Функции многих переменных (стр. 3 )

Необходимые условия экстремумов

Как для функции одной переменной определяются понятия экстремумов и строгих экстремумов функции в некоторой области .

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность U() точки , такая, что U() выполняется неравенство ; точкой строгого максимума (строгого минимума), если .

Необходимые условия экстремума.

Если точка является точкой экстремума функции и существуют какие-либо частные производные в этой точке, то они равны нулю: .

Следствие. Если функция дифференцируема в точке экстремума , то ее диф-ференциал в этой точке равен нулю:

=0.

Пусть в точке экстремума существует какая-либо частная производная, например, i-я: . Зафиксируем все остальные переменные, кроме i-й, получим функцию одной переменной : . Для нее в точке экстремума по теореме Ферма =0. Аналогично рассматривается любая другая j-я переменная.

Если функция дифференцируема в точке экстремума, то существуют все частные производные , i=1,2,...,n, причем, согласно доказанному они все равны нулю, поэтому =.

Определение. Точка называется стационарной для дифференцируемой функции , если =0.

Точка является стационарной тогда и только тогда, когда =0 i=1,2,...,n.

Пример 1. Найти точки экстремума функции (Рис.1).

Точки экстремума должны находиться среди тех точек в которых : . Отсюда следует, что таковой точкой будет единственная (0,0). В этой точке , в остальных >0. Поэтому точка (0,0) является точкой минимума.

Пример 2. Исследовать точки экстремума функции (Рис.2).

Как в предыдущем примере из условия находим точку (0,0). Однако здесь при у=0 и любых х0 имеем z>0, а при х=0 и любом у0 имеем z<0. Поэтому точка (0,0) не является точкой эктремума, ее называют "седловидной" точкой.

13. Достаточные условия экстремумов

Прежде чем сформулировать достаточные условия эстремума введем некоторые сведения из линейной алгебры.

Определение. Квадратичная форма

,

называется положительно определенной (отрицательно определенной), если

.

Критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

;

отрицательно определенной, если

.

Последнее утверждение очевидно: форма отрицательна тогда и только тогда, когда -= является положительно определенной формой. При n=1 имеем

при

В дальнейшем нам понадобятся матрицы, элементами которых служат вторые и смешанные вторые частные производные: для функции

.

Определитель этой матрицы называется гессианом.

Теорема. Если является стационарной точкой дважды непрерывно дифференцируе-мой функции и квадратичная форма

= (1)

положительно определенная ( отрицательно определенная ), то является точкой минимума ( максимума ); если форма (1) является неопределенной, то в точке экстремума нет.

Доказательство. Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности и учтем, что точка стационарная, т. е. =0 i=1,2,...,n:

,

где

Отсюда следует, что если квадратичная форма (1) положительно определенная, то и является точкой минимума; если форма (1) отрицательно определенная, то и точка - точка максимума.

Если квадратичная форма (1) является неопределенной, то меняет знак в окрестности и точка не может быть экстремумом.

Следствие. Если является стационарной точкой дважды непрерывно дифференцируемой функции и

1. - точка является точкой экстремума, причем точкой минимума, если , точкой максимума, если ;

2. - экстремума нет;

3. - возможно экстремум есть, возможно нет.

Продемонстрируем последний случай на примерах 1 и 2:

Пример 1. Функция имеет стационарную точку (0,0) и в ней . Поскольку 0, то точка (0,0) является точкой минимума.

Пример 2. Функция имеет стационарную точку (0,0) и в ней . В окрестности точки (0,0) функция меняет знак, т. к. и входят в нечетных степенях. Это означает, что точка (0,0) не является точкой экстремума.

Пример 3. Найти экстремумы функции

Решение. Областью определения функции является все трехмерное пространство. Находим первые частные производные

и стационарные точки из системы уравнений:

Откуда получим единственную стационарную точку в которой экстремум может быть, а может им не быть.

Теперь вычислим в точке вторые частные производные:

Составим матрицу Гессе и вычислим ее главные миноры:

По достаточному признаку существования экстремума

заключаем, что точка есть точка минимума и

.

Хотя, представив исходную функцию в виде , легко видеть, что в этой точке минимум: . Однако, не всегда такую дополнительную проверку можно сделать.

14. Условные экстремумы функций многих переменных

Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой n-мерной области . Требуетcя найти экстремумы этой функции при наличии ограничений вида , где . Эти уравнения называются уравнениями связей.

Применительно к функциям двух переменных задача сводится к отысканию экстремумов функции при условии . Пусть функция достигает экстремум при условии . Изобразим геометрически поверхность с помощью линий уровня на плоскости хОу, а представляется плоской кривой. Тогда отыскание экстремума функции означает экстремумы в точках, которые находятся на кривой (Рис.1).

15. Необходимое условие существования условного экстремума

Предположим, что в точке существуют частные производные функции , а функция , заданная неявно уравнением , дифференцируема.

Поскольку вдоль кривой переменные и связаны уравнением , то вдоль этой же кривой функция является функцией только одной переменной, например, x : . По необходимому условию существования экстремума функции одной переменной в этой точке ее производная должна обратиться в нуль, т. е.

. (1)

В тоже время дифференцируя тождество , имеем

. (2)

Этих двух уравнений достаточно, чтобы определить координаты точки . Но можно поступить иначе. Выразим из формулы (2) ( при условии ) и подставим в (1), получим .

Приравняем левую и правую части равенства некоторой постоянной, например, , получим систему двух уравнений

в которой три неизвестных: координаты точки и множитель . Прибавим к этой системе уравнение линии на которой должна лежать точка.

Теорема.

Если в точке дифференцируемая функция достигает экстремума, то в этой точке выполняются условия:

Эту систему уравнений формально можно представить как необходимое условие существования безусловного экстремума для функции

.

Эта функция называется функцией Лагранжа , а множитель - множителем Лагранжа. Рассмотренный выше метод сведения задачи об условном экстремуме функции к задаче о безусловном экстремуме функции, называется методом множителей Лагранжа.

Изложенный метод Лагранжа легко обобщается на случай функции большего числа переменных при наличии ограничений , где .

В этом случае функция Лагранжа имеет вид

,

а координаты точки пространства n+k измерений находятся из системы уравнений

которая получается из равенства нулю частных производных функции по .

При решении системы множители играют лишь вспомогательную роль.

16. Достаточные условие существования условного экстремума

Пусть функция имеет второй дифференциал, а функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда функция Лагранжа также будет иметь второй дифференциал. Построим матрицу Гессе функции Лагранжа в произвольной точке М

Отсюда видно, что главные миноры до k-го порядка включительно равны нулю.

Теорема. Если в стационарной точке матрица Гессе такова, что первый отличный от нуля ее главный минор ( очевидно ) имеет знак совпадающий с , то:

если все последующие миноры до n+k - го порядка отличны от нуля и имеют тот же знак - в точке есть минимум;

если знаки главных миноров чередуются - максимум;

если имеется другая комбинация знаков или некоторые из миноров, более высокого порядка чем , равны нулю - экстремума нет.

Пример 1. Найти экстремумы функции при условии .

Решение. Как известно, функция есть гиперболический параболоид и абсолютного экстремума не имеет. Покажем, что у этой функции есть условные экстремумы при наличии связи . Составим функцию Лагранжа и найдем стационарные ее точки, приравняв нулю частные производные

Перепишем эту систему в виде

Решая систему, находим стационарные точки и . Матрица Гессе в произвольной точке имеет вид

.

Вычисляя элементы матрицы в указанных точках, имеем:

,,,.

В точке главные миноры . Число переменных , а число ограничений . Знак совпадает со знаком , а знак чередуется с . Поэтому в точке имеем максимум, причем .

В точке : - тоже максимум, причем .

В точке : - минимум, причем .

В точке : - минимум, причем .

Таким образом, функция имеет два условных максимума в точках и и два условных минимума в точках и .

Изобразим поверхность с помощью линий уровня, а также окружность (Рис. 1). Линиями уровня являются гиперболы . Из рисунка видно, что с убыванием от до 0 функция также убывает от до 0 . В точке линия

уровня касается кривой ограничения . Затем убывает снова до отрицательных значений, достигая минимума в точках и , а в точке , совпадающей с началом координат, достигает максимума.

Пример 2. Найти экстремумы функции при условии и , при этом .

Решение. В этом случае число переменных , а число ограничений . Составим функцию Лагранжа и найдем стационарные ее точки, приравняв нулю частные производные

Решая систему, находим единственную стационарную точку .

Матрица Гессе в произвольной точке имеет вид

.

Вычисляя элементы матрицы в точке имеем:

.

Ее главные миноры Заметим, что , где . Поэтому вычисляем дальше . Поскольку знаки миноров и различны, то в точке функция достигает условный максимум, причем .