УДК 621.865.8
ИССЛЕДОВАНИЕ МАЛЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ОТ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ МАНИПУЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ С УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТЬЮ, СОСРЕДОТОЧЕННОЙ В СОЧЛЕНЕНИЯХ ЗВЕНЬЕВ
Исследованы малые отклонения обобщённых координат манипуляционных систем промышленных роботов, вызванные упругой податливостью, сосредоточенной в сочленениях звеньев. Проанализировано влияние таких отклонений на движущие усилия в приводах.
Ключевые слова: манипуляционная система, уравнение движения, упругие звенья, малые отклонения.
Статья посвящена проблеме точности отработки движений манипуляционными системами (МС) промышленных роботов (ПР), конструкция которых обладает упругой податливостью, сосредоточенной в сочленениях звеньев. Методика исследования основывается на математической модели МС ПР [1].
. .. . . . [M]{q} + [S]{q2} + 2[K]{qi qj} = {QD}+{QG}+ {QF}, i≠j (i, j=1,…,n
МС ПР структурно представляет собой разомкнутую кинематическую цепь, состоящую из звеньев, соединённых между собой кинематическими парами пятого класса. В используемой методике звенья МС моделируются абсолютно твёрдыми телами, а упругая податливость находится в центрах кинематических пар. Основу математической модели составляют матричные уравнения движения МС. Уравнение, описывающее программное движение жёсткой МС, имеющей n степеней свободы
. . . . . [M]{Δq} + 2[S]{qΔq} + 2[K]{qiΔqj + qjΔqi} = {QP}+{QG}+ {QF}, i≠j (i, j=1,…,n). (2)
Уравнение, определяющее малые упругие отклонения МС от программного движения, имеет вид
. {q} = [q1 q2…qn]T, {q2} = [q21 q22…q2n]T, {qiqj} = [q1q2…q1 qn q2 q3…q2 qn…qn-1 qn]T -
{QD}, {QF}, {QG}, {QP} - векторы обобщённых сил соответственно от усилий, развиваемых приводами, сил внешней нагрузки, сил тяжести звеньев и сил упругости.
векторы производных от обобщённых координат {q} по времени.
[M], [S] и [K] – матричные коэффициенты, соответствующие инерционным параметрам манипуляционной системы:
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂q1 |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂q2 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂qn |
| |
n [M] = ∑ k=1 |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂q1 |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂q2 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂qn | ; |
… | … | … | … | ||
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯
|
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂qn ∂q2 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯
|
∂A0k ∂2AT0k tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂q12 |
∂A0k ∂2AT0k tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂q22 | … |
∂A0k ∂2AT0k tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂qn2 |
| |
n [S] = ∑ k=1 |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂q12 |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂q22 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂qn2 | ; |
… | … | … | … | ||
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂qn ∂q12
|
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂qn ∂q22 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂qn ∂qn2
|
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂q1∂q2 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q1 ∂q1∂qn |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ … ∂q1 ∂q2∂q3 |
| |
n [K] = ∑ k=2 |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂q1∂q2 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂q2 ∂q1∂qn |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ … ∂q2 ∂q2∂q3 | ; |
… | … | … | … | ||
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂qn ∂q1∂q2 | … |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ ∂qn ∂q1∂qn |
tr ¯¯¯¯ Hk ¯¯¯¯ … ∂qn ∂q2∂q3 |
 | |
Здесь A0k - матрица (размерностью 4×4) однородного преобразования координат из локальной системы координат, связанной с k-м звеном, в базовую систему отсчёта; Hk - матрица инерции (размерностью 4×4) k-го звена как твёрдого тела.
Малые упругие отклонения обобщённых координат можно представить в виде суммы
{Δqi} = {Δqsi} + {Δqdi}, i=1,…,n,
где {Δqsi} – квазистатическое малое упругое отклонение обобщённой координаты i-го звена; {Δqdi} – малые упругие колебания i-го звена.
Уравнения для расчёта квазистатической и колебательной составляющих малых упругих отклонений будут иметь вид
|
|
Исследуем движение и возникающие малые упругие отклонения на примере трёхзвенной МС, кинематическая схема которой приведена на рис.1. Первое звено исследуемого манипулятора вращается вокруг вертикальной оси, имеет массу m1 и моделируется тонкостенной трубой длиной l1 и радиусом R1. Второе звено массой m2 вращается вокруг горизонтальной оси и моделируется тонким стержнем длиной l2. Третье звено представляет собой сосредоточенную массу m3 и совершает поступательные перемещения вдоль оси второго звена.
Уравнения движения, согласно выражениям (1) и (2), имеют следующий вид:
- уравнение, описывающее программное движение:
. . . [M][q1 q2 q3]T+[S][q12 q22 q32]T +2[K][q1q2 q1q3 q2q3]T = {QD} + {QG} ; (3)
. .. . . . . . . [M] [Δq1 Δq2 Δq3]T + 2[S] [Δq1q1 Δq2q2 Δq3q3]T + (4) . + 2[K] [Δq1q2+Δq2q1 Δq1q3+Δq3q1 Δq2q3+Δq3q2]T = {QP}+ {QG} .
- уравнение, описывающее малые упругие отклонения от программного движения:
Аналитические выражения для матричных коэффициентов [M], [S] и [K], входящих в эти уравнения, для выбранной модели имеют следующий вид [1]:
 |
 |
3 | m1R12 +(4 /3m2l22+m3(l2+l3+q3)2 )cos2q2 | 0 | 0 |
[M] = ∑[M i] = i=1 | 0 | 4/3m2l22 +m3(l2+l3+q3)2 | 0 ; |
0 | 0 | m3 |
 |
 |
3 | 0 | 0 | 0 |
[S] = ∑[S i] = i=1 | (4/3m2l22 +m3(l2+l3+q3)2)sinq2cosq2 | 0 | 0 ; |
-m3(l2+l3+q3)cos2q2 | -m3(l2+l3+q3) | 0 |
 |
 |
3 | - (2 /3m2l22sinq2+m3(l2+l3+q3)2sinq1)cosq2 | m3(l2+l3+q3)cos2q2 | 0 |
[K] =∑[K i] = i=2 | 0 | 0 | m3(l2+l3+q3) . |
| 0 |
|
Вектор обобщённых сил от сил тяжести имеет вид
|
| |
{QG} = | - (m2l2 +m3(l2+l3+q3))g cosq2 | . |
- m3gsinq2 |
Матричные коэффициенты динамической модели [M], [S] и [K], а также вектор {QG} при компьютерном моделировании формируются автоматически.
Зададим программную траекторию движения в виде прямой. Движение рабочего органа по выбранной траектории представим двумя участками. На первом участке характерная точка рабочего органа из неподвижного состояния начинает равноускоренное движение до средней точки траектории. На втором участке происходит равноускоренное торможение рабочего органа до полной его остановки.
Используя уравнение (3), вычислим усилия в приводах (рис.2), необходимые для выполнения программного движения.
Рис.2.Графики усилий, развиваемых приводами
Для анализа влияния сил инерции на усилия, развиваемые приводами, в рассматриваемом примере удобно полученное матричное уравнение движения записать через ненулевые элементы матричных коэффициентов [M], [S] и [K]:
.
QD1= M11q1 + 2K11q1q2 + 2K12q1q3 – QG1 ;
.
QD2= M22q2 + S21q21 + 2K23q2q3 – QG2 ;
.
QD3= M33q3 + S31q21 + S32q22 – QG3 .
Из первого уравнения полученной системы видно, что на усилие D1 = QD1, развиваемое приводом первого звена, оказывают влияние кориолисовы эффекты, возникающие из-за сложного относительного движения звеньев.
Сопоставление графиков усилий, развиваемых приводами манипулятора (рис.2), с учётом динамики, определяемой заданным законом движения (сплошной график), и графиков, соответствующих условию [S]=0 и [K]=0 (пунктирная линия), позволяет отметить существенное влияние сил инерции на приводы. Анализ влияния сил инерции на усилия, развиваемые приводами, через анализ ненулевых элементов матричных коэффициентов позволяет выполнить допустимую корректировку программной траектории с учётом оптимизации этого влияния.
Точность отработки манипулятором заданной программной траектории определяется разностью между требуемым и действительным положениями рабочего органа во время его движения, именующейся динамической ошибкой. Значения отклонений (динамических ошибок) обобщённых координат q1, q2 и q3, вычисленные на основе уравнения (4), описывающего квазистатические малые упругие отклонения, представлены на рис.3.
Рис.3. Квазистатические отклонения обобщённых координат q1, q2 и q3
Для третьего звена рассчитаны малые упругие колебания вблизи программного движения (рис.4).
Рис.4. Упругие колебания обобщённой координаты q3 (с3=1.0×104 Н/м)
При увеличении жёсткости механической системы частота упругих колебаний возрастает. На рис. 5 представлен график упругих колебаний обобщённой координаты q3, рассчитанных при увеличении коэффициента жёсткости третьего сочленения с3 до 1.0×106 Н/м.
Рис.5. Упругие колебания обобщённой координаты q3 (с3=1.0×106 Н/м)
Для анализа влияния сил инерции на малые отклонения обобщённых координат уравнения для расчёта квазистатических отклонений представим в развёрнутом виде:
. .
M11Δq1 + 2K11 (Δq1q2 + Δq2q1) + 2K12 (Δq1q3 + Δq3q1) = QP1 + QG1 ;
M22Δq2 + 2S21Δq21 + 2K23(Δq2q3 + Δq3q2) = QP2 + QG2 ;
M33Δq3 +2 S31Δq21 + 2S32Δq22 = QP3 + QG3 .
Поочерёдно приравнивая к нулю значения коэффициентов уравнений системы, получим решения, позволяющие оценить влияние соответствующих этим коэффициентам сил инерции на отклонения (динамические ошибки) обобщённых координат.
На рис. 6 представлены графики, соответствующие квазистатическому упругому отклонению первой обобщённой координаты, рассчитанные для случаев K11=0 и K12=0. Для сравнения приведены графики, соответствующие фактическим решениям системы (пунктирные линии), представленные ранее на рис. 3.
Рис. 6. Влияние кориолисовых сил на Δq1
Влияние центробежных сил на отклонения обобщённой координаты третьего звена не столь существенно, что проиллюстрировано на графиках, представленных на рис. 7.
Рис. 7. Влияние центробежных сил на Δq3
В завершение анализа динамики исследуемой манипуляционной системы определим усилия, действующие на приводы, с учётом возникающих упругих деформаций (отклонений).
На рис. 8 представлены графики D1(t) моментов, действующих на привод первой кинематической пары: в случае программного движения - q1=q1(t) (пунктирная линия), в случае упругих отклонений - q1=q1(t)+∆q1(t) (сплошная линия). 
Поскольку при вычислении усилий, развиваемых приводами, приходится дважды дифференцировать зависимости ∆qi(t) упругих отклонений, зависимости Di(t) имеют высокочастотные колебания с большими амплитудами.
Для оценки квазистатических и колебательных составляющих на рис. 9-11 представлены участки зависимостей Di(t) (i=1, 2, 3) в увеличенном масштабе.
Рис. 9. Колебания усилия D1 привода первого звена
Рис. 10. Колебания усилия D2 привода второго звена
Рис. 11. Колебания усилия D3 привода третьего звена
Полученные результаты расчёта, выполненного на примере трёхзвенного манипулятора, иллюстрируют возможности моделирования движений МС произвольной формы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крахмалев, движения манипуляционных систем с упругими звеньями / , , // Вестн. БГТУ№3. - С.31-38.
Материал поступил в редколлегию 27.06.11.
