Функции многих переменных (стр. 1 )

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1. Примеры, приводящие к понятию функции многих переменных

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, равными х и у находится по формуле S=xy. Паре переменных х и у соответствует определенное значение площади S прямоугольника, другими словами S=S(х, у) есть функция двух переменных (х, у).

Пример 2. Закон Бойля-Мариотта для идеального газа pV=RT, где R есть газовая постоянная, задает неявно функцию двух переменных p(V, T) или V(p, T) или T(p, V).

Пример 3. Объем V прямоугольного параллелепипеда со сторонами x, y,z равен V=xyz, т. е. V=V(x, y,z) есть функция трех переменных x, y,z.

Пример 4. Функция есть функция четырех переменных x, y,z, t.

2. Механизм обобщения функции на случай многих переменных

Функция одной переменной y=f(x) определяется на некотором промежутке числовой оси х, функция двух переменных z=(x, y) должна определяется на некотором плоском множестве S плоскости (x, y), а функция u=g(x, y,z) в некотором объеме V пространства и т. д.

Сначала определим пространство , в котором будут задаваться функции n переменных.

Определение 1. Точкой n-мерного арифметического пространства называется упорядоченная совокупность n действительных чисел , число называется i-й координатой точки X.

Совокупность точек образует n-мерное арифметическое пространство, которое обозначают .

В дальнейшем под обозначениями типа ,, будем подразумевать следующие совокупности

Определение 2. Совокупность всех точек n-мерного арифметического пространства, в котором определено расстояние между любыми двумя точками и по формуле

называется n-мерным евклидовым метрическим пространством и обозначается .

В дальнейшем будем пользоваться обозначением , подразумевая . В особых случаях будем различать эти пространства.

Расстояние в обладает свойствами:

1. 0, причем =0 только при =;

2. ;

3. .

Последнее свойство называется "неравенством треугольника", которое хорошо известно в пространстве .

Определим предел числовой последовательности в . Для этого возьмем в пространстве последовательность точек

Определение 3. Точка называется пределом последовательности , если существует предел , что записывают

.

Определим понятие функции n переменных в пространстве . Для этого возьмем в некоторую область , т. е. .

Определение 4. Если каждой точке из поставлено по некоторому закону f единственное числовое значение u из , то говорят, что в области определена числовая функция u многих переменных , что записывают

или кратко .

Геометрически функция двух переменных х и y представляется некоторой поверхностью Ф в простран-стве с областью определения в .

Функции более, чем двух переменных, не имеют наглядной геометрической иллюстрации и предста-вляются абстрактно.

Пример 1. Уравнение сферы радиуса R: задает неявно функцию двух переменных. Решим уравнение относительно , получим уравнения двух поверхностей - нижняя со знаком "-" и верхняя со знаком "+" полусферы. Следовательно, область определения функции получим, положив в исходном уравнении z=0: - круг радиуса R.

Пример 2. Система уравнений в пространстве является цилиндром радиуса R с образующими параллельными оси Оz и длиной 2a.

Область определения функции есть круг радиуса R: - .

Пример 3. Найти область определения функции . Выражение ln(x+y) имеет смысл при x+y>0 или y>-x.

Таким образом, область определения функции z - часть плоскости хОу, лежащая выше прямой y=-x (Рис.2).

Рис.2

Пример 4. Найти область определения функции .

Правая часть выражения имеет смысл, если . Следовательно, область определения функции - шар радиуса 2 с центром в начале координат.

3. Предел и непрерывность функций многих переменных

Определение предела функции производится по аналогии с функцией одной переменной по Гейне и по Коши.

Определение по Гейне.

Число b называется пределом функции u=f(X) в точке , если для любой число-вой последовательности {} сходящейся к , соответствующая последователь-ность функций {f()} сходится к числу b.

Обозначается: b=f(X)

Определение по Коши.

Число b называется пределом функции u=f(X) в точке , если для любого поло-жительного числа найдется положительное число такое, что для всех удовлетворяющих неравенству (X,)<, выполняется неравенство f(X)-b<.

Пример. Пусть задана функция . Ее область определения - вся плоскость хОу, кроме точки (0,0). В любой точке плоскости (а, b), кроме начала координат существует предел от f(x, y), который вычислим с помощью так называемого "повторного" предела

.

Теперь вычислим предел функции в точке (0,0)

Заметим, что геометрически "повторный" предел был вычислен из произвольной точки (x, y) плоскости хОу по пути a). При другом возможном варианте выбор пути имеет вид б)

Путь а) Путь б)

В самом общем случае произвольного выбора пути перейдем к полярным координатам x=cos, y=sin, получим

.

В частности, при =/4 предел равен 1/2.

Мы видим, что величина предела зависит от выбора пути приближения х и у к точке (0,0). Это противоречит определению предела функции, значит предел не существует.

С понятием предела функции тесно связано понятие непрерывности.

Определение. Функция u=f(X) называется непрерывной в точке ARn, если она определена в точке A и .

Данное определение непрерывности функции f(X) называется непрерывностью по совокупности переменных .

Однако, можно рассматривать непрерывность функции по отдельным переменным. Так функция является непрерывной по переменной , если при фиксировании всех переменных, кроме , она будет непрерывной как функция одной переменной:

Замечание. Из непрерывности функции по всем переменным в отдельности не следует ее непрерывность по их совокупности! Например, функция непрерывна в точке (0,0) по переменным х и у в отдельности, но не является непрерывной по их совокупности в этой точке, т. к. даже не существует предел рассматриваемой функции в точке (0,0).

По аналогии с функцией одной переменной имеем следующие формы записи непрерывности функции нескольких переменных:

1. По определению:

2. По Гейне:

3. По Коши:

4. В терминах приращений:

где называется полным приращением функции в точке .

4. Частные производные и частные дифференциалы

Полным приращением функции называется разность

.

Зафиксируем все переменные функции , кроме переменной . Частным приращением функции u по переменной называется разность

=.

Определение 1. Обычная производная функции по переменной (предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю) называется частной производной этой функции по переменной и обозначается , т. е.

.

Определение 2. Частным дифференциалом функции называется ее дифференциал по переменной .

Из свойств дифференциала функции одной переменной следует, что

Пример. Пусть задана функция

5. Дифференцируемость функции и полный дифференциал

Для упрощения записи рассмотрим функцию двух переменных. В этом случае ее полное приращение имеет вид .

Определение. Функция называется дифференцируемой в области , если в любой точке этой области и , что

. (1)

При этом, величина называется полным дифференциалом и также как в случае одной переменной показывается, что .

Наконец, вводя обозначения , получим окончательно

(2)

Вспоминая определение частных дифференциалов, имеем

, (3)

т. е. полный дифференциал функции равен сумме частных дифференциалов.

Аналогично как для функции одной переменной имеют место теоремы:

1) Если функция дифференцируема в области , то она непрерывна в этой области;

2) Если функция имеет непрерывные частные производные в области , то она дифференцируема в этой области.