Вычислительная математика

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

14 декабря 2005 г.

П Р О Г Р А М М А

По курсу: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

по направлению 511600

факультеты ФОПФ, ФМБФ, ФПФЭ

кафедра вычислительной математики

курс III

семестр 6

лекции – 32 часа Экзамен – нет

практические (семинарские)

занятия – нет

лабораторные курсовой проект

занятия – 32 часа Диф. зачет – 6 семестр

Самостоятельная работа –

2 часа в неделю

ВСЕГО ЧАСОВ: 64

Программу составили: чл.-корр. РАН ,

д. ф.-м. н., профессор ,

д. ф.-м. н., профессор

Программа обсуждена на заседании

кафедры вычислительной математики

31 августа 2005 г.

Заведующий кафедрой

1. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Линейные краевые задачи. Метод фундаментальных систем. Методы трехточечной и пятиточечной прогонки.

Методы стрельбы и квазилинеаризации (метод Ньютона) для численного решения нелинейных краевых задач. Краевая задача на собственные значения.

2. Метод сеток для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Исследование сходимости разностных методов. Условие сходимости Куранта–Фридрихса–Леви. Принцип максимума, спектральный признак устойчивости, принцип замороженных коэффициентов. Устойчивость схем как ограниченность нормы оператора перехода (элементы теории устойчивости ). Исследование аппроксимационных свойств разностных схем.

3. Численные методы решения линейных и нелинейных уравнений в частных производных параболического типа.

Параметрическая шеститочечная схема, схемы Кранка–Никольсона, Нумерова, параметрическая трехслойная схема, интегро-интерполяционный метод. Методы численного решения нелинейных уравнений (схемы с нелинейностью на верхнем слое, решение типа «тепловая волна»). Локально-одномерные схемы, методы дробных шагов, переменных направлений.

4. Численные методы решения уравнений производных гиперболического типа на примере линейного уравнения переноса и уравнения Хопфа.

Характеристические свойства уравнений гиперболического типа. Двухпараметрическое семейство двухслойных разностных схем на шеститочечном шаблоне. Схемы Лакса, Лакса–Вендроффа, Мак-Кормака, Русанова для численного решения уравнения Хопфа. Гибридные схемы Федоренко и Хартена (TVD- схемы), метод сглаживания Чудова. Метод Холодова построения схем в пространстве неопределенных коэффициентов, наиболее близких к монотонным.

5. Численные методы решения уравнений эллиптического типа.

Разностная схема «крест». Аппроксимация и устойчивость схемы. Метод простых итераций. Оптимальный итерационный параметр. Чебышевский набор итерационных параметров. Метод установления.

6. Метод конечных элементов.

Методы Бубнова–Галеркина и Ритца. Базисные функции, финитные функции, конечные элементы. Метод конечных элементов для краевой задачи.

7. Численное решение систем уравнений в частных производных на примере уравнений газовой динамики.

Разностные методы Лакса, Лакса–Вендроффа, Мак–Кормака, схема с искусственной вязкостью Рихтайера–Неймана. Сеточно-характеристический метод, методы расщепления по физическим процессам О. М. Белоцерковского. Метод частиц Харлоу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. — М.: МФТИ, 1994. — 526 с.

2. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.

3. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. — 656 с.

4. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука. 1978. — 512 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 591 с.

2. Марчук Г. И. Методы расщепления. — М.: Наука, 1988. — 263 с.

3. Марчук Г И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

4. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Изд-во «Физико-математическая литература», 1994. — 442 с.

5. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характе­ристические численные методы. — М.: Наука, 1988. — 288 с.

6. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — М.: Мир, 1991. — Ч. 1, 2.

7. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. — М.: Наука. 1978. — 687 с.

ЗАДАНИЕ 1

1. Построить разностные схемы для численного решения задачи Коши для линейного уравнения переноса:

,

исследовать их на сходимость к решению соответствующего дифференциального уравнения. Использовать следующие шаблоны:

2. Построить разностные схемы для численного решения задачи Коши для уравнения Хопфа:

используются шаблоны:

3. Построить разностные схемы для решения уравнения теплопроводности

используя шаблоны:

Исследовать полученные схемы на сходимость.

4. Предложите численные алгоритмы для решения нелинейного уравнения теплопроводности:

с использованием шаблона

5. Для уравнения

построить разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации по и h путем разностной аппроксимации главного члена ошибки аппроксимации.

6. Построить разностные схемы для численного решения смешанной задачи:

с использованием шаблонов:

Исследовать полученные методы на сходимость.

7. Построить устойчивую аппроксимирующую разностную схему для численного решения для смешанной задачи акустической системы:

,

ЗАДАНИЕ 2

1. Построить явную и неявную схемы для двухмерного уравнения теплопроводности

исследовать их на сходимость.

2. Для уравнений

построить локально-одномерные схемы расщепления; исследовать их на спектральную устойчивость.

3. Для задач из предыдущего пункта построить схемы расщепления типа Кранка–Никольсона, первую схему исследовать на спектральную устойчивость.

4.1. Показать, что функции

являются собственными функциями оператора , такого, что

а числа — его собственными значениями.

4.2. Показать, что функции

являются собственными функциями оператора

а числа

— его собственными значениями.

Найти число обусловленности системы линейных уравнений, аппроксимирующих уравнение Лапласа:

5. Решение смешанной задачи

аппроксимируется с помощью явной разностной схемы

Представить решение дифференциальной задачи в виде ряда Фурье, а разностной – в виде конечного ряда Фурье.

6. Для численного решения уравнения эллиптического типа

с граничным условием используется метод установления вида

,

где — итерационный параметр. Определить значение τ, при котором данный итерационный процесс сходится максимально быстро;

оценить требуемое количество итераций для сетки NN = 100100. Сравнить со значением оптимального итерационного параметра и по количеству итераций для итерационного процесса вида

7. Предложить алгоритм для реализации численного решения уравнения теплопроводности методами Бубнова–Галеркина и Ритца.

Сроки сдачи: задания 1 – 15 марта,

задания 2 – 20 апреля.

Усл. печ. л. 0,75. ­Тираж 380 экз.