Определение числового ряда и его сходимости. Необходимый признак сходимости (стр. 3 )

Очевидно , т. е. представляет собой сумму сходящегося ряда, который получен из данного исключением первых n членов. Так как по определению , то

.

Абсолютная погрешность при замене частичной суммой равна . Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до

, то надо взять столько первых членов ряда, чтобы выполнялось условие

. Однако, отметим еще раз, остаток – также сумма ряда, и находить его мы в большинстве случаев не умеем. Поэтому выясним, как найти номер ос

татка n, чтобы , т. е. как произвести только оценку остатка, не находя его самого. Это позволит нам вовремя остановиться при вычислении частичных сумм ряда, когда уже будет получено приближение требуемой точности.

Не формулируя теорем об оценке остатка, отметим следующие вполне очевидные факты:

1) если и – сходящиеся знакоположительные ряды и

то , где , ;

2) если знакочередующийся ряд , сходится по признаку Лейбница, то , т. е. абсолютная величина остатка такого ряда меньше модуля первого отброшенного члена ряда. (Это следует из того, что по теореме Лейбница сумма ряда ).

Если данный ряд знакоположительный, то его остаток , составленный из отброшенных членов, чаще всего сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, т. к. ее сумма вычисляется по известной формуле .

Пример 11. Вычислить сумму ряда с точностью , если

а)

;

б)

.

Решение. а) – ряд геометрической

прогрессии со знаменателем .

По определению

является также рядом геометрической прогрессии с и первым членом . Найдем сумму этой прогрессии, т. е. :

.

Путем подбора определим, при каком значении n будет выполняться неравенство . Положим, например, . Получим , т. е.

. Так как , то три слагаемых не дают приближение

требуемой точности. Пусть , отсюда , т. е. .

Итак, принимаем . Это означает, что

с точностью .

Неравенство можно было решить и не прибегая к подбору:

, поэтому или .

Приближенное значение полученной дроби можно вычислить на калькуляторе.

б) Знакоположительный ряд

геометрической прогрессией не является, но при всех справедливо неравенство: .

– ряд геометрической прогрессии со знаменателем

. Очевидно, , где – n-й остаток исследуемого ряда, а

.

Поэтому .

Так как , то . Значит, также меньше и

с заданной точностью .

Пример 12. Вычислить сумму ряда с заданной точностью:

а)	,	;	б)	,	;
в)	,	;	г)	,	.

а) Ряд сходится по признаку Лейбница. Сумма n первых

членов этого ряда отличается от его суммы

на величину меньшую, чем . Поэтому, отбросив десятый и следующие за ним члены, получим с точностью .

б) Для того, чтобы вычислить приближенно сумму ряда с такой же точностью , придется взять не 9, как в примере а), а 99

первых слагаемых, т. к. и .

Сравнение результатов, полученных в примерах а) и б), приводит к понятию скорости сходимости рядов: очевидно, ряд сходится быстрее, чем , т. к. для вычисления суммы с одной и той же точностью в первом случае необходимо взять меньше слагаемых, чем во втором.

в) Знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность . , значит,

с заданной точностью .

г) Данный ряд также сходится по признаку Лейбница. Абсолютная величина

его седьмого члена , следовательно, частичная сумма

отличается от суммы ряда менее, чем на , и

.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ № 1 - 3

ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(1)

Если система имеет единственное решение, то значения могут быть найдены по известным формулам Крамера, но этот способ неудобен и приходится применять приближенные или численные методы решения.

Наиболее распространенным является метод Гаусса, согласно которому путем последовательного исключения неизвестных система (1) приводится к треугольному виду:

(2)

Приведение матрицы системы к виду (2) называется прямым ходом. Вычисление неизвестных – обратным ходом. Необходимость округлять в промежуточных вычислениях приводит к тому, что возникает очень большая погрешность округления, искажающая результат. Существует несколько видов вычислительных схем метода Гаусса, в различной степени уменьшающих погрешность округления. Наиболее эффективной является “схема с выбором главного элемента”.

1. Прямой ход

Исключение неизвестных в прямом ходе осуществляется по этапам. На каждом i-м этапе (i=1, 2, …, n) среди коэффициентов при неизвестном выбираем наибольший по абсолютной величине – “главный элемент”. Строка, его содержащая, называется главной. Затем главную строку прибавляем ко всем остальным строкам, предварительно умножив ее на специально подобранные числа так, чтобы коэффициенты при во всех строках, кроме главной, обратились бы в нуль.

Главная строка i-го этапа в дальнейших преобразованиях не участвует, поэтому для приведения системы (1) к виду (2) нужно проделать исключение неизвестных.

2. Обратный ход

Вначале из уравнения в последней строке находится , затем это значение подставляется в предыдущее главное уравнение, которое разрешается относительно , и т. д.

3. Контроль и точность вычислений

Для проверки расчета полезно найти невязки

.

Если они велики, то это означает грубую ошибку в расчете.

Контроль прямого хода совершается с помощью контрольных сумм. У исходной матрицы системы находят сумму всех элементов i-ой строки и соответствующего свободного члена

.

При прямом ходе над контрольными суммами производятся те же действия, что и над другими элементами матрицы. При отсутствии случайных ошибок контрольные суммы, найденные на каждом этапе, должны совпадать в пределах погрешности округления с аналогичными строчными суммами . Если это условие нарушено, то при вычислении i-й строки допущена ошибка.

Контроль обратного хода. В треугольную матрицу, подготовленную для обратного хода, вместо столбца свободных членов подставляем столбец контрольных сумм и выполняем обратный ход. При этом будут найдены значения . Если , то обратный ход совершен верно.

4. Указания по технике вычислений

1. Все промежуточные вычисления следует заносить в бланк расчета.

2. Производя расчет, следует широко использовать возможности современных ЭВМ: запоминание постоянного множителя, накопление сумм и т. п. – чтобы избежать лишних записей (если вычисления на микрокалькуляторе).

3. В промежуточных вычислениях следует сохранить значащих цифр на две больше, чем дано в исходных данных. При записи ответа нужно оставить только один запасной знак.

Пример 1. Методом Гаусса по схеме с выбором главного элемента в столбце решить систему

Решение представлено в бланке расчета.

Таблица 1

	Раз-дел		Коэффициенты при неизвестных	Свобод- ные члены	Контроль
Прямой ход	1	-0,200 -0,150 -0,500	2,000 0,400 0,300 1,000	1,000 0,500 -1,000 0,200	-0,100 4,000 1,000 2,500	0,100 -8,500 5,200 -1,000	2,700 21,900 -3,900 9,900	5,700 18,300 1,600 12,600	0,0005 0,0007 0,0001 0,0058
2	0,261 -0,261	0	0,300 -1,150 -0,300	4,020 1,015 2,550	-8,520 5,185 -1,050	21,360 -4,305 8,550	17,160 0,746 9,750	17,160 0,745 9,750
3	-0,533			4,285 2,235	-7,167 -2,403	20,236 9,673	17,354 9,556	17,354 9,555
4					1,420	-1,113	0,306	0,307
	i		Коэффициенты	Свобод- ные члены	Контроль
Обратный ход	1	-0,047	2,000	1,000	-0,100	0,100	2,700	5,700	0,953
2	3,214		-1,150	1,015	5,185	-4,305	0,745	4,214
3	3,410			4,285	-7,167	20,236	17,354	4,410
4	-0,785				1,420	-1,113	0,306	0,215

1. Порядок заполнения таблицы