Программа экзамена по курсу "Основы математического анализа", ЭКТ-1
2-й семестр 2010/2011 уч. год
Неопределенный интеграл.
1. Первообразная, ее свойства. Неопределенный интеграл.
2. Таблица неопределенных интегралов.
3. Замена переменной в неопределенном интеграле.
4. Формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
5. Интегрирование рациональных дробей, иррациональностей, тригонометрических выражений (уметь вычислять интегралы).
Определенный интеграл.
1. Задача о площади. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.
2. Необходимое условие интегрируемости. Пример ограниченной неинтегрируемой функции.
3. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность, сохранение неравенства).
4. Свойства интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
5. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
7. Суммы Дарбу, их свойства. Нижний и верхний интегралы Дарбу.
8. Критерий интегрируемости ограниченной функции. Интегрируемость непрерывной функции.
9. Теорема о среднем для определенного интеграла.
10. Понятие несобственного интеграла с единственной особенностью. Примеры.
11. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
12. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Признаки сравнения.
13. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Примеры.
14. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах.
15. Длина дуги кривой.
16. Объем тела вращения.
17. Площадь поверхности тела вращения.
Функции многих переменных.
1. Пространство Rn. Понятие сходимости последовательности в Rn. Связь сходимости в Rn с покоординатной сходимостью. Свойства сходящихся последовательностей. Фундаментальные последовательности и их связь со сходящимися последовательностями.
2. Понятия окрестности точки, открытого, связного множества и области в Rn.
3. Предел и непрерывность функции многих переменных. Определения. Свойства (арифметические, сохранение знака). Непрерывность сложной функции.
4. Частные производные. Теорема о смешанных производных (без док-ва).
5. Понятие дифференцируемости функций многих переменных. Дифференциал. Необходимое условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
6. Применение первого дифференциала в приближенных вычислениях.
7. Дифференцирование сложной функции.
8. Градиент и производная по направлению. Геометрический и физический смысл градиента.
9. Дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.
10. Формула Тейлора для функции многих переменных.
11. Ограниченные последовательности в Rn. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
12. Понятие замкнутого множества.
13. Непрерывность функции в точке (по множеству). Свойства функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.
14. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия. Стационарные точки. Достаточные условия (представление приращения функции в стационарной точке через дифференциал 2-го порядка и достаточные условия на языке квадратичных форм и через угловые миноры матрицы Гессе).
15. Неявные функции. Теорема существования (без доказательства). Производная неявной функции.
16. Касательная плоскость и нормаль к поверхности заданной явным или неявным уравнением.
