Тема: «Описание методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пирамиде» (стр. 2 )

Отмечаем F ∊ SN.

Проводим FK ⊥ CN, KE ⊥ CM;

EF ⊥ CM – по теореме о трех перпендикулярах.

CM ⊥ (KFE), (KFE) – плоскость, перпендикулярная скрещивающейся прямой CM.

Из прямоугольного ∆FKE по теореме Пифагора находим .

Обозначив отрезок FK=х, получим:

∆FKN ∾ ∆NCS; Þ , т. е. .

В ∆СKE: ∠KCE=300 (∆ABC – правильный по условию задачи) и KE ⊥ CM (по теореме Пифагора).

х.

;

FE – расстояние между скрещивающимися прямыми (общий перпендикуляр), рассматриваем FE как некоторую функцию, т. е.:

.

Наименьшее значение данной функции достигается при .

FE=.

5.4 Четвертый способ

В основе этого способа лежит утверждение о том, что объем тетраэдра равен

Где и - длины срещивающихся ребер; –угол между ними; – расстояние между скрещивающимися ребрами (вычисление угла и доказательство утверждения см Приложение 1.

Рис. 7. Четвертый способ.

Пусть SN=b, CM = a, искомое расстояние – d.

Угол между SN и CM = 450.

Рассмотрим пирамиду SCNM.

.

Основание пирамиды ∆CMN, SC – высота пирамиды.

; SC=2.

.

.

С другой стороны .

Получаем, что a=MC=, b=SN= (см Приложение 1).

Þ

5.5 Пятый способ

Используется тот факт, что искомое расстояние равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на некоторую плоскость, перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых.

Этот способ удобно применять при работе с наклонной призмой, с неправильной пирамидой, т. е. с неправильными и наклонными многогранниками.

Рис. 8. Пятый способ.

Согласно описанию способа, построим плоскость (NN1N2)⊥CM.

SC⊥(ABC) по условию; NN1║SC Þ NN1⊥(ABC).

N1N2║NN3║AB; CM ⊥ AB Þ CM ⊥ NN3, CM ⊥ (NN1N2) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

(NN1N2) – искомая плоскость.

ПрCM=0 на плоскость (NN1N2) есть точка О.

SO1║SO Þ SO1 ⊥ (NN1N2)

ПрSN=NO1 на плоскость (NN1N2) есть отрезок NO1

В ∆NO1O проведем высоту OD: OD ⊥ NO1 Þ OD = d – искомое расстояние.

Вычислим его длину.

∆O1NO ∾ ∆NDO – они прямоугольные и имеют общий угол ∠O1NO.

; ; .

5.6 Шестой способ

В основе лежит метод координат. При решении используется коллинеарность векторов и нахождение длины вектора. Находится расстояние между прямыми, принимая во внимание, что это расстояние есть общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым.

Рис. 9. Шестой способ.

Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на Рис. 9.

Допустим, что EF – есть общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым E∊SN; F∊CM.

Пусть E имеет координаты E(x; y; z).

S(0; 0; 2); C(0; 0; 0); M(0; 2;0); N(; ; 0);

;

;

(см Приложение 1). ;

Пусть вектор имеет координаты ;

Þ; ; (условие коллинеарности векторов)

;

Найдем координаты точки E. Зная координаты вектора и точки E, получим: