Тема: «Описание методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пирамиде» (стр. 3 )

, тогда вектор имеет координаты , где b – коэффициент коллинеарности .

Найдем координаты точки F:.

Тогда вектор имеет координаты .

Т. к. и (в силу EF⊥CM и EF⊥SN, EF – общий перпендикуляр), получаем систему:

;

;

;

;

Используя полученные значения, найдем координаты и длину вектора .

; длина вектора .

5.7 Седьмой способ

В основе этого метода лежит вычисление координаты суммы векторов и нахождения длины вектора.

При решении этим методом используем уже ранее найденные условия.

Рис. 10. Седьмой способ.

S(0; 0; 2); C(0; 0; 0); M(0; 2;0); N(; ; 0);

EF – расстояние между скрещивающимися прямыми SN и CM.

E делит SN в отношении ;

F делит CM в отношении ;

На сторонах пространственного многоугольника SCFE отметим соответствующие вектора и и запишем равенство:

;

Т. к. вектор , то

Вектор , то ;

, тогда вектор имеет координаты .

Т. к. EF⊥CM и EF⊥SN, то скалярное произведение векторов равно 0. и .

Получим систему уравнений:

;

Решая эту систему, получим:

;

Т. о. координаты вектора

; длина вектора .

5.8 Восьмой способ

В основе этого метода используется уравнение плоскости и формула расстояния от точки до плоскости.

Рис. 11. Восьмой способ.

Через прямую SN проведем плоскость, параллельную прямой CM.

Проведем NM1║CM в плоскости (ABC).

(SNM1)║CM.

Поместим пирамиду SABC в прямоугольную систему координат (см. Рис. 11).

Координаты точек: .

Уравнение плоскости в общем виде: ax+by+cz+d=0.

Точки S, N, M1 ∊ (SNM1).

Составим уравнение плоскости (SNM1), подставив координаты точек S, N и M1 в уравнение плоскости:

;

Решая систему, получим:

;

Подставив в уравнение плоскости, получим:

– уравнение плоскости (SNM1).

Т. к. расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле, находим расстояние от M до (SNM1).

.

6 Заключение

Рассмотрев различные способы решения задачи, являющейся предметом настоящей работы, возникают следующие вопросы:

- Зачем нужно рассматривать так много способов?

- Как находить разные способы решения?

- Где можно приметить эти способы в учебном процессе?

Как показывает многолетний опыт (работа в классах с углубленным изучением математики) решение задач различными способами эффективнее, чем решение нескольких задач одним способом, поскольку способствует более глубокому пониманию и усвоению материала, а также формированию у школьников взгляда на математику, как на цельную науку. Если ученики не подготовлены к решению задачи несколькими способами, им можно раздать карточки с задачами и указаниями. Подготовленным ученикам достаточно подсказать (при необходимости) метод решения.

Анализ конкурсных задач (ЕГЭ) и олимпиадных задач по данной теме показал, что все предложенные способы решения вполне универсальны.

Примеры задач, для которых можно применить в т. ч. рассматриваемые методы приведены в приложении (см. Приложение 2).

7 Список литературы

- Атанасян, Л. С., Бутузов, В. Ф., & др. (2000). Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Москва: Просвещение.

- Беккер, Б. М., & Некрасов, В. Б. (1997). Применение векторов для решения задач. Санкт-Петербург: Мир и семья-95.

- Зив, Б. Г., Мейлер, В. М., & Баханский, А. Г. (2003). Задачи по геометрии. 7-11. Москва: Просвещение.

- Сканави, М. И. (РедСборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Москва: ОНИКС 21 век.

- Смирнов, В. А. (2010). ЕГЭ 2010. Математика С2. (, & , Ред.) Москва: МЦНМО.

- Ткачук, В. В. (2000). Математика абитуриенту (Т. 1). Москва: МЦНМО.

- Шарыгин, И. Ф., & Голубев, В. И. Решение задач 11 класс. Москва: Просвещение.

- Шарыгин, И. Ф., & Голубев, В. И. (1995). Решение задач 11 класс. Москва: Просвещение.

8 Приложение 1

Рис. 12. Приложение 1.

8.1 Нахождение угла между

Проводим N1N║MC, тогда искомый угол ∠SNN2.

CN2⊥N1N2

SC⊥(ABC) – условие ÞSC⊥CN2

CN2=ПрSN2 на (ABC)

SN2⊥NN2 (по теореме о трех перпендикулярах)

∆SNN2 – прямоугольный треугольник.

cos(∠SNN2)=;

(по теореме Пифагора ∆SNC);

.

(т. к. N – середина BC и NN1║CM).

N1N – средняя линия ∆MBC; .

cos(∠SNN2)= ;

∠SNN2 = 450.

8.2 Нахождение длин отрезков SN CM и MN

∆SNC – прямоугольный треугольник и угол ∠SСN = 900; SC=2; СВ= ;

N – середина BC,

(по теореме Пифагора).

.

Треугольник ∆ABC – равносторонний; AB = .

CM=AB sin600= .

BM=BN MN – средняя линия в ∆ABC; MN=.

9 Приложение 2

9.1 (Зив, Мейлер, & Баханский, 2003)

19.1(б), 19.2(б), 19.3(б), 19.4 (б)

22.2(3), 22.3(3), 22.4(3)

23.1(3), 23.2(3), 23.3(3), 23.4(3).

9.2 (Смирнов, 2010)

6.1, .6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6

9.3 (Атанасян, Бутузов, & др., 2000)

474, 475

9.4 (Сканави, 2001)

12.080, 16.112

[1] См. (Ткачук, 2000).

[2] См. (Шарыгин & Голубев, Решение задач 11 класс, 1995), стр 188, опорная задача №9.