисление двойного интеграла для прямоугольной и криволинейной областей. Понятие правильной области при вычислении двойного интеграла. Замена переменной в двойном интеграле. Приложение двойного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, физических величин: массы, центра масс, моментов инерции плоских пластин различных конфигураций.

Интегрирование функции трех переменных (определение тройного интеграла, его свойства как повторение свойств двойного интеграла). Способ вычисления тройного интеграла. Замена переменной в тройном интеграле. Переход к цилиндрической или сферической системе координат. Криволинейный интеграл по длине дуги. Свойства криволинейного интеграла, способ вычисления при различных вариантах задания кривой. Криволинейный интеграл по координатам. Задача о вычислении работы переменной силы по криволинейному участку пути. Вычисление криволинейного интеграла. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина.

4. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Общие понятия теории дифференциальных уравнений

Задачи приводящие к решению дифференциальных уравнений (ДУ). Общая методика решения задач на составление ДУ в форме производных и в дифференциальной форме. Понятие общего и частного решения ДУ n – порядка F(x, y,y¢,...,y(n)), задание системы начальных условий. Теоремы существования и единственности решения уравнения y¢ = f(x, y) — (дается смысл, применение, б/доказательства).

4.2. Дифференциальные уравнения I порядка, разрешенные относительно производной

Уравнение вида y¢ = f(x, y), его связь с дифференциальной формой
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =0, доказательство существования общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными: y¢ = f(ax+by+c) . Однородные уравнения в дифференциальной форме и в форме производных, свойства однородных функций. Уравнения, приводящиеся к однородным, вида
y¢ = f( ) и однородные в обобщенном смысле, решаемые
заменой y = z(x). Линейные уравнения I порядка и приводящиеся к ним. Круг задач, приводящих к составлению линейных уравнений.

Метод Лагранжа, вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли. (Уравнения Риккати на УИРС). Уравнения в полных дифференциалах
(с доказательством теоремы о необходимых и достаточных условиях). Интегрирующий множитель, зависящий от одной переменной m(x), m(y) (с выводом). Использование свойств полных дифференциалов для сведения заменами уравнения I порядка к изученным типам. Логистическое уравнение в биохимии.

4.3. Уравнения I порядка, не разрешенные относительно производной

Теорема о существовании и единственности решения уравнения F(x, y,y¢) (без доказательства). Особое решение уравнения F(x, y,y¢)= 0, способы нахождения, геометрический и физический смысл. Уравнения I порядка n – ной степени. Общий метод введения параметра. Частные случаи неполных ДУ:
y = f(x, y¢), x = f(y, y¢). Уравнения Лагранжа и Клеро.

4.4. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Общие положения, теорема о существовании и единственности решения для уравнения y(n) = f(x, y,y¢,...,y(n-1)), физический и геометрический смысл уравнения П порядка. Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка: уравнения вида y(n) = f(x), F(y, y¢, y¢¢, ..., y(n)) = 0, F(x, y(k),y(k+1),...,y(n))= 0, уравнения полного типа — однородные по переменным (y, y¢, y¢¢,...,y(n)) и однородные по всем переменным, понижение порядка способом сведения к полным производным.

4.5. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка

Общие понятия, линейные однородные и неоднородные, постоянные и переменные коэффициенты, условия выполнения теоремы существования и единственности решения. ЛОДУ с произвольными коэффициентами, линейный дифференциальный оператор (его свойства), свойства частных решений ЛОДУ. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений.

Теорема (с доказательством) о структуре общего решения ЛОДУ. Метод Остроградского – Лиувилля для решения ЛОДУ II порядка, с переменными коэффициентами (на УИРС). ЛОДУ с постоянными коэффициентами: доказательство структуры решения в случае различных корней характеристического уравнения, без доказательства — структура общего решения в случае кратных и комплексных корней. ЛНОДУ с произвольными коэффициентами, структура общего решения, случай комбинированной правой части.

Доказательство теоремы о методе вариации постоянных ЛНОДУ с постоянными коэффициентами, метод неопределенных коэффициентов для правой части вида: f(x) = P(x)eax; f(x) = eax[P1(x)cos bx + P2(x)sin bx]. Уравнение Эйлера.

4.6. Понятие о системах дифференциальных уравнений I порядка

Общий вид системы, задачи, приводящие к составлению систем ДУ. Понятие нормальной системы как обобщения одного ДУ I порядка для одной неизвестной функции. Обобщение понятия решения как интегральной кривой в (n + 1) – мерном, система начальных условий. Механическая интерпретация нормальной системы для n = 3. Понятие динамической, автономной системы, фазовое пространство. Эквивалентность ДУ n – го порядка, разрешенного относительно старшей производной и системы n уравнений I порядка. Решение систем методом исключения неизвестных функций. Решение системы методом интегрируемых комбинаций (на примерах). Системы линейные, однородные: решение в случае различных корней соответствующего характеристического уравнения.

4.7. Элементы теории качественного исследования дифференциальных уравнений и систем

Подход Пуанкаре — геометрическое поведение кривых — решений в соответствующем пространстве. Метод изоклин. Подход Ляпунова — поведение решений в окрестности состояния равновесия. Геометрическая
интерпретация автономной системы и положения равновесия в фазовом
пространстве. Классификация особых точек системы . Построение траекторий, фазовый портрет системы. Предельные циклы. Конкретные примеры медико – биологического содержания.