Задания I тура дистанционной олимпиады по математике для учащихся 9 класса

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы

Центр развития одаренности школьников

ЗАДАНИЯ

I тура дистанционной олимпиады по математике

для учащихся 9 класса

Вариант 1

1. Разложить на множители

Решение: 4 + x^2 (4 + x^6) =

(2 - 2 x + 2 x^2 - 2 x^3 + x^4) (2 + 2 x + 2 x^2 + 2 x^3 + x^4).

Ответ:x + 2 x^2 - 2 x^3 + x^4) (2 + 2 x + 2 x^2 + 2 x^3 + x^4).

2. Решить уравнение +3x+ - 1=0

Решение:

3. Вычеркнуть 100 цифр из числа …9899100 так, чтобы полученное число было наибольшим.

Решение:

Натуральное число будет наибольшим если оно начинается с наибольшей цифры(наибольшая цифра - 9), поэтому вычеркиваем первые 8 цифр

останется число ...

теперь нужно добиться, чтобы вторая цифра была наибольшей (осталось вычеркнуть 92 цифры), вычеркиваем цифры (всего 19 цифр),

получим число ...60

теперь нужно добиться, чтобы третья цифра была наибольшей (осталось вычеркнуть 73 цифры), вычеркиваем цифры (всего 19 цифр),

получим число ....60

теперь нужно добиться, чтобы четвертая цифра была наибольшей (осталось вычеркнуть 54 цифры), вычеркиваем цифры (всего 19 цифр),

получим число ..60

теперь нужно добиться, чтобы пятая цифра была наибольшей (осталось вычеркнуть 35 цифр), вычеркиваем цифры (всего 19 цифр),

получим число ...60,

теперь нужно добиться, чтобы шестая цифра была наибольшей (осталось вычеркнуть 16 цифр), вычеркиваем цифры55вычеркнули 5 5  а не 57 потому что 7 больше 5 и 8 больше 5 , а значит оставшееся число будет больше)

в итоге получим число 960.

Проверка: получилось 11 цифр (было всего цифр 9+10*5*2+2=111 цифр, осталось 111-100=11 цифр)

Ответ: После вычеркивания наибольшее число будет 960.

4. Стороны одного треугольника равны медианам второго треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников.

Решение:

5. Найти все целые n, при которых – целое число.

Решение:

Разделим 19n+17 на 7n+11 и получим:

(19n+17)/(7n+11) = (1/7)/(7n+11)).

Рассмотрим поведение данной дроби в интервале целых чисел:
при n=0 (19n+17)/(7n+11) ~ 1,545
при стремлении n к бесконечности 90/(7n+11) стремится к 0, следовательно, дробь (19n+17)/(7n+11) стремится к 19/7 ~ 2,71
из полученного анализа видно, что дробь может принимать единственное целое значение 2.
Рассмотрим промежуток n, на котором оно может достигаться.
Для этого необходимо, чтобы дробь 90/(7n+11) была целым числом. Решив простое неравенство 0 <= 7n + 11 <= 90, получаем диапазон от 0 до 11. Нам подходит число 1.
Так как наша функция монотонно возрастает на всём интервале целых положительных чисел и ограничена в нем значениями из промежутка [17/11, 19/17), то наше решение единственно.
Ответ: n=1. Решение единственно.

ВЫПОЛНИЛ

Фамилия Югай.

Имя Анжелика.

Отчество Эдуардовна.

Класс 9 .

Школа МОБУ СОШ № 1.

Город (село) с. Бураево.

Район Бураевский р.

Ф. И.О. учителя .