Функции многих переменных (стр. 2 )

Пример. Полный дифференциал функции , рассмотренной в предыдущем параграфе

Обобщая результаты параграфа на случай функции n переменных запишем определение и формулы (2),(3) в виде

6. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала

Рассмотрим функцию двух переменных, определенную на открытом множестве плоскости хОу.

Геометрически смысл частных производных сразу получается из их определений - - угол образованный касательной к графику функции в точке c осью Ох; а соответственно - с осью Оу (Рис.1)

Для установления геометрического смысла полного дифференциала перепишем его определение

и заметим, что это выражение есть уравнение касательной плоскости к графику функции в точке с нормальным вектором . Заметим, что правая часть уравнения равна сумме частных дифференциалов , а левая есть полное приращение аппликаты .

Таким образом, полный дифференциал функции в точке равен приращению аппликаты плоскости, касательной к графику функции.

7. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

По определению дифференцируемости функции имеем =+ т. е. при . Поскольку и , то имеем приближенную формулу

,

которая используется для приближенного вычисления значений функций.

Пример. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию и положим x=0,02, y=-0,02 и х=у=1.

Тогда

= ,

=1,.

Поэтому

1+0,02=1,02

8. Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим сложную функцию и найдем производную . Для этого запишем условие дифференцируемости . Разделим равенство на t и перейдем к пределу при t0. Учитывая, что , получим

. (1)

Формула (1) легко обобщается на случай сложной функции

(2)

Наконец, формулы (2) легко обобщается на случай сложной функции n переменных, где :

.

Пример 1. .

В последние равенства вместо u и v необходимо подставить соответственно.

Найдем полный дифференциал функции :

,

Подставив выражения dx и dy в du, получим

Пример 2. В предыдущем примере

где .

9. Производная от неявно заданной функции

Рассмотрим функцию заданную неявно в области плоскости хОу. Вычислим дифференциал этой функции

. (1)

Зафиксируем у, тогда dy=0 и в формуле (1) останутся только два слагаемых. Разделим полученное равенство на dx, получим .

Откуда

.

Аналогично, фиксируя х, затем z, имеем следующую пару формул

, .

Результат параграфа легко обобщается на функцию n переменных

.

Пример. Найти производные функции

Здесь

Поскольку

имеем .

10. Частные производные и дифференциалы различных порядков

Заметим, что для функции частные производные являются, вообще говоря, функциями переменных х и у. Поэтому от них можно находить частные производные более высокого порядка. Например, вторые частные производные

.

Производные второго порядка снова можно дифференцировать по х и у и т. д. Вообще, частная производная n-го порядка есть производная от производной n-1-го порядка. Например, - есть производная n-го порядка, причем функция u сначала n-p раз дифференцируется по у, а затем p раз по х.

Пример. Найти производные второго порядка от функции

,

Оказалось, что

Имеет место более общее утверждение.

Теорема. Если функция дифференцируема дважды в некоторой области , а ее производные непрерывны в , то .

Доказательство. Рассмотрим выражение

,

в котором к каждой из скобок применим теорему Лагранжа, получим

Еще раз применим теорему Лагранжа, получим

.

Теперь воэьмем выражение А в виде

,

и повторим рассуждения, получим

.

Сравнивая оба выражения, имеем . Переходя в этом равенстве к пределу при х0 и у0, получим утверждение теоремы.

Пусть функция имеет непрерывные первые и вторые частные производные в некоторой области . Вычислим дифференциал от du, считая dx и dy фиксированными.

Мы использовали равенство смешанных производных .

Полагая в последнем равенстве х=dx, y=dy получим определение второго дифференциала

.

Заметим, что это равенство можно записать формально в виде квадрата суммы двух слагаемых

.

Результаты легко обобщаются для дифференциала произвольного порядка m функции n переменных

.

11. Производная по направлению. Понятие градиента функции

Частные производные некоторой функции u=f(x, y,z) дают производные по направлениям x, y и z соответственно. Можно ли вычислить производную по произвольному направлению вектора .

Для этого разделим полный дифференциал функции u на модуль приращения в направлении вектора

.

и учтем, что - есть направляющие косинусы вектора .

Определение 1. Производной функции в некоторой точке (x, y,z) по направлению вектора называется предел и обозначается .

Итак,

. (1)

В частности, при =0, ==/2 имеем .

Пример 1. Найти производную функции в точке М (1,1,2) в направлении вектора .

Найдем направляющие косинусы вектора :

.

Найдем частные производные

.

Тогда .

Заметим, что, если в определении производной по направлению взять единичный вектор , то формулу (1) можно записать в виде

Определение 2. Вектор называется градиентом функции .

Тогда легко записать связь между градиентом и производной по направлению

=. (2)

Обозначая угол между векторами gradu и , имеем

=cos =, (3)

т. е. производная по направлению вектора равна проекции вектора на этот вектор .

Некоторые свойства градиента:

1. Наибольшее значение производной по направлению равно модулю градиента:

max=;

В формуле (3) видно, что наибольшее значение производной достигается, если =0

2. Производная по направлению вектора , перпендикулярного вектору градиента, равно нулю

Из формулы (3) видно, что производная равна нулю при =/2

Пример 2. Найти градиент функции в точке М(2,4).

12. Формула Тейлора для функции многих переменных

Предположим, что функция имеет производные до (n-1)-го порядка включительно в некотором промежутке. Запишем разложение функции в окрестности точки в виде

=

где - остаточный член формулы Тейлора.

Последнее выражение в формуле легко обобщается на случай функции многих переменных, при этом функция заменяется на функцию

и , .

Пример. Записать формулу Тейлора функции в окрестности точки (0,0).

Учтем, что . Поэтому

13. Максимум и минимум функции многих переменных.