Тема: «Описание методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пирамиде» (стр. 1 )

Автор:

Тема: «Описание методов нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в пирамиде»

2 Введение

Геометрия занимает особое место в системе математической подготовки школьников. Значимость геометрии на всех ступенях образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники и искусства имеет устойчивую тенденцию к росту. Из всех предметов математического цикла именно геометрия обладает большим развивающим потенциалом.

Идеи гуманизации образования естественным образом реализуются через геометрию, однако за последние годы уровень геометрической подготовки учащихся значительно снизился. Многочисленные исследования, опыт учителей математики и преподавателей вузов убедительно свидетельствуют о том, что уровень геометрической подготовки школьников на сегодняшний день зачастую не отвечает требованиям государственного образовательного стандарта. Это обусловлено характерными особенностями геометрии как науки и учебной дисциплины, общими проблемами, возникающими сегодня в области среднего образования.

С одной стороны, развитие геометрических умений необходимо, а с другой стороны, высокий статус умения провоцирует школьную геометрию на обилие упражнений. При этом, так называемое, «доведение» до умений в итоге поглощает все учебное время, отведенное на изучение геометрии, оставляя в стороне всяческие «красивые» задачи.

Можно обучить старшеклассников определенным умениям, решая большое количество задач, при этом необязательно думать о каком-либо развитии, полагаясь на то, что просто решая задачи, можно развить ученика. Можно организовать обучение так, что, решая школьные задачи, ученик будет приобретать опыт самостоятельного интеллектуального познания.

Теоретические знания, умения и навыки, отработанные на практических занятиях при решении типовых задач, позволяет учащимся проводить исследования задач и применять свои собственные способы при решении той или иной предложенной задачи. По этой причине учащимся необходимо показывать различные способы, если они существуют, решения одной задачи.

Это инициирует исследовательскую деятельность школьников, расширяя их кругозор и вселяя уверенность.

Примером может служить задача определения расстояния между скрещивающимися прямыми, проведенными на гранях пирамиды, предложенная на вступительном экзамене на Механико-математический факультет МГУ 1977г[1].

Исходя их многолетнего преподавательского опыта, а также принимая во внимание то, что подобная задача часто встречается в ЕГЭ (группа С2), считаю целесообразным рассмотрение данного типа задач более подробно и предлагаю несколько способов ее решения.

3 Постановка задачи

Дано: основанием пирамиды является равносторонний треугольник , длина стороны которого равна . Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и имеет длину .

Найти: расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку и середину ребра , а другая проходит через и середину ребра .

Рис. 1. Постановка задачи.

4 Краткое описание способов решения Задачи

Задача нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми довольно часто встречается в предлагаемых вариантах ЕГЭ, сборниках «Типовые экзаменационные варианты по математике» под редакцией А. Л. Семенова и Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

В рамках настоящей работы данная задача решается восемью способами.

4.1 Первый способ

В основе данного способа лежит само определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Проводятся плоскости через каждую их прямых, параллельные друг другу и находится расстояние между ними.

4.2 Второй способ

Проводится плоскость через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой и находится расстояние от прямой до плоскости.

4.3 Третий способ

Через точку на одной прямой проводится плоскость, перпендикулярная другой прямой и алгебраическим путем находится расстояние от точки до прямой (нахождением минимума функции).

4.4 Четвертый способ

В основе этого способа лежит утверждение о том, что объем тетраэдра равен

Где и - длины срещивающихся ребер; –угол между ними; – расстояние между скрещивающимися прямыми.[2]

4.5 Пятый способ

Используется тот факт, что искомое расстояние равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на некоторую плоскость, перпендикулярную к одной из скрещивающихся прямых.

4.6 Шестой способ

В основе данного способа лежит векторный метод. Используется определение коллинеарности векторов и вычисление длины вектора.

4.7 Седьмой способ

В основе данного способа лежит векторный метод. Используется сумма векторов, вычисление координаты вектора и нахождение длины вектора.

4.8 Восьмой способ

Используется уравнение плоскости и нахождение расстояния от точки до плоскости.

5 Решение задачи

5.1 Первый способ

Рис. 2. Первый способ.

В основе лежит нахождение расстояния между параллельными плоскостями.

Достроим исходную пирамиду до прямой треугольной призмы.

Проведем N1N║MC; MC║(N1NS); (N1NS) Ç(A1B1S)=M1S; M1S║MC;

MM2║N1M1; M2M3║M1S Þ (MM2M3)║N1N

(MCM3)║(NN1S) (по признаку параллельности плоскостей)

NSÌ(N1NS); MCÌ(MCM3)

Для вычисления расстояния между плоскостями (MCM3) и (N1NS)

(MCM3) Ç (ABB1) = MM2

(N1NS) Ç (ABB1) = N1M1

(MCM3)║(N1NS) Þ

MM2║N1M1

Искомое расстояние d есть расстояние между MM2 и N1M1 (см. Рис. 3).

Рис. 3. Первый способ (дополнение).

∆KM2M∾∆M2M1K1 (т. к. эти треугольники прямоугольные и имеют равный угол ∠K1M2M1=∠M2MK – накрест лежащие углы).

M2M=; M2M = ;

; ;

Ответ: .

5.2 Второй способ

Идея решения заключается в том, чтобы через одну их скрещивающихся прямых проводится плоскость, параллельная другой прямой и находится расстояние от прямой до этой плоскости.

Рис. 4. Второй способ.

В плоскости (ABC) проведем прямую M1N║CM.

(SNM1)║CM (по признаку параллельности прямой и плоскости)

Точки B и M находятся на одинаковом расстоянии от точки M1 (от прямой NM1), т. к. ∆ABC – правильный.

Расстояние от B до плоскости (SNM1) равно искомому расстоянию.

Рассмотрим пирамиду SNBM1, где ∆SM1N – основание. Высота пирамиды d – и есть искомое расстояние.

.

С одной стороны

; , где – угол между M1N и SN (вычисление длин SN, CM, NM1 и угла между см. Приложение 1).

;

;.

5.3 Третий способ

Через точку на одной из скрещивающихся прямых проводится плоскость, перпендикулярная другой прямой, и алгебраическим путем находится расстояние от точки до прямой как наименьшее расстояние (ищется минимум функции).

Рис. 5. Третий способ.

Рис. 6. Третий способ (дополнение).